1.4. Expresiones de la lógica de predicados
1.4.3. Forma normal prenexa
En la lógica proposicional hemos introducido dos formas normales, la forma normal conjuntiva y la forma normal disjuntiva. En la lógica de predicados hay una forma normal llamada forma normal Prenexa. La razón para considerar una forma normal Prenexa de una fórmula es simplificar procedimientos de prueba.
Definición 1.28 Forma normal prenexa
Una fórmula G en la lógica de predicados se dice que es una forma normal Prenexa si y sólo si, la fórmula G está en la forma
(Q1x1)(Q2x2)...(Qnxn)(M )
donde cada (Qixi), i = 1, 2, ..., n ya sea ∀xi o ∃xi, y M es una fórmula que no contiene cuan-
tificadores, (Q1x1)(Q2x2)...(Qnxn) es llamada el prefijo y M es llamada la matriz de la fórmula
G.
Dada una fórmula G, consideraremos un método de transformarla en una forma normal Prenexa. Esto se logra primero considerando algunos pasos básicos de fórmulas equivalentes en la lógica de predicados. Recordemos que dos fórmulas G y H son equivalentes si, y sólo si los valores de verdad de G y H son los mismos bajo cada interpretación.
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 48
Los pares básicos de fórmulas equivalentes dadas en la lógica proposicional son todavía verdad para la lógica de predicados, adicionalmente hay otros pares de fórmulas equivalentes conteniendo cuantificadores, y que se estudiaron en secciones anteriores. Consideraremos estos pares adicionales de fórmulas equivalentes.
Sea G una fórmula que contiene una variable libre x, para enfatizar que la variable libre está en G, representamos G por G[x]. Sea H una fórmula que no contiene variable x, tenemos los siguientes pares de fórmulas equivalentes, donde Q es ya sea ∀ o ∃:
1. (Qx)G[x] ∨ H ∼= (Qx)(G[x] ∨ H);
2. (Qx)G[x] ∧ H ∼= (Qx)(G[x] ∧ H);
3. ¬(∀xG[x]) ∼= ∃x(¬G[x]); 4. ¬(∃xG[x]) ∼= ∀x(¬G[x]).
Las leyes 1 y 2 son obviamente verdaderas puesto que H no contiene x, por consiguiente puede ser introducida en el alcance del cuantificador Q. Las leyes 3 y 4 no son difíciles de probar. Sea I cualquier interpretación arbitraria sobre el dominio D.
Si ¬(∀x G[x]) es verdadera en I, entonces ∀x G[x] es falsa en I. Esto significa que hay un elemento d en D tal que G[d] es falso. Esto es ¬G[d] es verdadero en I. Por consiguiente, ∃x (¬G[x]) es verdadera en I. Por otra parte si ¬(∀x G[x]) es falsa en I, entonces ∀x G[x] es verdadera en I. Esto significa que G[x] es verdadera para cada elemento x en D, esto es ¬G[x] es falso para cada elemento x en D, por consiguiente, ∀x (¬G[x]) es falsa en I. Puesto que ¬(∀x G[x]) y ∀x (¬G[x]) siempre asume el mismo valor de verdad para cada interpretación arbitraria, por definición, ¬(∀x G[x]) ∼= ∃x (¬G[x]). Así la ley 3 es probada e igualmente podemos probar la ley 4.
Supongamos que F [x] y G[x] son dos fórmulas que contienen x,
5. ∀x F [x] ∧ ∀x G[x] ∼= ∀x (F [x] ∧ G[x]) 6. ∃x F [x] ∨ ∃x G[x] ∼= ∃x (F [x] ∨ G[x])
Esto es, el cuantificador universal ∀ y el existencial ∃, pueden distribuirse sobre ∧ y ∨, respectivamente. Sin embargo el cuantificador universal y existencial no pueden distribuirse sobre ∨ y ∧ respectivamente. Esto es
∀x F [x] ∨ ∀x G[x] 6= ∀x (F [x] ∨ G[x]) ∃x F [x] ∧ ∃x G[x] 6= ∃x (F [x] ∧ G[x])
Para casos como estos tenemos que hacer algo especial. Puesto que cada variable ligada en una fórmula puede ser considerada como una variable renombrable, cada variable x puede ser renombrada z, y la fórmula ∀x G[x] se transforma en ∀z G[z].
Supongamos que escogemos la variable z que no aparece en F [x]. Entonces
∀x F [x] ∨ ∀x G[x] ∼= ∀x F [x] ∨ ∀z G[z] ∼= ∀x∀z (F [x] ∨ G[z])
Similarmente, renombrando todas las x que ocurren en ∃x G[x] como z, podemos tener
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 49
Por consiguiente, para estos dos casos podemos todavía pasar todos los cuantificadores a la izquierda de la fórmula. En general, tenemos
7. (Q1x)F [x] ∨ (Q2x)G[x] ∼= (Q1x)(Q2x)(F [x] ∨ G[z])
8. (Q3x)F [x] ∧ (Q4x)G[x] ∼= (Q3x)(Q4x)(F [x] ∧ G[z])
donde Q1, Q2, Q3 y Q4 son ya sea ∀ o ∃, y z no aparece en F [x].
Naturalmente si Q1 = Q2 = ∃ y Q3 = Q4 = ∀, entonces no tenemos que renombrar las x en
(Q2x)G[x] o (Q4x)G[x]. Podemos usar las leyes 5 y 6 directamente. Usando las leyes de la lógica
proposicional y las leyes 1 - 8, podemos siempre transformar una fórmula dada en forma normal Prenexa.
La siguiente es una guía del procedimiento de transformación:
PASO 1: Use las leyes
1. F ↔ G ∼= (F → G) ∧ (G → F );
2. F → G ∼= ¬F ∨ G;
Para eliminar las conectividades lógicas ↔ y →.
PASO 2: Repetidamente use las leyes
3. ¬(¬F ) ∼= F ;
4. ¬(F ∨ G) ∼= ¬F ∧ ¬G; 5. ¬(G ∧ G) ∼= ¬F ∨ ¬G; 6. ¬(∀x F [x]) ∼= ∃x (¬F [x]); 7. ¬(∃x F [x]) ∼= ∀x (¬F [x]);
para traer los signos de negación inmediatamente antes de los átomos.
PASO 3: Renombrar las variables ligadas si es necesario.
PASO 4: Use las leyes
8. (Qx)F [x] ∨ G ∼= (Qx)(F [x] ∨ G); 9. (Qx)F [x] ∧ G ∼= (Qx)(F [x] ∧ G); 10. ∀x F [x] ∧ x G[x] ∼= ∀x (F [x] ∧ G[x]); 11. ∃x F [x] ∨ ∃x G[x] ∼= ∃x (F [x] ∨ G[x]); 12. (Q1x)F [x] ∨ (Q2x)G[x] ∼= (Q1x)(Q2x)(F [x] ∨ G[z]); 13. (Q3x)F [x] ∧ (Q4x)G[x] ∼= (Q3x)(Q4x)(F [x] ∧ G[z]).
para mover los cuantificadores a la izquierda de la fórmula y obtener una forma normal Prenexa.
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 50
Ejemplo 1.59 Transformar la fórmula ∀x P (x) → ∃x Q(x) en forma normal prenexa. Solución ∀x P (x) → ∃x Q(x) ∼= ¬∀x P (x) ∨ ∃x Q(x) ∼ = ∃x¬P (x) ∨ ∃x Q(x) ∼ = ∃x [¬P (x) ∨ Q(x)].
Ejemplo 1.60 Transformar la fórmula ∀x ∀y {∃z [P (x, z) ∧ P (y, z)] → ∃u Q(x, y, u)} en forma normal Prenexa.
Solución
∀x ∀y{∃z [P (x, z) ∧ P (y, z)] → ∃u Q(x, y, u)} ∼= ∀x ∀y{¬∃z [P (x, z) ∧ P (y, z)] ∨ ∃u Q(x, y, u)} ∼
= ∀x ∀y{∀z ¬[P (x, z) ∧ P (y, z)] ∨ ∃u Q(x, y, u)} ∼
= ∀x ∀y ∀z ∃u {¬P (x, z) ∨ ¬P (y, z) ∨ ∃u Q(x, y, u)}.
1.4.4.
Tarea
1. Sea A = {1, 2, 3, 4} el conjunto universal. Determine el valor de verdad de cada enunciado: a) ∀x : x + 3 < 6; b) ∀x : x2− 10 ≤ 8; c) ∃x : x2> 1 → x + 2 = 0;
d) ∃x : 2x2+ x = 15.
Resp: a) Falso; b) Verdadero; c) Verdadero; d) Falso.
2. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, siendo N el universo: a) ∀x ∃y (2y = x); b) ∃y ∀x (2x = y); c) ∀x ∃y (2x = y);
d) ∃y ∀x (2y = x); e) ∀x ∀y [¬(2y = x)]. Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
3. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, siendo R el universo: a) ∀x ∃y (xy = 1); b) ∀x ∀y [(x + y)2= x2+ y2]; c) ∃x ∃y (x2+ y2+ 1 = 2xy);
d) ∃x ∃y [(x + 2y = 4) ∧ (2x − y = 2)]. Resp: a) ; b) ; c) ; d) .
4. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, siendo R el universo: a) ∀x ∈ R x2≥ x; b) ∃x ∈ R 2x = x; c) ∀x ∈ R 2x−1 4x−2 = 1 2; d) ∃x ∈ R x2+ 2x + 1 ≤ 0. Resp: a) ; b) ; c) ; d) .
5. Negar los siguientes enunciados:
a) ∃y p(y) → ∀x(¬q(x)); b) ∃x(¬p(x)) ∨ ∀x q(x); c) ∃x ∃y (p(x, y) → q(x, y)). Resp: a) ∃y p(y) ∧ ∃x q(x); b) ∀x p(x) ∧ ∃x(¬q(x)); c) ∀ ∃y(p(x, y) ∧ ¬q(x, y)).
6. Negar las siguientes afirmaciones:
a) ∀x ∀y [(x + y es impar) → (x es impar ∨ y es impar)]; b) ∀x ∃y (x + y = 5 → y = −x); c) ∃x ∀y (x < y ∧ x2≥ y);
d) ∀x ∀y ∃z (x < y → x + z = y). Resp: a) ; b) ; c) ; d) .
7. Averiguar el valor de verdad siendo U = R:
a) ∀x ∈ R (x < 0 → x < 3); b) ∃x ∈ R (x2≥ 0 → x4= x3);
c) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R (x2+ y2= 1); d)
∀x ∈ R, ∀y ∈ R (y < x → 2y < 10). Resp: a) Verdadero; b) Verdadero; c) Falso; d) Falso.
CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁTICA 51
8. Considere el universo U de todos los profesores de ciencias básicas. Sea P(x) el predicado ¨a x le gusta la lógica matemática¨:
a) Exprese la proposición ¨no a todos los profesores de ciencias básicas les gusta la lógica matemática¨, utilizando símbolos de la lógica de predicados;
b) Haga lo mismo para ¨a todos los profesores de ciencias básicas no les gusta la lógica matemática¨;
c) Escriba el signficado de ¬∃x P (x) ∼= ∀x [¬P (x)] para U y P(x); d) Haga lo mismo con ∃x P (x) ∼= ¬∀x [¬P (x)].
Resp: a) ; b) ; c) ; d) .
9. Escriba la negación de las siguientes fórmulas: a) ∃x P (x, x) → [∀y ∀z ¬P (y, z) → ∃x P (x, x)];
b) ∀x ∀y {¬∃x P (f (x, y), y) → [∃x P (f (x, y), y) → ∀z [f (z, x) = y]}; c) ∀x [P (x) → Q(x)] → [∀x P (x) → ∀x Q(x)];
d) ∀x ∃y P (x, y) → ∃y P (f (x, y), y); e) ∀x ∀y P (x, y) → ∀y P (y, y);
f ) ∀x [∃y ∀x P (x, y) ∨ Q(x)] → [∃y ∀x P (x, y) ∨ Q(f (y, y))]. Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f ) .
10. Considere la siguiente interpretación: D = {1, 2}. Asignaciones a las constantes k y t: k = 1 y t = 2. Asignaciones para la función f : f (1) = 2 y f (2) = 1.
Asignaciones para el predicado P : P (1, 1) = V ; P (1, 2) = V ; P (2, 1) = F ; P (2, 2) = F . Evalúe el valor de verdad de las siguientes fórmulas en cada interpretación:
a) P (k, f (k)) ∧ P (t, f (t)); b) ∀x ∃y P (y, x); c) ∀x ∀y [P (x, y) → P (f (x), f (y))]. Resp: a) ; b) ; c) .
11. Dadas las siguientes fórmulas, hallar la correspondiente forma normal prenexa: a) ∀x ∃y [P (x, y) → P (y, x)]; b) ∀x ∀y {[P (x) ↔ P (y)] → x = y};
c) ∃x ∀y (x = y) → [∀x P (x) ∨ ∀x ¬P (x)]. Resp: a) ; b) ; c) .
12. Escriba la negación de las siguientes fórmulas: a) ∀x [P (x) → Q(x)] → [∀x P (x) → ∀x Q(x)]; b) ∀x ∃y P (x, y) → ∃y P (f (x, y), y);
c) ∀x ∀y P (x, y) → ∀y P (y, y);
d) ∀x [∃y ∀x P (x, y) ∨ Q(x)] → [∃y ∀x P (x, y) ∨ Q(f (y, y))]; e) ∀x [P (x) ∨ Q(x)] → [P (x) ∨ Q(x)];
f ) ∀x ∃y P (f (y, x), x) → ∃y P (f (y, f (z, x)), f (z, x)); g) ∃x P (x, x) → [∀y ∀z ¬P (y, z) → ∃x P (x, x)];
h) ∀x ∀y {¬∃x P (f (x, y), y) → [∃x P (f (x, y), y) → ∀z [f (z, x) = y]}. Resp: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f ) ; g) ; h) .
Capítulo 2
Teoría de conjuntos
2.1.
Conjuntos
Casi todos los objetos matemáticos son ante todo conjuntos, independientemente de otra propiedad adicional que posean. Por consiguiente, la teoría de los conjuntos es, en cierto sentido, la base sobre la cual se construye toda la matemática. A pesar de esto, la teoría de los conjuntos, se aprende, y se usa fácilmente.
Definición 2.1 Conjunto
Un conjunto es cualquier colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros del conjunto.
Se usan letras mayúsculas como A, B, C, ..., para indicar conjuntos y letras minúsculas como a, b, c, ..., para indicar miembros o elementos de los conjuntos.
Ejemplo 2.1 Son ejemplos de conjuntos, los siguientes: a. Las letras de alfabeto.
b. Los números pares.
c. Los miembros de un equipo de fútbol.
A continuación se enuncian las siguientes condiciones para definir un conjunto: 1. Los elementos que forman el conjunto han de ser entes bien definidos.
2. Para cada uno de estos elementos no hay otra alternativa que la de pertenecer o no al conjunto. 3. Para cada par de elementos a considerar no hay otra alternativa que la de estar formado o no por elementos distintos.
2.1.1.
Formas de expresar un conjunto
Hay dos caminos para definir o determinar un conjunto, métodos que los lógicos designan por extensión y por comprensión.
Por extensión
Para expresar que el conjunto S consta de los elementos a, b, c, escribiremos S = {a, b, c}, con ello damos la extensión del conjunto S al enunciar cada uno de los elementos que lo componen. Es decir, se declara individualmente todos los elementos del conjunto.