Funciones cóncavas y cuasicóncavas
4.3 Funciones cuasicóncavas y funciones cuasiconvexas
Además de las funciones cóncavas y convexas, existe otro tipo de funciones denominadas cuasicóncavas y cuasiconvexas, que también revisten de gran importancia en el tema de optimización. Antes de presentar estas últimas, es útil introducir primero la siguiente definición.
Definición. SeaS ⊂ Rnun conjunto convexo. Seanf : S → R y k ∈ R. a) El contorno def en k es el conjunto
Cf(k) = {−→x ∈ S |f(−→x ) = k } .
b) El contorno superior def en k es el conjunto
CSf(k) = {−→x ∈ S |f(−→x ) ≥ k } .
c) El contorno inferior def en k es el conjunto
El contornoCf(k) es lo que denominamos en la sección 2.2 como conjunto de
nivel, o curva de nivel en el caso de funcionesf : R2 → R. Así, por ejemplo, en el
caso de una función de utilidadu(x, y) correspondiente a la canasta de dos bienes (x, y), el contorno Cu(u0) es la curva de indiferencia
Cu(u0) = (x, y) ∈ R2+| u(x, y) = u0 ,
mientras que el contorno superior CSu(u0) representa las preferencias del
consumidor,
CSu(u0) = (x, y) ∈ R2+| u(x, y) ≥ u0 ,
dadas por las canastas que le generan una utilidad mayor o igual queu0.
Nota que los contornosCSf(k) y CIf(k) son subconjuntos del dominio de f y
ambas regiones contienen al contorno.Cf(k). Para determinar las regiones CSf(k)
yCIf(k) basta con resolver la desigualdad correspondiente a su definición. Existe
una manera alternativa, que consiste en identificar solamente el contornoCf(k)
y graficar en él el vector gradiente∇f, que necesariamente apuntará hacia el contorno superiorCSf(k).
Ejemplos:
1. Seaf : R2 → R, definida por f(x, y) = x2+ y2. Encuentra los contornosC f,
CSf yCIf correspondientes ak = 1.
En este caso, se tiene directamente
Cf(1) = (x, y) ∈ R2 x2+ y2 = 1 ,
CSf(1) = (x, y) ∈ R2 x2+ y2 ≥ 1 ,
2. Seaf : R2 → R, definida por f(x, y) = 2 − x2 − y2. Encuentra los contornos
Cf, CSf yCIf correspondientes ak = 1.
En este caso se tieneCf(1) = {(x, y) ∈ R2|2 − x2− y2 = 1 }, es decir,
Cf(1) = (x, y) ∈ R2 x2+ y2 = 1 .
Asimismo,CSf(1) = {(x, y) ∈ R2|2 − x2− y2 ≥ 1} , es decir,
CSf(1) = (x, y) ∈ R2 x2+ y2 ≤ 1
yCIf(1) = {(x, y) ∈ R2|2 − x2− y2 ≤ 1} , es decir,
CIf(1) = (x, y) ∈ R2 x2+ y2 ≥ 1 .
3. Sea u : R2+ → R una función de utilidad tipo Cobb-Douglas, definida
por u(x, y) = xαyβ, α, β > 0. Encuentra los contornos C
u, CSu y CIu
correspondientes ak = 1.
Procediendo de manera análoga a los dos ejemplos anteriores, se tiene
Cu(1) = (x, y) ∈ R2+ xαyβ = 1 ,
CSu(1) = (x, y) ∈ R2+ xαyβ ≥ 1 ,
que representan las canastas con una utilidad u = 1, u ≥ 1 y u ≤ 1, respectivamente.
4. Seaf : R → R, definida por f(x) = 2 − x2. Encuentra los contornosCf, CSf
yCIf correspondientes ak = 1.
En este caso se tieneCf(1) = {x ∈ R |2 − x2 = 1}, es decir,
Cf(1) = {x ∈ R | |x| = 1} .
Asimismo,CSf(1) = {x ∈ R |2 − x2 ≥ 1} , es decir,
CSf(1) = {x ∈ R | |x| ≤ 1}
yCIf(1) = {x ∈ R |2 − x2 ≤ 1} , es decir,
CIf(1) = {x ∈ R | |x| ≥ 1} .
5. Seaf : R → R, definida por f(x) = x2. Encuentra los contornosCf, CSf y
CIf correspondientes ak = 1.
En este caso, se tiene
Cf(1) = {x ∈ R | |x| = 1} ,
CSf(1) = {x ∈ R | |x| ≥ 1} ,
6. Para la función f(x) = ln(2 − x), encuentra los contornos Cf, CSf y CIf
correspondientes ak = 0.
Primero notamos que el dominioDf de la funciónf es el conjunto
Df = {x ∈ R | −∞ < x < 2} .
En este caso, se tiene
Cf(0) = {x ∈ Df| x = 1} = {1} ,
CSf(0) = {x ∈ Df| x < 1} = {x ∈ R | −∞ < x < 1} ,
CIf(0) = {x ∈ Df| x > 1} = {x ∈ R | 1 < x < 2} .
Los ejemplos anteriores ilustran cómo en el caso de funcionesf en R3 los
contornosCf, CSf yCIf están en R2, mientras que para funciones f en R2 los
contornos están en R. En todos los casos, los contornos son subconjuntos del
dominio, como se muestra muy especialmente en el ejemplo 6.
Teorema.
a)f es cóncava ⇒ CSf(k) es convexo, para todo k en la imagen de f .
b)f es convexa ⇒ CIf(k) es convexo, para todo k en la imagen de f.
Uno podría preguntarse ahora si las implicaciones anteriores pueden ser invertidas. En otras palabras, ¿será cierto que CSf convexo implica que f
es cóncava? La respuesta es negativa, como lo ilustra la siguiente gráfica, correspondiente a la funciónf (x) = −x3.
En este ejemplo es claro que tantoCSf(k) como CIf(k) son convexos para todo
k ∈ R, pero la función f(x) = −x3 no es cóncava ni es convexa en su dominio.
Una función como ésta es un ejemplo de función cuasicóncava y cuasiconvexa, a la vez, como se define a continuación.
Definición. Sea S ⊂ Rn un conjunto convexo. Se dice que una función
f : S → R es cuasicóncava, si para todo k en la imagen de f el conjunto CSf(k)
es convexo. La función es cuasiconvexa, si para todo k en la imagen de f el
La figura de la izquierda representa una función cuasicóncava, ya que para todo
k el contorno superior CSf(k) es convexo. La figura de la derecha muestra una
función que no es cuasicóncava, ya que su contorno superiorCSf(k) no siempre es
convexo (depende del valor dek). Nota que esta última tampoco es cuasiconvexa,
puesto que su contorno inferior CIf(k) tampoco es convexo en general. Las
siguientes figuras muestran otras funciones cuasicóncavas en R2.
Análogamente, las siguientes figuras muestran ejemplos de funciones cuasicon- vexas en R2.
También observa que una función puede ser convexa y cuasicóncava a la vez, como es el caso de la funciónex, que también es cuasiconvexa, y que todas las funciones
lineales (rectas, planos e hiperplanos) son cuasicóncavas y cuasiconvexas, además de ser cóncavas y convexas (no estrictas).
Por último, nota que toda función cóncava (convexa) es también cuasicóncava (cuasiconvexa), pero no viceversa.
Teorema
a)f cóncava ⇒ f cuasicóncava. b)f convexa ⇒ f cuasiconvexa.
También es posible demostrar que las implicaciones CSf convexo ⇒
f cuasicóncava y CIf convexo ⇒ f cuasiconvexa de la definición de
cuasiconcavidad/cuasiconvexidad son más bien del tipo⇐⇒ . En resumen, podemos concluir que
f cóncava =⇒ f cuasicóncava ⇐⇒ CSf convexo,
f convexa =⇒ f cuasiconvexa ⇐⇒ CIf convexo.
Este resultado es muy importante en economía. Así, por ejemplo, si suponemos que una función de utilidadu es cuasicóncava, entonces el conjunto de canastas −
→x del espacio de bienes que producen al consumidor una utilidad u(−→x ) ≥ k
(o sea,CSu(k)) es convexo. De esta manera, cualquier combinación convexa,
λ−→x1+ (1 − λ)−→x2, 0 < λ < 1, de dos canastas −→x1, −→x2conu ≥ k también genera
una utilidad mayor o igual ak.
Se puede demostrar que la convexidad del contorno superiorCSu(k) garantiza que
se preserve el orden en las relaciones de preferencia del consumidor. SiCSu es
izquierda, y no como en las otras dos figuras.
Esto equivale a la condición de que la función u, que representa el orden de las
preferencias del consumidor, sea cuasicóncava. Observa que no tiene sentido imponer la condición más restrictiva de queu sea una función cóncava, ya que la
única propiedad significativa de esta función es el carácter de sus curvas de nivel. En economía es muy frecuente el uso de una transformación del tipoln u, en
lugar de utilizar la función de utilidadu. El siguiente teorema establece que una
transformación monotónica creciente de este tipo no afecta el argumento anterior en relación con las canastas correspondientes aln u ≥ k.
Teorema. SeaS ⊂ Rn un conjunto convexo y sea g : S → R una función cuasicóncava. Seah : Y ⊂ R → R una función creciente, donde g(S) ⊂ Y . Entonces la composiciónh ◦ g es una función cuasicóncava, y además
CSg(y) ⊂ CSh◦g(h(y)).
Es importante señalar que la suma de funciones cuasicóncavas (cuasiconvexas) no necesariamente es una función cuasicóncava (cuasiconvexa), a diferencia de lo que sucede con la suma de funciones cóncavas (convexas) que sí te da una función cóncava (convexa). Por ejemplo, sabemos que f (x) = x3 yg(x) = x son ambas
ni cuasiconvexa.
Por último, existen otras maneras de caracterizar la cuasiconcavidad o cuasiconvexidad de funciones sin utilizar el concepto de contorno. La primera de ellas representa una definición alternativa, utilizada frecuentemente en textos de microeconomía. Aquí la presentamos como un teorema, ya que puede deducirse a partir de nuestra previa definición. Observa que no involucra el concepto de diferenciabilidad, por lo que es válida para funciones continuas en general.
Teorema. Seaf : S → R, con S ⊂ Rnconvexo. Entonces, f es cuasicóncava
enS si y sólo si, para todos −→x1, −→x2∈S y para todo t ∈ [0, 1], se cumple:
a)f (−→x1) ≥ f (−→x2) =⇒ f (t−→x1+ (1 − t)−→x2) ≥ f (−→x2) .
b)f (t−→x1+ (1 − t)−→x2) ≥ m´ın{f (−→x1) , f (−→x2)}.
Para comprender el significado geométrico de este teorema, considera las preferencias de un consumidor. Siu(−→x ) es la utilidad correspondiente a la canasta −
→x de dos bienes (u crece al alejarse del origen), y si para cualesquiera dos canastas −
→x1, −→x2 se cumple.u (−→x1) ≥ u (−→x2), entonces para cualquier canasta intermedia t−→x1+ (1 − t)−→x2,t ∈ [0, 1] se tendrá u (t−→x1+ (1 − t)−→x2) ≥ u (−→x2).
Por otra parte, para funcionesf doblemente diferenciables en su dominio S
existe un criterio simple para determinar su cuasiconcavidad o cuasiconvexidad. Éste se refiere al signo de la matriz que se obtiene al añadir al hessiano H una
ampliada se conoce como hessiano orlado, H, que en el caso de funciones f : S ⊂ R2,f ∈ C2(S) se define como la matriz
H = f0x ffxxx ffxyy fy fxy fyy .
En ese caso, es posible demostrar que el criterio de signos correspondiente es
H > 0 ⇒ f es cuasicóncava, H < 0 ⇒ f es cuasiconvexa.
Utilizando este resultado, es fácil verificar que las funciones tipo Cobb-Douglas,
f(x, y) = xαyβ, α, β > 0, son cuasicóncavas en general; de éstas, sólo son
Optimización
En este capítulo aplicaremos los resultados sobre concavidad del capítulo 4 para encontrar los máximos y mínimos de una funciónf definida en un
dominio convexoS. Este dominio puede ser simplemente el dominio natural
de la función, o bien, la región que resulte al imponer una colección de restricciones. En el primer caso, hablaremos de problemas de optimización libre, que estudiaremos en la sección 5.1. En el segundo caso, hablaremos de problemas de optimización restringida, que presentaremos en las secciones 5.2 y 5.3. Por simplicidad, gran parte de la discusión se limitará al caso de funciones de dos variables,f (x, y).