II.6. Introducci´on a la Teor´ıa de Distribuciones Funci´on de Green causal
III.1.4. Funci´on de Green para condiciones de contorno locales Soluci´on
mog´enea
Consideremos, ahora, la ecuaci´on inhomog´enea (III.1.3). Como en los problemas de condiciones iniciales, la herramienta general de resoluci´on ser´a la funci´on de Green
G(x, x′)del operadorLcon las condiciones de contorno (III.1.5).
Se define dicha funci´on de Green como la soluci´on de la ecuaci´on (el sub´ındice en el operador indica que el mismo act´ua sobre el primer argumento de la funci´on de Green)
Lx[G(x, x′)] =δ(x−x′), (III.1.10)
(dondea < x, x′ < b) que satisface, en su primera variable, las condiciones de contorno
(III.1.5), es decir caG(a, x′) +da dG dx(x=a, x ′) = 0, cbG(b, x′) +db dG dx(x=b, x ′) = 0. (III.1.11)
Probaremos a continuaci´on que:
Teorema III.1.2 i) dicha soluci´on existe y es ´unica si y s´olo si la ´unica soluci´on de la ecuaci´on homog´eneaL[u(x)] = 0 con la condici´on de contorno (III.1.5) es la soluci´on trivialu(x) = 0∀x∈[a, b](no existen modos cero) y
ii) en tal caso, existe una ´unica soluci´on de la ecuaci´on inhomog´enea (III.1.3) con la condici´on de contorno (III.1.5), dada por la integral:
u(x) =
Z b
a
G(x, x′)f(x′)dx′. (III.1.12)
Demostraci´on:
Probaremos primero ii). Resulta claro que, siG(x, x′)existe,
(III.1.12) es soluci´on de (III.1.3) pues
L[u(x)] = Z b a Lx[G(x, x′)]f(x′)dx′ = Z b a δ(x−x′)f(x′)dx′ =f(x),
donde hemos usado, primero, queLact´ua sobre la primera variable, no afectada por la integral, y, en estas condiciones, siempre pueden intercambiarse integral y derivada en el sentido de las distribuciones. Luego, hemos usado la ecuaci´on diferencial que define a la funci´on de Green y, finalmente, la definici´on de la distribuci´on delta de Dirac.
Adem´as,ucumple la condici´on de contorno (III.1.5) puesGla cumple en su primera variable, no afectada por la convoluci´on. En efecto
cau(a) +dau′(a) = Z b a [caG(a, x′) +da dG dx(x=a, x ′)]f(x′)dx′ = 0 cbu(b) +dbu′(b) = Z b a [cbG(b, x′) +db dG dx(x=b, x ′)]f(x′)dx′ = 0
Hemos mostrado, entonces, que (III.1.12) es soluci´on.
La unicidad de esta soluci´on surge, por el absurdo, una vez probado i). En efecto, si existenv1 y v2 tal que L[vi(x)] = f(x), i = 1,2, satisfaciendo ambas (III.1.5) con
los mismos coeficientes, por la linealidad deLse tiene L[v1(x)−v2(x)] = L[v1(x)]− L[v2(x)] = 0, lo que implica, por i), quev1−v2 = 0o, equivalentemente,v1 =v2.
La prueba de i) se ver´a directamente por construcci´on de la funci´on de Green. Seanu1(x)yu2(x)dos soluciones de la ecuaci´on homog´eneaL[u(x)] = 0, cada una
de las cuales satisface la condici´on de contorno en uno de los extremos:
cau1(a) +dau′1(a) = 0, cbu2(b) +dbu′2(b) = 0. (III.1.13)
Por la propiedad de superposici´on paraL[u(x)] = 0, siempre existen soluciones ´uni- casu1(x),u2(x)no id´enticamente nulas que satisfacen estas condiciones. Por ejemplo, si v1(x)yv2(x)son dos soluciones cualesquiera linealmente independientes y no nulas de L[v] = 0,
u1(x) = v1(x)[cav2(a) +dav′2(a)]−v2(x)[cav1(a) +dav1′(a)], u2(x) = v1(x)[cbv2(b) +dbv2′(b)]−v2(x)[cbv1(b) +dbv1′(b)],
satisfacen (III.1.13).
Por otro lado, parapyq continuos yp > 0, no pueden existir dos soluciones lineal- mente independientes que satisfagan ambas la condici´on de contorno en uno cualquiera de los extremos del intervalo (pues, de ser as´ı, el determinante de la matriz fundamental, es decir el wronskiano de estas soluciones, ser´ıa nulo en ese extremo).
Para x < x′, L[G(x, x′)] = 0y podemos entonces escribir G(x, x′) = c
1(x′)u1(x),
que satisface la condici´on de contorno enx = a. An´alogamente, six > x′, G(x, x′) =
c2(x′)u2(x), que satisface la condici´on enx=b. Por lo tanto,
G(x, x′) =
c1(x′)u1(x) x < x′ c2(x′)u2(x) x > x′ .
(III.1.14)
Integrando (III.1.10) entrex′−εyx′+ε,
conε >0, obtenemos −[p(x)G′(x, x′)]|xx==xx′′+−εε+ Z x′+ε x′−ε q(x′)G(x, x′)dx′ = 1, dondeG′(x, x′) = d dxG(x, x′).
Debido a la continuidad depyq, esta ecuaci´on puede satisfacerse s´olo siG(x, x′)es
continua y su derivada tiene una discontinuidad−1/p(x′)enx=x′(es decir,−p(x)G′(x, x′)
debe ser de la formaH(x−x′) +φ(x), conφcontinua enx=x′, para que(−pG′)′con-
tenga un t´erminoδ(x−x′)). Esto implica c1(x′)u1(x′)−c2(x′)u2(x′) = 0, c1(x′)u′1(x′)−c2(x′)u′2(x′) = 1 p(x′), conu′(x) = du dx, lo que determinac1yc2: c1(x′) = −u2(x′)/C, c2(x′) =−u1(x′)/C , donde C = p(x′)[u1(x′)u′2(x′)−u2(x′)u′1(x′)] = [pW(u1, u2)]x=x′, W(u1, u2) = u1 u2 u′ 1 u′2 .
La soluci´on existe s´olo siC 6= 0, o sea, s´olo si el WronskianoW(u1, u2)es no nulo. Esto
se cumple siu1(x)yu2(x)son dos soluciones linealmente independientes deL[u] = 0.
En estas condiciones,C es una constante, independiente dex′:
[p(u1u′2−u2u′1)]′ =p′(u1u′2−u2u′1) +p(u1u′′2−u2u′′1)
=u1(pu′2)′−u2(pu′1)′ =q(u1u2−u2u1) = 0.
El resultado final paraC 6= 0es, pues,
G(x, x′) =
−u1(x)u2(x′)/C x≤x′ −u1(x′)u2(x)/C x≥x′ .
(III.1.15)
SiC = 0, la funci´on de Green no existe. En este caso las soluciones u1(x)y u2(x)
son linealmente dependientes, es decir,u2(x) = cu1(x), por lo que u1(x) satisface la
condici´on de contorno en ambos extremos. Esto implica que, siC= 0, existe una soluci´on no trivial u1 6= 0 que satisface L[u1] = 0 y las condiciones de contorno (III.1.5). En
otras palabras, la funci´on de Green existe si y s´olo si la ´unica soluci´on de la ecuaci´on homog´enea L[u] = 0 que satisface las condiciones (III.1.5) es u = 0. Esto concluye la prueba de i) y, al mismo tiempo, (III.1.15) da una expresi´on expl´ıcita para la funci´on de
Green.
N´otese que el resultado es completamente an´alogo al que se obtiene al resolver sis- temas de ecuaciones lineales algebraicas Ax = b, con A una matriz de n × n, y x, b
vectores columna den×1. Si la ´unica soluci´on al sistema homog´eneoAx= 0esx= 0, entonces existe la inversa A−1, definida por AA−1 = I, con I la identidad (es decir,
(AA−1)
i,j =δij) y, en este caso, la soluci´on deAx =bes ´unica y est´a dada porx=A−1b
(o sea,xi =PjA−ij1bj). En cambio, si existex6= 0t.q.Ax= 0, la inversaA−1no existe.
El operador lineal definido por
G[u(x)] =
Z b
a
G(x, x′)u(x′)dx′ (III.1.16)
es, pues, elinversodel operadorLy se lo denota, tambi´en, comoL−1.
Notemos que i) el inverso del operadordiferenciallinealL es un operador linealin- tegral(G(x, x′)se conoce como el n´ucleo del operador integral) y que ii)Gdepende no
s´olo de los coeficientesp(x),q(x)deL, sino tambi´en de lacondici´on de contorno. Volviendo a la ecuaci´on (III.1.15), observemos tambi´en, la simetr´ıa
G(x, x′) =G(x′, x), (III.1.17)
que permite enunciar la
Propiedad de reciprocidad: La respuesta del sistema enxfrente a una fuente puntual enx′es id´entica a la respuesta del sistema enx′frente a una fuente puntual enx, aun sipy
qdependen dex. Esto se debe al car´acter autoadjunto deL. En efecto, debido tal car´acter: (LxG(x, x′), G(x, x′′)) = (G(x, x′), LxG(x, x′′)).
Usando la ecuaci´on diferencial que satisface la funci´on de Green, y la definici´on de la delta de Dirac: Z b a dx δ(x−x′)G(x, x′′) = Z b a dx G(x, x′)δ(x−x′′), que conduce a G(x′, x′′) = G(x′′, x′).
A partir de (III.1.17), es f´acil ver que el operador inversoG, definido en (III.1.16) es tambi´en autoadjunto:(v, G[u]) = Rb
a
Rb
a v(x)G(x, x′)u(x′)dxdx′ = (G[v], u).
Obs´ervese que la funci´on de Green (III.1.15) no es invariante frente a traslaciones espaciales (debido a las condiciones de contorno). La invariancia traslacional est´a rota, aun sipyqson constantes, por lo queG(x, x′)6=G(x−x′).
Utilizando (III.1.15), vemos que la soluci´on (III.1.12) puede escribirse como
u(x) = −1 C [u2(x) Z x a u1(x′)f(x′)dx′+u1(x) Z b x u2(x′)f(x′)dx′]
y puede verificarse expl´ıcitamente queL[u] =f. Siempre es posible escribirla en la forma
u(x) = up(x) +uh(x), dondeup es una soluci´on particular de la ecuaci´on inhomog´enea
(L[up] = f) y uh una soluci´on de la ecuaci´on homog´enea (L[uh] = 0) ajustada para
satisfacer la condici´on de contorno.
Ejemplo III.1.1 :L=−d2
dx2 (p(x) = 1,q(x) = 0). En este caso, tomandoa= 0,b > 0
yu(0) =u(b) = 0, u1(x) = x, u2(x) =x−b yC =x−(x−b) =b. Obtenemos G(x, x′) = ( x(b−x′) b x≤x′ x′(b−x) b x≥x′ . (III.1.18) La soluci´on de la ecuaci´on −d 2u dx2 =f(x),
para0≤x≤bconu(a) = u(b) = 0es, entonces,
u(x) = Z b 0 G(x, x′)f(x′)dx = 1 b[ Z x 0 x′(b−x)f(x′)dx′+ Z b x x(b−x′)f(x′)dx′].
Por ejemplo, sif(x) =x2 se obtiene u(x) = 1 12x(b 3 −x3) =−x 4 12+x b3 12,
que se compone de la soluci´on particular −x4/12 m´as la soluci´on de la ecuaci´on ho-
mog´eneaxb3/12, que garantiza que se cumplau(0) =u(b) = 0.
Ejemplo III.1.2:L=−dxd22 −ω2,a= 0,b >0. En este caso, parau(a) =u(b) = 0,
u1(x) = sin(ωx), u2(x) = sin(ω(x−b))
yC =ω[sin(ωx) cos(ω(x−b))−cos(ωx) sin(ω(x−b))] =ωsin(ωb).
La funci´on de Green existe s´olo sisin(ωb)6= 0, es decir, siω6=nπ/b, conn∈Z (ver ejemplo en la secci´on III.1.1). Cuando existe, se tiene
G(x, x′) = 1
ωsin(ωb)
sin(ωx) sin(ω(b−x′)) x≤x′
Paraω →0se recupera el resultado (III.1.18).
Siω =ik, conkreal, la funci´on de Green existe ∀k 6= 0y se obtiene reemplazando
ω→k,sin→sinhen el resultado anterior.
Ejemplo III.1.3:
Consideremos, nuevamente, L = −d2
dx2. Si la condici´on de contorno es u′(a) =
u′(b) = 0, la funci´on de Green no existe: Tenemos
u1(x) = c1, u2(x) = c2
y, por lo tanto,C = 0. Esto se debe a que la soluci´on constanteu(x) = c6= 0es soluci´on no nula de L[u] = 0 y satisface u′(a) = u′(b) = 0. Obs´ervese que, en este caso, la
soluci´on del problema inhomog´eneo, si existe, no es ´unica. En efecto, dada una soluci´on, siempre se le puede sumar una constante arbitraria, que satisface la ecuaci´on homog´enea y la condici´on de contorno.
Ejemplo III.1.4:Consideremos, ahora,L=− d2
dx2−ω2, con la condici´onu′(a) =u′(b) =
0.
Tenemos
u1(x) = cos(ωx), u2(x) = cos(ω(x−b)),
conC =−ωsin(ωb).
La funci´on de Green existe nuevamente s´olo sisin(ωb)6= 0, es decir, si
ω6=nπ/b, conn∈Z. En esas condiciones,
G(x, x′) = 1 ωsin(ωb) cos(ωx) cos(ω(b−x′)) x≤x′ cos(ωx′) cos(ω(b−x)) x≥x′ . Siω →0,|G(x, x′)| → ∞.
Por otro lado, siω=ik, conkreal,G(x, x′)existe∀k6= 0.