2.1. Semiconductores inorg´anicos
2.1.2. Formaci´on de rejillas de campo el´ectrico de carga espacial en
Si un material fotoconductor es iluminado con una distribuci´on de luz no homog´enea en el espacio da origen a tres mecanismos que permiten un transporte de carga: difusi´on, deriva y efecto fotovoltaico. El mecanismo de difusi´on es originado por un gradiente de portadores de carga libre. El mecanismo de deriva es causado por la presencia de un campo el´ectrico externo aplicado. El efecto fotovoltaico es el proceso de transformaci´on parcial de la energ´ıa lum´ınica en energ´ıa el´ectrica.
Consideremos un material fotoconductor iluminado por una distribuci´on de intensidad, dada por la ecuaci´on (2.7):
I(x) = I0[1 + m cos(Kx + ψ)] (2.7)
donde I0 es la intensidad promedio, K = 2π/Λ es la frecuencia espacial, Λ es el
periodo espacial, ψ es el cambio de fase dependiente del tiempo y m es el contraste del patr´on de interferencia. Bajo condiciones estacionarias del patr´on de iluminaci´on, ψ es constante.
En las regiones iluminadas, los electrones que se encuentran en banda de donadores son excitados hacia la banda de conducci´on (BC), formandose un exceso de carga el´ectrica; esto permitir´a que se genere un transporte de carga o corriente de difusi´on hacia zonas no iluminadas (debido a un gradiente de concentraci´on de carga), ver figura 2.5.
Figura 2.5:Diagrama de bandas de energ´ıas. Modelo te´orico de rejillas de campo el´ectrico de carga espacial
Figura 2.6: Comportamiento de las rejillas de I(x), σ(x) y Esc(x) en una material foto-
Debido al tiempo de respuesta de los electrones, la fotoconductividad, σ(x), seguir´a el mismo perfil de distribuci´on en el espacio que el perfil de iluminaci´on. Sin la presencia de un campo el´ectrico externo, la carga atrapada crea una distribuci´on de campo el´ectrico de carga espacial, Esc(x). Bajo estas condiciones, la distribuci´on
sinusoidal de campo el´ectrico se desplaza por Λ/4 con respecto a σ(x) como se muestra en la figura 2.6. Finalmente, los electrones se recombinan bajando a niveles permitidos. Por lo general lo hacen al nivel del donador (D), ya que hay exceso de ´atomos ionizados. [47, 48, 49]
Ecuaciones b´asicas
El modelo te´orico de rejillas de campo el´ectrico de carga espacial mostrado en la secci´on anterior es usado para el estudio de la fotocorriente en cristales. Se asume que el contraste del patr´on del interferencia es peque˜no (m < 1), esto nos limita a trabajar en el r´egimen lineal.
La ecuaciones b´asicas que describen la evoluci´on temporal de la amplitud com- pleja del campo el´ectrico Esc pueden obtenerse como un resultado de una soluci´on
autoconsistente de un conjunto de cuatro ecuaciones. El an´alisis se restringe a un medio isotr´opico con una constante diel´ectrica ǫ. Esto nos permitir´a considerar solo la componente x de la amplitud del campo el´ectrico, Esc.
La primer ecuaci´on es la de Poisson, que relaciona la componente inhomog´enea espacial del campo el´ectrico y de la densidad neta de carga en el espacio:
∂
∂xEsc = 1 ǫǫ0
ρ(x) (2.8)
La segunda ecuaci´on, es la ecuaci´on de continuidad que describe la conservaci´on de carga:
∂
∂tρ(x) = − ∂
Si se desprecia la posible contribuci´on del efecto fotovoltaico, la densidad de corriente neta es la suma de las densidades de corriente de deriva y de difusi´on:
J(x) = eµn(x)E(x) + eD ∂
∂xn(x), (2.10)
donde µ es la movilidad y D = KBT µ
e es el coeficiente de difusi´on de las cargas. La ´
ultima ecuaci´on describe la raz´on para la concentraci´on de electrones m´oviles en la banda de conducci´on, dada por:
∂ ∂tn(x) = g(x) − n(x) τ + 1 e ∂ ∂xJ(x), (2.11)
donde τ es el tiempo de vida de los electrones en la banda de conducci´on y g(x) es la raz´on de excitaci´on de los electrones. La ecuaci´on (2.11), asume linealidades en la excitaci´on y la recombinaci´on de los electrones. Esto significa que este proceso no depende de la carga atrapada en los niveles de impurezas en un punto dado del material fotoconductor.
Consideraremos una distribuci´on cuasi-estacionaria de la concentraci´on de electrones en la banda de conducci´on, es decir, el tiempo de vida de los electrones τ es mucho menor en comparaci´on con alg´un otro tiempo caracter´ıstico involucrado. Esta aproximaci´on se expresa como: ∂
∂tn(x) ≪ n(x)
τ , por lo cual la ecuaci´on (2.11) se puede reescribir:
0 = g(x) − n(x)τ +1 e
∂
∂xJ(x) (2.12)
Para desarrollar la matem´atica involucrada, es conveniente expresar las posi- bles soluciones de las ecuaciones anteriores en el formalismo de funciones complejas: la intensidad del patr´on de interferencia I(x),
I(x) = I0+
I1
2 exp(iKx) + I−1
2 exp(−iKx); (2.13)
la concentraci´on de electrones m´oviles en la banda de conducci´on n(x),
n(x) = n0+
n1
2 exp(iKx) + n−1
la densidad de carga ρ(x), ρ(x) = ρ0+ ρ1 2 exp(iKx) + ρ−1 2 exp(−iKx); (2.15) la densidad de corriente J(x), J(x) = J0+ J1 2 exp(iKx) + J−1 2 exp(−iKx); (2.16)
y el campo el´ectrico E(x),
E(x) = E0 + Esc = E0+ E1 sc 2 exp(iKx) + E−1 sc 2 exp(−iKx); (2.17) En todas las expresiones, el super´ındice 1 corresponde a la componente modulada espacial con frecuencia espacial K y el super´ındice −1 es su complejo conjugado.
Substituyendo el conjunto de ecuaciones (2.13-2.17) en (2.8-2.12) se obtendr´an otro conjunto de expresiones en t´erminos de las amplitudes complejas (se desprecian t´erminos de m2): iKEsc1 = 1 ǫǫ0 ρ1 (2.18) ∂ ∂tρ 1 = −iKJ1 (2.19) J1 = eµ(n0E1+ n1E0) + iKeDn1 (2.20) mg0 = n1 τ − iKeDn 1 (2.21) De las ecuaciones (2.20) y (2.21) se obtiene la relaci´on para concentraci´on de electrones en la banda de conducci´on:
n1 = n0 m + iKµτ Esc 1 + K2L2 D − iKL0 (2.22)
Por otro lado, combinando las ecuaciones (2.18) y (2.19) y sustituyendo en (2.20) se llega a la expresi´on que describe el proceso de formaci´on del campo el´ectrico espacio-carga Esc, dada por:
∂ ∂tE 1 sc = − m(iED + E0) + Esc1 τdi(1 + K2L2D − iKL0) , (2.23)
donde τdi =
ǫǫ0
σ0
es el tiempo de relajaci´on diel´ectrica del material correspondiente a su fotoconductividad promedio σ0 = egµτ , L0 = µτ E0 es la longitud de deriva
de los electrones en la banda de conducci´on debidos al campo el´ectrico externo E0,
LD =
√
Dτ = r µτED
K es la longitud de difusi´on promedio y ED es el campo el´ectrico de difusi´on. Bajo condiciones de estado estacionario, ∂
∂tE
1
sc = 0, y bajo la
consideraci´on de E0 = 0, obtenemos que el campo el´ectrico espacio-carga es:
E1
sc = −imED, (2.24)
donde ED =
KD
µ . Hay un cambio de fase de π/2 correspondiente a un cuarto del desplazamiento del periodo espacial a partir de la distribuci´on del patr´on de interferencia, ver figura 2.6.