Ejemplo. En el caso de cuatro conjuntos finitos A, B, C, y D se tiene: |A ∪ B ∪ C ∪ D| = α1 −α2 + α3 −α4 α1 = |A| + |B| + |C| + |D| α2 = |A ∩ B| + |A ∩ C| + |A ∩ D| + |B ∩ C| + |B ∩ D| + |C ∩ D| α3 = |A ∩ B ∩ C| + |A ∩ B ∩ D| + |A ∩ C ∩ D| + |B ∩ C ∩ D| α4 = |A ∩ B ∩ C ∩ D| (1.27)
Pregunta (para el parcial 2): cuántas combinaciones de 3 conjuntos se pueden elegir entre 4 conjuntos?
Observación. El PIE es un recurso conveniente en diversas aplicaciones. Un ejemplo es en problemas de conteo (más adelante), e.g. usando los principios de conteo y el PIE, determinar el número de cadenas de 8 bits que empiezan con 101 y/o terminan con 01.
1.8. Funciones
Definición. Sean dados los conjuntos A y B. Función (def. 1): una función f de A en B es una asignación de un UNICO elemento de B a CADA elemento de A. Función (def. 2): una función f de A en B es un subconjunto del producto cartesiano A × B, tal que: cumple con dos propiedades: (a) existencia: CADA elemento a ∈ A tiene asignado un b ∈ B; (b) unicidad: CADA elemento a ∈ A tiene asignado un UNICO b ∈ B; Notación: se denota f(a) = b, si b es el único elemento de B asignado por la función f a cada elemento de A. Además, si f es una función de A en B, entonces escribimos f : A → B. Comentario: las funcionesson un caso particular de las relaciones (ver más adelante).
Definición. Dominio, codominio, imagen, preimagen, rango: si f es una función de un conjunto A en otro B, decimos que A es el dominio de f , B es el codominio de f . Si
f(a) = b, decimos que b es la imagen de a, y que a es la preimagen de b. El rango (o
imagen) de la función f es el conjunto de todas las imágenes de los elementos del dominio A. Notar que, en general, rango( f ) ⊆ B.
Observación. Especificación de una función f : A → B. Entre otras, a través de: 1) Lista de pares ordenados (caso discreto);
2) Tabla de valores (caso discreto);
3) Fórmula matemática (caso discreto o continuo); 4) Diagrama de flechas (o digrafo), caso discreto; 5) Matrices (caso discreto);
Ejemplo. Subconjuntos f1, f2, f3, y f4 del producto cartesiano A × B de los conjuntos Ay B, en donde A = {a, b, c}, B = {α, β, γ, δ}. En algunos son también funciones y otros no, ver Fig. 1.2:
1) f1 = {(a, β), (b, δ), (c, α)}: en este caso se cumplen las condiciones de existencia y de unicidad, por lo que el subconjunto f1 del producto cartesiano A × B es una función. Notar que el elemento γ del codominio B no tiene preimagen alguna (no importa);
1.8. FUNCIONES CAPÍTULO 1. LÓGICA Y DEMOSTRACIONES
2) f2 = {(a, β), (b, δ), (c, β)}: también se cumplen las condiciones de existencia y de
unicidad. Luego, el subconjunto f2 del producto cartesiano A × B es una función.
Notar que el elemento β del codominio B tiene dos preimágenes (no importa);
3) f3 = {(a, δ), (b, β), (b, γ), (c, α)}: notar que el elemento b del conjunto A tiene asignado dos elementos ((b, β) y (b, γ)). Luego, no se cumple la condición de unicidad, por lo que el subconjunto f3 del producto cartesiano A × B no es una función;
4) f4 = {(a, δ), (c, α)}: notar que el elemento b del conjunto A no tiene asignado elemento alguno en el codominio. Luego, no se cumple la condición de existencia para todos los elementos del dominio A, por lo que el subconjunto f4 del producto cartesiano
A × Bno es una función. a b c α β γ δ A B a b c α β γ δ A B a b c α β γ δ A B a b c α β γ δ A B
Figura 1.2: Diagramas de flechas de los subconjuntos f1, f2, f3, y f4, del producto cartesiano A × B de los conjuntos A y B.
En algunos casos son funciones y en otros no.
Definición. Imagen de un subconjunto del dominio de una función (def. 4 del libro, pág. 91). Sean los conjuntos A y B, el subconjunto C ⊆ A, y la función f de A en B. La imagen de un subconjunto C del dominio A de la función f es el subconjunto de B formado por todas las imágenes de los elementos de C. Notación: f (C) = { f (x) | ∀x ∈ C}.
Función inyectiva, sobreyectiva, y biyectiva
Definición. Función inyectiva (def. 1): se dice que una función f : A → B es inyectiva
(o uno a uno), si PARA CADA b ∈ B existe A LO SUMO un a ∈ A, tal que f (a) = b
(o sea, podria no-existir). Función inyectiva (def. 2): se dice que una función f : A → B es inyectiva (o uno a uno), ssi f (x) = f (y) implica que x = y, con x, y ∈ A. En otras palabras, cuando f es inyectiva: (i) si f (x) = f (y), entonces x = y; y (ii) si x = y, entonces
f(x) = f (y), con x, y ∈ A.
Definición. Función sobreyectiva (def. 1): se dice que una función f : A → B es so- breyectiva (o suryectiva), si el rango de f es todo B. Notación: rango( f ) = B ssi f es sobreyectiva. O sea, cuando f es sobreyectiva: (i) si rango( f ) = B, entonces f es so- breyectiva; y (ii) si f es sobreyectiva, entonces rango( f ) = B. Función sobreyectiva (def. 2): se dice que una función f : A → B es sobreyectiva (o suryectiva), ssi para TODO elemento y ∈ B, existe un x ∈ A tal que f (x) = y.
Definición. Función biyectiva (def.): una función f : A → B es biyectiva cuando es in- yectiva y sobreyectiva simultáneamente.
CAPÍTULO 1. LÓGICA Y DEMOSTRACIONES 1.8. FUNCIONES
Observación. Uso de la leyes de De Morgan generalizadas (o leyes De Morgan en proposi- ciones cuantificadas) en funciones no inyectivas ni sobreyectivas (Sec. 2.2, pp. 94-95, Johnsonbaugh).
1) Una función f : X → Y no es inyectiva cuando ∀x1∀x2 (( f1 = f2) → (x1 = x2)) es F, donde f1 = f (x1), y f2 = f (x2). Luego, su negación debe ser T y hacemos
¬(∀x1∀x2 (( f1 = f2) → (x1 = x2))) ≡ ∃x1¬(∀x2 (( f1 = f2) → (x1 = x2))) ≡ ∃x1∃x2 ¬(( f1 = f2) → (x1 = x2)) ≡ ∃x1∃x2 (( f1 = f2) ∧ (x1 , x2))
(1.28)
donde se usó la EL ¬(p → q) ≡ ¬(¬p ∨ q)≡ p ∧ ¬q. En palabras, la última línea de la Ec. (1.28) expresa que una función f (x) no es inyectiva si existen x1 y x2 tales que
f(x1) = f (x2) pero x1 , x2.
2) Una función f : X → Y no es sobreyectiva cuando ∀y∃x ( f (x) = y) es F, donde x ∈ X, e y ∈ Y. Luego, su negación debe ser T y hacemos
¬(∀y∃x f (x) = y) ≡ ∃y¬(∃x f (x) = y) ≡ ∃y∀x ¬( f (x) = y) ≡ ∃y∀x f (x) , y
(1.29)
En palabras, la última línea de la la Ec. (1.29) expresa que una función f (x) no es sobreyectiva si existe un y ∈ Y tal que para todo x ∈ X se comprueba que f (x) , y. Función inversa, y composición de dos funciones
Definición. Función inversa (def.): sea f : A → B una función biyectiva del conjunto A en otro B. La función inversa de f es la función de B → A que asigna a cada elemento de b ∈ Bel único elemento a ∈ A tal que f (a)= b, y se denota con f−1 = {(b, a) | (a, b) = f }. Comentario: en este contexto no confundir la notación f−1 con 1/ f .
Definición. Composición de dos funciones (o función de función): sean los conjuntos A,
By C, y las funciones g : A → B y f : B → C. La composición de la función f con g se
define con f (g(a)), para todo a ∈ A, siempre que Imagen(g) ⊆ Dominio( f ), y se denota con ( f ◦ g)(a) = f (g(a)). En símbolos:
g: A → B y f: B → C : f(g(a)) = f ◦ g si Imagen(g) ⊆ Dominio( f ) (1.30)
Ejemplo. Sean g : A → A y f : A → C, con A = {a, b, c}, y C = {1, 2, 3}, donde
g = {(a, b), (b, c), (c, a)} y f = {(a, 3), (b, 2), (c, 1)}. Como Imagen(g) ⊆ Dominio( f ), la composición f ◦ g es posible, y es: f (g(a)) = f (b) = 2, f (g(b)) = f (c) = 1, y f (g(c)) =
1.8. FUNCIONES CAPÍTULO 1. LÓGICA Y DEMOSTRACIONES
Algunas funciones importantes: función piso y función techo
Definición. Función piso (o parte entera) (def.): asigna al número real x el MAYOR entero que es menor o igual que x, y se denota con bxc.
Definición. Función techo (o parte entera por exceso) (def.): asigna al número real x el MENOR entero que es mayor o igual que x, y se denota con dxe.
Observación. Prestar atención cuando x es positivo, cero o negativo. Se tiene:
La función piso bxc siempre asigna el entero más cercano a x “mirando hacia” −∞, e.g. piso (+2.345) = +2 pero piso (−2.345) = −3;
La función techo dxe siempre asigna el entero más cercano a x “mirando hacia”+∞,
e.g. techo (+6.789) = +7 pero techo (−6.789) = −6.
Ejemplo. Sean las funciones g : A → B y f : B → C. Demuestre o dé un contraejem-
plo en cada caso:
1) Si f y ( f ◦ g) son sobreyectivas, entonces g >es también sobreyectiva? Rpta: es F,
contraejemplo: sea los conjuntos A = {a}, B = {2, 3}, y C = {δ}, y las funciones
g = {(a, 2)}, y f = {(2, δ), (3, δ)}. Se tiene que ( f ◦ g) = {(a, δ)}, con lo cual se tiene que f y ( f ◦ g) son sobreyectivas pero g no lo es.
2) Si f y g son inyectivas, entonces ( f ◦ g) >es también inyectiva? Rpta. Sean los ele- mentos a y b distintos en A. En ese caso:
Como g : A → B es inyectiva, hay unicidad de su preimagen, por lo que g(a) y g(b) son elementos distintos en B;
Como f : B → C es inyectiva, hay unicidad de su preimagen, por lo que f (g(a)) y f (g(b)) son elementos distintos en C;
Lo anterior vale para todo a, b ∈ A, con a , b. Se concluye que ( f ◦g) es inyectiva cuando f y g también lo son.
3) Si f y g son sobreyectivas, entonces ( f ◦ g)>es también sobreyectiva? Rpta. Sea un elemento c ∈ C. En ese caso:
Como f : B → C es sobreyectiva, entonces para todo c ∈ C se tiene que c= f (b) para algún b ∈ B;
Como g : A → B es sobreyectiva, entonces para todo b ∈ B se tiene que b = g(a) para algún a ∈ A;
Eso significa que c = f (b) = f (g(a)). Esto vale para todo c ∈ C, por lo que se concluye que ( f ◦ g) es sobreyectiva cuando f y g también lo son.
CAPÍTULO
2
Los fundam.: algor., enteros y matrices
Nota. Estas notas siguen el texto de referencia Rosen (2004) manteniendo la numeración de las secciones y sus títulos, como una referencia adicional para el auto-estudio siguiendo ese texto. Contents 2.1. Algoritmos . . . 43 2.2. Crecimiento de funciones . . . 43 2.3. Complejidad de algoritmos . . . 43 2.4. Enteros y división . . . 44 2.5. Enteros y algoritmos . . . 51 2.6. Aplicac. de la teor. de núm. . . 53 2.1. Algoritmos
Omitir (la gente de FICH lo verá en Algoritmos y Estructuras de Datos (AED), y la de
FIQ en Computación/ Programación (COP)).
2.2. Crecimiento de funciones
Omitir (pues la gente de FICH lo verán en AED).
2.3. Complejidad de algoritmos