A. Algunos resultados de Anal´ ısis
B.11. Filtros y convergencia
Antes de la publicaci´on de Grundz¨uge der Mengenlehre de Hausdorff, varios notables matem´aticos propusieron diversos sistemas de axiomas que intentaban definir la noci´on de espacio topol´ogico. En su gran mayor´ıa, todas estas axioma- tizaciones pretend´ıan que la noci´on de convergencia de sucesiones fuera su funda- mento; en particular, se esperaba que la operaci´on que consiste en tomar l´ımites de sucesiones bastara para definir el operador cerradura de un espacio topol´ogico. El mismo M. Frechet describi´o, en su tesis doctoral en 1906, un sistema de axiomas que intentaba sistematizar las propiedades fundamentales de la convergencia de sucesiones de los espacios conocidos hasta ese momento. Pronto se supo que las ideas construidas alrededor de las sucesiones no eran lo suficientemente poderosas para lograr reproducir la idea general de espacio topol´ogico.
Pero la problem´atica permanec´ıa: en algunos espacios, como los espacios m´etri- cos, la convergencia de sucesiones basta para describir su topol´ogia, en otros no. Hab´ıa que sustituir a las sucesiones y su convergencia por objetos y procesos m´as generales y complejos.
Fue F. Riesz quien en 1908, en su art´ıculo, introduce los conceptos de filtro y ultrafiltro, haciendo notar su potencial para definir puntos de acumulaci´on y llevar a cabo procesos de completaci´on. Pero es hasta 1937 que Henry Cartan reintrodu- jo estos conceptos present´andolos con claridad como los instrumentos adecuados para reemplazar a las sucesiones en el estudio de los espacios abstractos.
En esta secci´on estudiaremos los filtros y su convergencia, demostraremos que a trav´es de ellos es posible definir el operador cerradura en cualquier espacio topol´ogi- co.
B.11.Filtros y convergencia 101
Definici´on B.11.1. Sea X un conjunto no vac´ıo. Una colecci´on no vac´ıa F de subconjuntos no vac´ıos de X se llama filtrofiltrofiltro en X si se cumplen las siguientes condiciones:
(1) SiF∈F yF⊆F1, entonces F1∈F.
(2) SiF1,F2∈F, entonces F1∩F2∈F.
Es f´acil probar que la condici´on (2) de la definici´on anterior es v´alida para cualquier cantidad finita de elementos deF. Por otra parte, es com´un decir que la condici´on (1) significa que la colecci´onF es cerrada bajo superconjuntos. De esta manera un filtro en un conjuntoX es una colecci´on no vac´ıa de subconjuntos no vac´ıos que es cerrada bajo superconjuntos y bajo intersecciones finitas.
El lector debe notar que la noci´on de filtro pertenece enteramente al ambito de la teor´ıa de conjuntos. En lo que sigue involucramos a los filtros en el mundo de los espacios topol´ogicos.
Ejemplos B.11.2.
(1) Es f´acil verificar que en todo espacio topol´ogico(X,T), la colecci´onV(x) de todas las vecindades de un punto x ∈ X es un filtro en X, dicho filtro es llamado filtro de vecindadesfiltro de vecindadesfiltro de vecindades de xen X o sistema de vecindadessistema de vecindadessistema de vecindades del punto
x.
(2) SiX es un conjunto y ∅ 6= A⊆X, entonces la colecci´on F(A) ={B : A⊆B⊆X}
es ul filtro enX. Es costumbre escribirFp para denotar al filtro F(A) en el caso en que A ={p}.
El sistema de vecindades de un punto en un espacio topol´ogico es un ejemplo cl´asico de filtro. Como bien sabemos, para determinar al sistema de vecindades de un punto es suficiente conocer una base de vecindades del punto. En el caso m´as general de los filtros, la situaci´on es la misma: un filtro puede ser determinado por subcolecciones especiales de ´el. A continuaci´on introducimos la noci´on de base de filtro.
Definici´on B.11.3. Dado un filtroFen un conjuntoX, una subcolecci´on no vac´ıa BdeFes una base de filtro parauna base de filtro parauna base de filtro paraFsi ocurre que para todoF∈Fexiste unB∈B
tal queB⊆F.
Enunciaremos una Proposici´on cuya demostraci´on la pueden consultar en [TC11]. Proposici´on B.11.4. SeanX un conjunto yB una familia no vac´ıa de subcon- juntos deX. EntoncesB es una base de un filtro en X si y s´olo si ∅ ∈/ B y para cualesquieraB1,B2∈B existe B3∈B tal queB3⊆B1∩B2.
Observaci´on B.11.5. SiBes una colecci´on no vac´ıa de subconjuntos de un con- juntoX que satisface la condici´on
102 Cap´ıtulo B. Conceptos b´asicos de Topolog´ıa general
∅∈/B y para todoB1,B2∈B existe B3∈B tal queB3⊆B1∩B2,
entonces el filtro del cualBes base es la colecci´on
FB={F⊆X : existeB∈B tal queB⊆F}. El filtroFBes el filtro generado por la basefiltro generado por la basefiltro generado por la baseB.
Definici´on B.11.6. Un filtroF sobre un conjunto X es un filtro maximalfiltro maximalfiltro maximal si no existe un filtroGsobreX tal queF(G. Los filtros maximales son tambi´en llama-
dos ultrafiltrosultrafiltrosultrafiltros.
Definici´on B.11.7. Una familia F de subconjuntos de un conjunto X tiene latiene latiene la propiedad de la intersecci´on finita
propiedad de la intersecci´propiedad de la intersecci´on finitaon finita (o es una familia centradauna familia centradauna familia centrada) si para toda subfa- milia finitaF0 no vac´ıa deF, se tiene que TF06=∅.
A continuaci´on enunciaremos algunas consecuencias de la definici´on de ultra- filtro cuyas demostraciones las pueden consultar en [TC11].
Proposici´on B.11.8. Sea X un conjunto. Para toda familia centrada C de sub- conjuntos deX existe un ultrafiltroFque contiene a C.
Como cualquier filtro y cualquier base de filtro es una familia centrada, tenemos el siguiente colorario.
Corolario B.11.9. Sea X un conjunto. Si F es un filtro (respectivamente, una base de filtro) entonces existe un ultrafiltro Gque contiene aF.
Teorema B.11.10. Sea X un conjunto. Las siguientes proposiciones con equi- valentes:
(1) F es un ultrafiltro enX.
(2) F es una familia centrada maximal.
(3) F es una base de filtro con la siguiente propiedad: para todo A ⊆ X, si A∩B6=∅para cada B∈F, entoncesA∈F.
(4) Fes una familia centrada con las siguientre propiedad: para todoA⊆X, se tiene queA∈F´oX\A∈F.
Para caracterizar el operador cerradura usando filtros, necesitamos introducir las nociones de filtro convergente y de punto de acumulaci´on de un filtro.
Definici´on B.11.11. SeaX un espacio topol´ogico.
(1) Un filtro F (en X) convergeconvergeconverge a un punto x ∈ X, y x es un punto l´ımitepunto l´ımitepunto l´ımite de F, si toda vecindad de x pertenece al filtro F. Para denotar este hecho escribiremosF→x.
(2) Diremos que una base de filtro B convergeconvergeconverge a un punto x∈ X, y x es un punto l´ımite
punto l´ımite
punto l´ımite de B, si el filtro generado por ella converge a x; esto es, si FB→x.