Las funciones trigonométricas - Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al

Antes de introducir más aplicaciones de la integraci6n, haremos una breve digresi6n para comentar las funciones trigonométricas. Suponemos que el lector tiene algún conocimiento de las propiedades de las seis funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante; y sus inversas arco seno, arco coseno, arco tangente, etc. Estas funciones se discuten en los cursos de Tri- gonometría en relaci6n con problemas diversos que relacionan los lados y los ángulos de los triángulos.

Las funciones trigonométricas son importantes en Cálculo, no s610 por su relaci6n con los lados y los ángulos de un triángulo, sino más bien por las propiedades que poseen como funciones. Las seis funciones trigonométricas tienen en común una propiedad importante llamada periodicidad.

Una funci6n f es periódica con período p # O si su dominio contiene x

+

siempre que contenga x y si f(x

+

p) = f(x) para todo x del dominio de

f.

Las funciones seno y coseno son peri6dicas de período 271', siendo 71'el área de un disco

circular unidad. Muchos problemas en Física e Ingeniería tratan fen6menos peri6- dicos (tales como vibraciones, movimiento planetario y de ondas) y las funciones seno y coseno constituyen la base para el análisis matemático de tales problemas. Las funciones seno y coseno pueden introducirse de varias maneras. Por ejemplo, hay definiciones geométricas que relacionan las funciones seno y coseno

118 Algunas aplicaciones de la integración

a los ángulos, y hay otras de carácter analítico que introducen esas funciones sin referencia alguna a la Geometría. Unas y otras son equivalentes, en el sentido de que todas ellas conducen a las mismas funciones.

De ordinario, cuando trabajamos con senos y cosenos no nos importan tanto sus definiciones como las propiedades que pueden deducirse a partir de sus definiciones. Algunas de esas propiedades, importantes en Cálculo, se citan seguidamente. Corrientemente, designamos los valores de las funciones seno y coseno de x poniendo senx, cosx, respectivamente.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL SENO Y DEL COSENO.

1. Dominio de definición. Las funciones seno y coseno están definidas en

toda la recta real. 2.

Valores especiales. Tenemos cos O= sení7l' = 1,cos71' = -1.

Coseno de una diferencia. Para x e y cualesquiera, tenemos

(2.3) cos(y - x) =cosycosx +senysenx.

4. Desigualdades fundamentales. ParaO

<

<t

71', tenemos

(2.4) O

<

cosx

< --

senx

< --

.

x cosx

A partir de esas cuatro propiedades podemos deducir todas las propiedades del seno y del coseno que tienen importancia en Cálculo. Esto sugiere que podemos introducir las funciones trigonométricas axiomáticamente. Esto es, podríamos tomar las propiedades 1 a 4 como axiomas del seno y del coseno y deducir todas las demás propiedades como teoremas. Para trabajar correctamente no debe discu- tirse sobre una teoría vacía, es necesario probar que existen funciones que satisfacen las propiedades anteriores. Por el momento pasaremos de largo este proble- ma. Primero suponemos que existen funciones que satisfacen estas propiedades

fundamentales y mostraremos cómo pueden deducirse las demás propiedades.

Luego, en la Sección 2.7, indicamos un método geométrico para definir el seno y el coseno como funciones con las propiedades deseadas. En el capítulo 11 tam- bién esbozamos un método para definir el seno y el coseno.

TEOREMA 2.3. Si dos funciones sen y cos satisfacen las propiedades 1 a 4,

satisfacen también las siguientes:

(a) La identidad pitagórica, sen"x

+

cos"x = 1, para todo x.

Las funciones trigonométricas 119

(e) El coseno es función par y el seno es función impar. Esto es, para

todo x tenemos

cos(-x)

=

cosx, sen(-x) = -senx.

(d) Co-relaciones. Para todo x, se tiene

sen 017

+

=

cosx, eos (!17

+

=

-senx.

(e) Periodicidad. Para todo x, se tiene sen(x

+

217)

=

senx, cos(x

+

217)

=

cosx.

(f) Fórmulas de adición. Para x e y cualesquiera, se tiene

cos(x

+

y)= cosxcosy -sen xseny ,

sen(x

+

=

senxcosy

+

cosx seny .

(g) Fórmulas de diferencias. Para todos los valores a y b, se tiene

a-b a+b

sena - senb

=

2 sen -- cos -- ,

2 2

a-b a+b

cosa - cosb = -2sen-- sen -- .

2 2

(h) Monotonía. En el intervalo [O,

t7TJ,

el seno es estrictamente creciente y

el coseno estrictamente decreciente.

Demostración. La parte (a) se deduce inmediatamente si tomamos x =y

en (2.3) y usamos la relación eos O= 1.La propiedad (b) resulta de la (a) tomando x =O,x =

i

7T, X =7T Y utilizando la relación sent7T = 1. Que el coseno es

par resulta también de (2.3)haciendo y = O. A continuación deducimos la fórmula

(2.5) eos(l7T - x)

=

senx ,

haciendo y =

t

7T en (2.3). Partiendo de esto y de (2.3), encontramos que el seno es impar, puesto que

sen(-x)

=

eos

(i+

x)

=

COS [17 -

(i - x)J

=

120 Algunas aplicaciones de la integración

Esto demuestra (c). Para probar (d), utilizamos otra vez (2.5), reemplazando primero x por

171"

+

x y luego x por -x. El uso reiterado de (d) nos da entonces las relaciones de periodicidad (e).

Para demostrar las fórmulas de adición para el coseno, basta reemplazar

x por

-x

en (2.3) y tener en cuenta la paridad o imparidad. Utilizando la parte (d) y la fórmula de adición para el coseno se obtiene

sen(x

+

y) = -cos (x

+

+ ~)

= -cos x cos

(Y

+ ~) +

senxsen

(Y

+ ~)

=cosxseny

+

senxcosy .

. Esto demuestra (f). Para deducir las fórmulas de diferencias (g), reemplazamos primero y por -yen la fórmula de adición para sen(x

+

y) obteniendo

sen(x - y) =senxcosy - cosxseny.

Restando ésta de la fórmula para sen(x

+

y) y haciendo 10mismo para la función coseno, llegamos a

sen(x

+

y) -sen(x - y) =2senycosx,

cos(x

+

y) - cos(x - y) = -2 senysen x .

Haciendo x

=

+

b)/2, y

=

(a - b)/2, encontramos que esas se convierten en las fórmulas de diferencias (g).

Las propiedades de la (a) a la (g) se han deducido sólo con las 1, 2 Y 3. La propiedad 4 se usa para demostrar (h). Las desigualdades (2.4) prueban que cosx y senx son positivas si O

<

<!

71".Después de esto, si O

<

l7l",

los números (a

+

b)/2 y (a - b)/2 están en el intervalo (0,171"), y las fórmulas de diferencias (g) prueban que sena

>

senb y cosa

<

cosb. Esto completa la demostración del teorema 2.3.

En el próximo conjunto de Ejercicios (página 129) se consideran más propiedades de las funciones seno y coseno. Mencionamos, en particular, dos fórmulas que con frecuencia se usan en Cálculo. Son las llamadas del ángulo doble ofór-

mulas de duplicación. Tenemos

sen2x

=

2 senx cosx, cos2x

=

cos"x -sen2 x

=

1 - zsen- x.

Estos son, naturalmente, simples casos particulares de las fórmulas de adición obtenidos haciendo y =x. La segunda fórmula para cos271" resulta de la primera

con la identidad pitagórica. Esta también demuestra que [cos

xl

S; 1 Y [sen x]S; 1 para todo x.

Fórmulas de integración para el seno y el coseno 121 2.6 Fórmulas de integración para el seno y el coseno

Las propiedades de monotonía de la parte (h) del teorema 2.3, junto con las correlaciones y la periodicidad, demuestran que las funciones seno y coseno son monótonas a trozos en cualquier intervalo. Por consiguiente, mediante el uso re- petido del teorema 1.12, vemos que el seno y el coseno, son integrables en cualquier intervalo finito. Calcularemos sus integrales aplicando el teorema 1.14. Este cálculo utiliza dos desigualdades que nosotros enunciamos como un teorema:

TEOREMA 2.4. Si O

<

«s;

i

71", Y n ~ 1, tenemos

a ~ ka a ~ ka

(2.6) - Lcos -

<

sena

< -

Lcos - .

nk=l n nk=O n

Demostración. Las desigualdades (2.6) serán deducidas de la identidad

(2.7) 2 sen tx

L

coskx =sen(n +~)x ~ sen lx ,

k=l

válida para n ~ 1 Y todo real x. Para demostrar (2.7), utilizamos las fórmulas de diferencias (g) del teorema 2.3 para poner

2 sen lx coskx =sen(k

+

l)x - sen(k - l)x.

Haciendo k = 1, 2, ... , n y sumando esas igualdades, encontramos que en la

suma del segundo miembro se reducen unos términos con otros obteniéndose (2.7). Si lx no es un múltiplo entero de 71" podemos dividir ambos miembros de (2.7) por 2 sen ~x resultando

I

n k sen(n

+

l)x - sen lx

cos x = --- .

2sen},x

k~l 2

Reemplazando n por n - 1 Y sumando 1 a ambos miembros también obtenemos

I

n-1 k sen(n - t)x

+

sen tx

cos x = --- .

2 sentx

122 Algunas aplicaciones de la integración

Esas dos fórmulas son válidas si x7'= Zmn , siendo m entero. Tomando x =aln, donde O

<

a ~

i

tt encontramos que el par de desigualdades (2.6) es equivalente al

siguiente sen(n

+D:! -

sen (~) a n 2n n 2 sen

C:)

sen(n

-D

:!+ sen (~)

<

sena

<:!

n 211 11 2 sen

(2:)

Este par, a su vez, es equivalente al par

(2.8)

(a)

sen -

sen(11 +

i):! -

sen (~)

<

2n sena

<

sen(n - 1):!+ sen (.~) .

n 211

(2:)

2 11 211

Por consiguiente, demostrar (2.6) equivale a demostrar (2.8). Demostraremos que se tiene

(2.9) _sen_(2n _{+ 1)0 - sen}_O

_{< -}

senf _sen₂₁₁₀

_<

_sen_{(2n -} ₁₎₀ _{+ sen}_O

para O

<

2n8 ~

i

Tr. Cuando 8=a/(2n) (2.9) se reduce a (2.8).

Para demostrar la desigualdad de la parte izquierda de (2.9), usamos la f6r- mula de adición para el seno poniendo

(2.10) sen(2n + 1)0 =sen2nOcosO + cos2nOsenO

<

sen2nOsenO +senO

O

'

habiendo usado también las desigualdades

<

senf

cosv --

O '

o<

cos2nO ~ 1 , senO> O,

siendo todas válidas ya que O

<

2n8 ~

iTr.

La desigualdad (2.10) equivale a la parte izquierda de (2.9).

Para demostrar la desigualdad de la parte derecha de (2.9), utilizamos nuevamente la fórmula de adición para el seno poniendo

Fórmulas de integración para el seno y el coseno 123

Sumando sen () a ambos miembros, obtenemos

(2.11) sen(2n - 1)0 + sen 8 = sen2n8 (cos 8 + sen 8 1 - cos 2nO) .

sen 2n8

Pero ya que tenemos

- cos 2n8 2sen2 nO senn8

sen2nO = 2 senne cos nO

=

cos nO'

el segundo miembro de (2.11) es igual a

o(

O+ OsennO) 2 ()cos()cosnO +sen8sennO =

sen n cos sen -- = sen n ---

cosnO cosn()

2 Ocos (n - 1)0

=sen n .

cos nO

Por consiguiente, para completar la demostración de (2.9), necesitamos tan sólo demostrar que

(2.12) c_o_s~(n_-_1~)_O

>

s_en_O cos n() 8

Pero tenemos

cos nO= cos (n - 1)8 cos 8 - sen(n - 1)0sen 8

<

cos (n - 1)8 cos 8

<

cos (n - 1)0 - , sen 8

en donde otra vez hemos utilizado la desigualdad fundamental cos (J

<

(J/(sen (J). Esta última relación implica (2.12), con lo que se completa la demostración del teorema 2.4.

TEOREMA 2.5. Si dos funciones sen y cos satisfacen las propiedades funda- mentales de la 1a la 4, para todo a real se tiene

(2.14)

foa cos x dx = sen a ,

Joasen x dx = 1 - cos a .

124 Algunas aplicaciones de la integración

Demostración. Primero se demuestra (2.13), y luego usamos (2.13) para

deducir (2.14). Supongamos que O

<

S

t1T. Ya que el coseno es decreciente en [O,

aJ,

podemos aplicar el teorema 1.14 y las desigualdades del teorema 2.4

obteniendo (2.13). La fórmula es válida también para a

=

O, ya que ambos

miembros son cero. Pueden ahora utilizarse las propiedades de la integral para ampliar su validez a todos los valores reales a.

Por ejemplo, si

-t

S

O, entonces O

S -

St

7T, Y la propiedad de

reflexi6n nos da

f.

OacosX dx = -

r

O cos(-x) dx = -

r

O cosX dx = -sen (-a) =sena .

Así, pues, (2.13) es válida en el intervalo [-t1T, t1T]. Supongamos ahora que

t

S

!1T. Entonces -t1T

S

a - 1T

S

l1T , de modo que

f.a

_cos_X _dx ₌

f.lf/2

_cos_X _dx

₊la

_cos_X _dx ₌_sen

_t1T

₊

r:

_cos_(x

₊

_1T) _{dx =}

o o 1f/2 -If/2

i

a-If

= 1 - cosXdx = 1 -sen (a - 1T)

+

sen(-t1T) =sena.

-If/2

Con ello resulta que (2.13) es válida para todo a en el intervalo [-t1T, !1T]. Pero este intervalo tiene longitud 21T,con 10 que la fórmula (2.13) es válida para todo a puesto que ambos miembros son periódicos respecto a con período 21T.

Seguidamente usamos (2.13) para deducir (2.14). Ante todo demostramos que (2.14) es válida cuando a =1T/2. Aplicando sucesivamente, la propiedad de

traslaci6n, la co-relaci6n sen(x

+

t1T) =cosx, y la propiedad de reflexi6n, encontramos

1

1f/2senxdx=

JO

sen

(

x+'!!..

)

dx=

JO

cosxdx=

1

1f/2cos(-x)dx.

o -If/2 2 -If/2 o

Haciendo uso de la relaci6n cos(-x) = cosxy la igualdad (2.13), se obtiene

f.

1f/2

o senx dx

=

Por consiguiente, para cualquier a real, podemos escribir

(asenX dx =(1f/2senX dx +fa senX dx = 1

+

(a-If/2sen (X

+'!!..)

dx =

Jo

1f/2

Jo

= 1

+

ia-If/2cos X dx = 1

+

sen

(a -

i)

= 1 - cos

a .

Esto demuestra que la igualdad (2.13) implica (2.14).

Fórmulas de integración para el seno y el coseno 125

ETEMPLO 1. Usando (2.13) y (2.14) junto con la propiedad aditiva

r

¡(x)dx

=

r

¡(x)dx -

I:

¡(x) dx,

llegamos a las fórmulas de integración más generales

r

cosx dx

=

senb - sena

e

senx dx =(1 - cosb) - (1 - cosa) = -(cos b - cosa). ·a

Si nuevamente utilizamos el símbolo especial ¡(x)

I~

para indicar la diferencia

f(b) - fea), podemos escribir esas fórmulas de integración en la forma

r

cosx dx =senx

i:

r

senx dx = -cos x

1: .

ETEMPLO 2. Con los resultados del ejemplo 1yla propiedad de dilatación

Jb

jCb

¡(x) dx

= -

¡(x/e) dx ,

a e ca

obtenemos las fórmulas siguientes, válidas para e=lo-

o:

lb

jCb

cosex dx

= -

cosx dx

= -

(seneb - senea) ,

a e ca e

Lb

jCb

senex dx

= -

senx dx

= - -

(coseb - cosea).

a e ro e

ETEMPLO 3. La identidad cos2x= 1 -2sen2 x implicasen" x=!(l-cos 2x)

con 10que, a partir del ejemplo 2, obtenemos

i

a_sen"_{x dx} _{= -}1

i

a_{(1 - cos}_{2x) dx}

_{= - - -}

a 1_{sen2a .}

126 Algunas aplicaciones de la integración

Puesto que sen"x

+

cos"x = 1, encontramos también

la

_cos₂_xdx=

la

_(1-sen₂_x)dx=a-

la

_sen₂_{xdx=-+-sen2a.}a 1

o o o 2 4

2.7 Descripción geométrica de las funciones seno y coseno

En esta Sección indicamos un método geométrico para definir las funciones seno y coseno, y damos una interpretación geométrica de las propiedades fundamentales citadas en la Sección 2.5.

Consideremos una circunferencia de radio r y centro en el origen. Designe- mos el punto (r, O) por A, y sea P cualquier otro punto de la circunferencia. Los dos segmentos rectilíneos OA yOP determinan una figura geométrica llamada ángulo que representamos con el símboloLAOP. Un ejemplo se representa en la

figura 2.6. Queremos asignar a este ángulo un número real no negativo x que

puede usarse como medida de su magnitud. El método más corriente para hacerlo es tomar una circunferencia de radio 1 v llamar X3 lalongitud'del arcoAP,descrito

dos veces el área del sector

FIGURA 2.6 Un ángulo L AOP de

x radianes.

FIGURA 27. Descripción geométrica de

senx y cosx,

en el sentido contrario al de las agujas del reloj de A a P, y decir que la medida de L AOP es x radianes. Desde un punto de vista lógico, esto no es satisfactorio por el momento pues no se ha precisado el concepto de longitud de arco. Éste será discutido en el capítulo 14. Puesto que la noción de área ha sido ya discutida, preferimos utilizar el área del sector circular AOP en lugar de la longitud del arco AP como medida de la magnitud de

L

AOP. Se sobrentiende que el sector

Descripción geométrica de las funciones seno y coseno 127

AOP es la porción más pequeña del disco circular cuando P está por encima del eje real y la mayor cuando P está por debajo del eje real.

Más adelante, cuando se haya discutido la longitud del arco, veremos que el arco AP tiene una longitud exactamente doble del área del sector AOP. Por consiguiente, para conseguir la misma escala de medida de ángulos por los dos méto- dos, usaremos el doble del área del sector AOP como medida del ángulo L AOP.

No obstante, para obtener una medida independiente de la unidad de distancia en nuestro sistema coordenado, definiremos la medida de L AOP como el doble del área del sector AOP dividida por el cuadrado del radio. Esta razón no varía si dilatamos o contraemos el círculo, y por tanto no se pierde generalidad al res- tringir nuestras consideraciones al círculo unidad. La unidad de medida así obte- nida se llama radián. Así que, decimos que la medida de un ángulo L AOP es

x radianes si x/2 es el área del sector AOP determinado en el disco circular unidad.

Ya hemos introducido el símbolo 7T para designar el área de un disco circular

unidad. Cuando P = (-1, O), el sector AOP es un semicírculo de área

t

7T, de

modo que subtiende un ángulo de 7T radianes. El disco completo es un sector de

27T radianes. Si inicialmente P está en (l, O)Y se desplaza una vez alrededor de la

circunferencia en sentido contrario al de las agujas del reloj, el área del sector

AOP crece de O a 7T, tomando todos los valores del intervalo [O,7T] exactamente

una vez. Esta propiedad, que geométricamente es aceptable, puede demostrarse expresando el área como una integral, pero no expondremos la demostración.

El siguiente paso es definir el seno y el coseno de un ángulo. En realidad, preferimos hablar del seno y del coseno de un número mejor que de un ángulo, de modo que el seno y el coseno serán funciones definidas sobre la recta real. Procedemos como sigue: Consideramos un número x tal que O

<

27Ty sea P

el punto de la circunferencia unidad tal que el área del sector AOP sea igual a x/2. Sean (a, b) las coordenadas de P. En la figura 2.7 se representa un ejemplo. Los números a y b están completamente determinados por x. Definamos el seno y el coseno de x como sigue:

cos x =a, sen x

=

Dicho de otro modo, cos x es la abscisa de P y sen x es su ordenada.

Por ejemplo, cuando x

=

7T,tenemos P

= (-

1, O) de modo que cos7T

= -

y sen7T

=

O. Análogamente, cuando x

= ~

7T tenemos P

=

(O, 1) y por tanto

cos ~7T =OY sen ~7T = 1. Este procedimiento da el seno y el coseno como fun-

ciones definidas en el intervalo abierto (O,27T). Se extienden las definiciones a

todo el eje real por medio de las igualdades siguientes:

128 Algunas aplicaciones de la integracián

Las otras cuatro funciones trigonométricas se definen ahora en función del seno

y del coseno mediante las conocidas fórmulas, senx tan x =-- cosx' cosx cotx =-- senx' 1 secx =-- cosx' . 1 cscx

= --.

senx Estas funciones está definidas para todo real x salvo en ciertos puntos aislados en los que los denominadores pueden ser cero. Satisfacen la propiedad de periodicidad f(x + 217) =f(x). La tangente y la cotangente tienen el período menor 17.

A continuación darnos los razonamientos trigonométricos para indicar cómo esas definiciones nos llevan a las propiedades fundamentales citadas en la Sec- ción 2.5. Las propiedades 1 y 2 han sido ya tenidas en cuenta al definir el seno y el coseno. La identidad pitagórica resulta evidente ante la figura 2.7. El segmen- to rectilíneo OP es la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos tienen longitudes leos x] y [senx], Por tanto, el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos implica la identidad cos"x + sen"x= 1.

Otra vez utilizarnos el teorema de Pitágoras para dar una demostración geo- métrica de la fórmula (2.3) para cos(y - x). Fijémonos en los triángulos rectán- gulosPAO yPBO dibujados en la figura 2.8. En el triángulo PAO, la longitud del lado AO es [seny - sen

xl,

el valor absoluto de la diferencia de las ordenadas de O yP. Del mismo modo, AP tiene longitud [cosx - cos

yl.

Si d representa la longitud de la hipotenusa PO, tenernos, según el teorema de Pitágoras,

d2 =(seny - senX)2 + (cosx - cosy)2.

Por otra parte, en el triángulo rectángulo PBO el cateto BP tiene longitud

11 -

cos(y - x)/ yla del cateto BO es [sen(y - x)l. Por consiguiente, el teorema de Pitágoras nos da

d2 = [1 - cos(y - X)]2 +sen2 (Y - x) .

Igualando las dos expresiones de d2 y despejando cos(y - x), se obtiene la fór- mula (2.3) para cos(y - x).

Finalmente, las demostraciones geométricas de las desigualdades fundamentales de la propiedad 4 pueden darse sobre la figura 2.9. Compararnos tan sólo el área del sector OAP con la de los triángulos OOP y OAB. Según la definición dada de medida angular, el área del sector OAP es

t

x. El triángulo OAB tiene base 1 y altura h, por ejemplo. Por la semejanza de triángulos, se encuentra h/t =(sen x)/(cos x), con lo que el área del triángulo OAB es

l

h=Hsen x)/ (cosx). Por consiguiente, la comparación de las áreas nos da las desigualdades

1 1 1 senx

- senx cosx

< -

< - --

.

Ejercicios ₁₂₉ Q=(cosy,seny) B h=senx cosx senx cosx o Q A

FIGURA 2.8 Demostración geométrica de

la fórmula cos(y - x).

FIGURA 2.9 Demostración geométrica de

las desigualdades

senx 1

O <cosx < -- < -- . x cosx

Dividiendo por ~ senx y tomando los recíprocos, obtenemos las desigualdades fundamentales (2.4).

Recordamos a11ector una vez más, que con lo que en esta Sección se comenta nos proponemos dar una interpretación geométrica del seno y del coseno y de sus propiedades fundamentales. En la Sección 11.11, se ofrece un estudio analítico de esas funciones en el que no se utiliza la Geometría.

En muchos manuales de Matemáticas aparecen tablas de valores de seno, coseno, tangente y cotangente. En la figura 2.10 (pág. 132) se han dibujado las gráficas de las seis razones trigonométricas como aparecen en un intervalo de un período de amplitud. Recurriendo a la periodicidad se obtiene en cada caso el resto de la gráfica.

2.8 Ejercicios

En este conjunto de Ejercicios, se pueden emplear las propiedades del seno y del coseno citadas en las Sececiones de la 2.5 a la 2.7.

1. (a) Demostrar que sennat =O para todo entero n y que esos son los únicos valores de x

para los que senx =O.

(b) Hallar todos los valores reales x tales que cos x =O.

2. Hallar todos los reales x tales que (a) sen x

=

1; (b) eosx

=

1; (e) senx

=

-1; (d) cos x = - 1.

3. Demostrar que sen(x +'71') = - senx y eos(x +'71') = - eosx para todo x.

4. Demostrar que sen 3x

=

3 senx - 4 sen"x y eos3x

=

eosx - 4 sen>xeosx para todo real x. Demostrar también que eos3x =4 cos-x - 3 eosx,

130 Algunas aplicaciones de la integración

(b) Demostrar que !1T=

lv/3,

COS!1T =

t.

tv/l.

6. Demostrar que tan (x - y) =(tanx - tany)/(l +tanxtan y) para todo par de valores

x,y tales que tan x tany "" - 1. Obtener las correspondientes fórmulas para tan (x

+

y) y cot(x +y).

7. Hallar dos números A y B tales que 3 sen(x +

1

'11") =A senx +Bcosx para todo x

8. Demostrar que si C y a son números reales dados, existen dos números reales A y B

tales que C sen(x +a) =A senx +Bcosx para todo x.

9. Demostrar que si A y B son números reales dados, existen dos números C y a, siendo

92': O, tales que la fórmula del Ejercicio 8 es válida.

10. Determinar C y a, siendo C>O, tales que C sen (x

+

a) = - 2 senx - 2 cosx para todo x.

11. Demostrar que si A y B son números reales dados, existen dos números C y a, siendo C 2': O, tales que C cos(x +a)

=

A senx +Bcosx. Determinar C y a siA

=

1. 12. Hallar todos los números reales x tales que senx = cosx.

13. Hallar todos los números reales tales que senx - cosx

=

14. Demostrar que las identidades siguientes son válidas para todos los pares x e y: (a) 2cosxcosy =cos(x - y) +cos(x +y).

(b) 2sen x seny =cos (x - y) - cos (x

+

y).

+

sen(x

+

y).

15. Si h ""O, demostrar que las identidades siguientes son válidas para todo x:

sen (x

+

h) - sen x _ sen(h/2) ( ~)

h - h/2 cos x

+

2 '

c_o_s_(_x_+_·_h_)_-_c_o_s_x= _s_e_n_(h_/2_)sen (x

+~).

h h/2 2

Estas fórmulas se utilizan en Cálculo diferencial.

16. Demostrar si son o no ciertas las siguientes afirmaciones. (a) Para todo x "" O, se tiene sen2x "" 2 senx.

(b) Para cualquier x, existe un y tal que eos (x +y)

=

eosx +cosy. (e) Existe un x tal que sen(x +y) =senx +seny para todo y. (d) Existe un y "" O tal que

n

senx dx = seny.

17. Calcular la integral

S~

senx dx para cada uno de los siguientes valores de a y b, En cada

In document Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal (página 140-157)