Producción Valor agregado
Para la función de producción se emplea una Cobb-Douglas, que representa el valor agregado de la economía de Bogotá.
!& = %&'&(9)*&9 ∀[ = 1,2,3; 5"- 6&+ 8& = 1 (1)
!& = U[Ü.ú ,. :C",ù55["- ù "#.CkV ,. ÜVú"C V^C.^V,"
'& = G.JV-,V ,. 5V:[kVú
)&= G.JV-,V ,. kCVûV\"
6&, 8&= .úVjk[5[,V,.j ,. ú"j #V5k"C.j Vú :C",ù5k"
%&= U[Ü.ú ,. k.5-"ú"^íV
La función de benéficos de las firmas viene establecida por la diferencia entre los ingresos del valor agregado y los costos respectivos de los factores productivos.
†&>?@= :&>?@UA%&B− C'&− P)& (2) Por lo tanto la función de producción a maximizar en problema de cada firma es:
max
>?@9£,'[ ,)[∈ ℝ+
†&>?@= :&>?@UA%&B− C'&− P)& (3) j. V UA%&B= %&'&(9)*&9 ∀[ = 1,2,3
En ese sentido, se deprenden las condiciones primer orden, las cuales equivalen a las demanda de insumos y productos: :&>?@6 & A%&B '& = C :&>?@8 &?@9 £ ß9 = P (4) ∀[ = 1,2,3
Por lo que, las ecuaciones 1 y 4 representan la oferta de valor agregado y las demandas de factores por sector.
Bienes Nacionales
En esta etapa, se emplea el valor agregado específico de cada sector y de los bienes intermedios, para la producción de un bien “nacional”.
X&B= J[-(UA%&
H VW& , YO,& VYO,&, Yè,& VYè,&, Yt,& VYt,&) ∀[ = 1,2,3
5"- 1 = VW&+ VYO,&+ VYè,&+ VYt,& (5)
YO,& = ,.JV-,. ,. û[.-.j ,.ú j.5k"C [ Vú :C[JVC["
Yè,&= ,.JV-,V ,. û[.-.j ,.ú j.5k"C [ Vú j.5ù-,VC["
Yt,&= ,.JV-,V ,. û[.-.j ,.ú j.5k"C [ Vú k.C5[VC["
El objetivo de las firmas es maximizar los beneficios sujetos a la tecnología de producción:
50Para la aplicación y modelación de las formas funcionales, se remitió al trabajo de Rodriguez (2015), donde su obtuvieron las
ecuaicones.
Variables endógenas
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max
®9£,>?@9£,Y\,[∈ ℝ+
†&s = :&sX&B− :&>?@UA%&H− :ZQYZ,& t Zu& X&B= J[-(>?@9© r™9 , ´},9 r´},9, ´¨,9 r´¨,9, ´≠,9 r´≠,9) ∀[ = 1,2,3 (6) Donde :&Q .j .ú :C.5[" ,.ú û[.- 5"Jù.jk"
Para encontrar el óptimo de la igualdad se requiere de la igualación de sus componentes: X&B= UA%H&
VW& → UA%&H= VW&X&B ∀[ = 1,2,3
X&B= ´Ø,9
r´Ø,9 → YZ,&= VYZ,&X&
B ∀[, \ = 1,2,3 (7)
Para efecto del desarrollo en la solución GAMS es necesario modificar la minimización de la función de producción, por lo que se propone remplazar la optimización de 7 en la función de beneficios de 6.
†&s = :&sX&B− :&>?@VW&X&B− tZu&:ZQVYZ,&X&B
Debido a que el beneficio de las firmas es nulo, los rendimientos constantes a escala se obtiene la siguiente ecuación simplificando Z:
:&s= :&>?@VW&− Zu&t :ZQVYZ,& (8)
Por lo que, la ecuaciones 7 y 8, son aquellas que determinan las condiciones de demanda de Valor agregado y consumo intermedio, del mismo modo que la oferta del bien nacional.
Exportaciones
Para el caso de las exportaciones, las firmas de cada sector demandan el Bien Nacional X&B, el cual tiene dos alternativas, o el bien se consume en el interiorG&B o se exporta z&. Por lo que se hace necesario una
tecnología de transformación del tipo CET y los precios relativos del bien doméstico y el que fija el resto del mundo, para el bien i. La CET evita que exista sustitución perfecta entre los bienes, es decir genera que toda la oferta bienes sea de consumo o de exportación (bienes homogéneos).
X&H = w
& [x,& G&B y9+ x.& z& y]
}
∞9 ∀[ = 1,2,3
q"- |& = ±&+ 1
±& W ; x,&+ x.& = 1
±&= .úVjk[5[,V, ,. kCV-#"CJV5[ó- .-kC. .ú û[.- ,"Jéjk5"
|&= :VCáJ.kC" µù. 5V:kùCV úV .úVjk[5[,V, .- úV #ù-5[ó- ,. kC-Vj#"CJV5[ó-
x,& = [J:"CkV-5[V ,.ú û[.- ,"Jéjk[5"
x.&= [J:"CkV-5[V ,.ú û[.- ,. .Y:"CkV5[ó-
La firma maximiza el beneficio resultante producto de la venta del bien doméstico y el exportado en cuya producción solo emplea como insumo el bien nacional. Al hace r la comparación se supone un pago (impuesto) sobre la producción a una taza R&s:
†&∂ = :&;z&+ :&HG&B− (1 + R&s):&sX&H (10)
La idea de la firma es escoger X&H, G
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max
∂,∑,®∈ ℝ+
= †&∂= :
&;z&+ :&HG&B− (1 + R&s):&sX&H
j. V X&H= w& x,& G&B y9+ x.& z& y
}
∞9 (11)
:&; = <:.
&= ∀[ = 1,2,3
Donde < es endógeno, y la ecuación de :&;es solo la transformación del precio en monea extranjera. Por lo tanto, y luego de maximizar, se desprende las ecuaciones de oferta de los bienes domésticos y exportados:
G&B = [w&
y9x,
&+ (1 + R&s):&s
:&H ] O OTy9 X&H ∀[ = 1,2,3 z& = [∏9∞9π;9∫(O∫ª9º)Ç9º Ç9© ] } }Ω∞9 X&H ∀[ = 1,2,3 (12) :&; = <:.&= ∀[ = 1,2,3 Importaciones
Para el caso de las importaciones, cada firma por sector empela bienes domésticos G&H, importaciones L&,
y las transforma en un bien compuesto !&, que genera la oferta final del consumo interno de la economía.
Por lo que la firma de cada sector tiene una tecnología de producción CES. Dicha función evita que se genere una sustitución perfecta de importados y domésticos. Por tanto la función de producción CES es:
!& = D&[F,& G&H I9+ FJ&(L&)I9] O
I9 ∀[ = 1,2,3
q"- -& =
æ&− 1
æ& W ; F,&+ FJ& = 1
æ&= .úVjk[5[,V, ,. jùjk[kù5[ó- .-kC. .ú û[.- [J"CkV," W .ú ,"Jéjk[5"
-&= :VCáJ.kC" ,. 5V:kùCV ,. úV .úVjk[5[,V, .- úV #ù-5[ó- ,.ú û[.- 5"J:ù.jk"
F,&+ FJ&= [J:"CkV-5[V ,. új" û[.-.j ,"Jéjk[5" . [J:"CkV,"
Por lo tanto, la firma maximiza los beneficios que resulta de la producción del bien compuesto, por la cual se emplea el bien importado y el doméstico. Cabe resaltar que por la compra de cada bien importado se debe hacer efectivo el pago de un arancel R&S:
†&S = :&Q!&− 1 + R&S :&SL&− :&HG&H
La idea de la firma es escoger !&, G&H, L
&, por medio de la maximización de los beneficios:
max
Ñ,∑ø∈ ℝ+
= †&S = :&Q!&− 1 + R&S :&SL&− :&HG&H
j. V. !& = D&[F,& G&H I9+ FJ&(L&)I9] O I9
:&S = <:J&= ∀[ = 1,2,3
De la maximización de los beneficios se desprende las desmandas de bien doméstico y de bien importado: L& = [ D&I9F, &:&Q (1 + R&S ):&S] O OTI9 !& ∀[ = 1,2,3 G& = [ D&I9F, &:&Q :&H ] O OTI9 !& ∀[ = 1,2,3
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Hogares
En el caso de los hogares, estos recién ingresos de su propiedad de capital y de la remuneración al trabajo (salarios). Sin embargo, también reciben ingresos por las rentas de propiedad y otras transferencias, al igual que prestaciones de Firmas y Gobierno. Por el lado del gasto, los pagos de contribuciones sociales a firmas y gobierno son considerados exógenos.
Adicionalmente, suponemos que la oferta de factores es fija ('B)B) en donde la participación en la propiedad
de capital es equivalente a Ψaa¿ [0,1]
En el caso de las transferencias (pensión y salud), estas se incluyen directamente como parámetro. Cabe resaltar los nuevos label que van a determinar las rentas de propiedad y otras transferencias (RPTR):
• Ingresos por RPTR =bcdb__e>
• Pagos o gastos por RPTR = bcdb__ghi
•
Por el lado de las prestaciones sociales y contribuciones: • Prestaciones cC.jkH;l&m y cC.jkH;nop
• Contribuciones q"-krl&m y q"-krnop
Por lo tanto, el ingreso de lo hogares antes de impuestos seria: ]-^__= P)B+ Ψ
aa'B + bcdb__e> − bcdb__ghi+ cC.jkH;l&m+ cC.jkH;nop− q"-krl&m
− q"-krnop
Por lo que el hogar paga impuestos a una tasa R__ ¿ [0,1] y ahorra una parte j__ ¿ [0,1]. El ingreso
disponible de los hogares después de impuestos y de ahorro, lo destina a la compra de bienes y servicios en los tres sectores (primario, secundario y Terciario).
Por lo que, las demandas marshalianas del hogar serian:
Y&aa = v& []-^aa 1 − R__ ](1 − j) :&Q
∀[ = 1,2,3
Y el ahorro de los hogares {aa es una parte de los ingresos disponibles, posterior al pago de impuestos:
{aa = []-^
aa 1 − R__ ]j Gobierno
Para el caso del Gobierno, este tiene por concepto de impuesto la renta de Firmas dÄ y de Hogares daa.
Del mismo modo, que impuesto a la producción dÇmo y los aranceles dS. Y por último ingreso en la
propiedad de capital ΨÉ¿ [0,1], un porcentaje del total.
Por otro lado, el gobierno genera y recibe rentas de propiedad y otras transferencias –RPTR (bcdb__e>, bcdb
__ghi). Asimismo, recibe contribuciones q"-krnopy genera prestaciones a los hogares
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Los impuestos viene dados por:
daa = (]-^ aa)Raa
dÄ = (Å
ÄC'B)RÄ
Para el caso de los ingresos por el impuesto de la producción y los aranceles son generados por la sumatoria de lo generado por cada sector:
dÇmo= R &s:&sX&H t
&uO
dÑ = R
&S:&SL& t
&uO
Asimismo, los ingresos por propiedad del capital vendría dados por: ÅÉC'B
Por lo que, los ingresos del Gobierno (]-^É) agregando las diferentes fuentes vendría dada por:
]-^É= daa+ dÄ+ dÇmo+ dÑ+ Ψ
ÉC'B + bcdb__e> − bcdb__ghi− cC.jkH;nop+ q"-krnop
Mientras que el gasto del Gobierno (G) vendría dado por:
Ö = :&QY&É = :OQYOÉ+ :èQYèÉ+ :tQYtÉ
t &TO
Por lo que los recursos que el Gobierno dispone para las inversiones vendrían dados por: b]É= ]-^
É− Ö Firmas
En el caso de las firmas, estas perciben ingresos exclusivamente de su propiedad de capital ΨÉ¿ [0,1], lo
que significa que reciben ΨÄC'B. Por otro lado, pagan impuestos sobre sus ingresos, generan y reciben
rentas de propiedad y otras transferencias (bcdb__e>, bcdb
__ghi). Adicionalmente, reciben contribuciones
q"-krl&m y generan pagos por prestaciones cC.jkH;l&m.
EL ingreso disponible de las firmas, se envía al sector institucional (inversión), para la compra de bienes de capital en las tres ramas de actividad. Por su parte, el ingreso de capital después de impuestos 'Ä, sería:
'Ä = Ψ
ÄC'B(1 − RÄ)
Y el ingreso disponible de las firmas para la compra de bienes de capital b]Ä, sería:
b]Ä= 'Ä+ bcdb __
e> − bcdb
__ghi+ q"-krl&m− cC.jkH;l&m Resto del mundo
Del mismo modo, el resto del mundo recibe ingresos por la venta de productos nacionales (importados), y genera pagos a los bienes que consume (exportados). Adicionalmente, generan y reciben rentas de propiedad y otras transferencias (bcdb__e>, bcdb
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el ahorro {ágà (el cual se asume exógeno). Por tanto, la función de equilibrio del ROW (balanza de pagos,
a pesos nacionales) es:
:&;z&+ {ágà+ t
&uO
bcdb__ghi = :
&SL&+ bcdb__e> t
&uO
Para el caso del resto del mundo, se requiere el cierre del sector externo. Lo anterior, se puede realizar por medio de dos alternativas51:
• Se asume el tipo de cambio < como exógeno, mientras que el ahorro {ágà es endógeno. • Establecer {ágà como fijo y < variable
Inversión
Por su parte, los recursos ahorrados que se disponen Hogares ({aa), Firmas (b]Ä), Gobierno y ROW
({ágà), se dedican a la compra de bienes de Inversión.
Del mismo modo, la demanda de bienes de inversión en cada uno de los tres sectores productivos (]-Ü&), se
hace siguiendo un porcentaje fijo del gasto ä& ¿ [0,1] en cada uno dodne se satisface t&uOä& = 1. ä& {aa+ b]É+ b]Ä+ {ágà = :&Q]-Ü&
∀[ = 1,2,3
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