Funciones trigonométricas para ángulos 30°, 45° y 60°.

8.1 Cómo trazar un ángulo de 45°.

Mi vecino dice que en la comunidad se desea construir un parque de forma cuadrada, cuyos lados midan 10 m, el cual cuente con un sendero que lo atra- viese en una de sus diagonales, en el resto del espacio se establecerán jardines con árboles, arbustos y plantas de ornato.

Trace un esquema que represente el parque y el sendero. Similar al siguiente:

Analice las figuras resultantes y responda a lo siguiente:

a) ¿Qué forma geométrica tienen los jardines de este parque? b) ¿Cuánto miden los ángulos interiores de esos jardines?

c) ¿Cuál es el valor de las funciones seno y coseno en las medidas de los ángu- los de los jardines de este parque?

8.2 El valor de las funciones seno y coseno dependen de los grados.

Localice una superficie que se pueda reforestar y trace en ella un cuadrado, con ayuda de estacas y un flexómetro.

Elabore un proyecto de un parque de forma cuadrada, similar al de la Activi- dad 8.1, además incluya una lista de los árboles, arbustos y plantas de ornato, de su región, que le gustaría colocar en él. Realice un análisis semejante al que se hizo en la actividad 8.1.

Exponga a sus compañeros su proyecto y el análisis que hizo de él.

tricas o calculadora científica (de prefe- rencia no). En esta parte de la actividad, se debe notar que, al calcular las razones trigonométricas seno y coseno para 45°, la longitud de los lados de los triángulos que cada alumno trazó no modifica el valor de dichas razones.

8.2. En esta actividad se espera que el alumno entregue un plano sencillo de su proyecto de parque de forma cuadrada, el cual incluya información que evidencie que realizó el mismo análisis geométrico y trigonométrico que se hizo en la actividad 8.1.

Es importante hacer hincapié en que el parámetro de las funciones trigonométri- cas está medido en grados, por lo que las longitudes de los catetos y de la hipote- nusa no cambian esos valores.

8.3. En esta actividad se espera que el estudiante aprenda cómo trazar ángu- los de 30° y 60° con regla y compás y los valores de las funciones trigonométricas seno y coseno para 30° y 60°.

El trazado del triángulo equilátero debe hacerse con regla y compás; debe poner en práctica el trazado de rectas notables de un triángulo (UAC-II de Tercer semes- tre). Después pida a los estudiantes verifi- quen que las medidas de los ángulos y los lados son iguales.

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Después, en plenaria concluyan que el valor de las funciones seno y coseno dependen del ángulo, y no de la medida de los lados del triángulo.

8.3 Cómo trazar ángulos de 30° y 60°.

Mi vecino ha notado que son pocas las personas que van al parque, así que ideó lo siguiente para atraer más gente y pueda mostrarles lo importante que es tener áreas verdes:

Requiere que lo ayude a hacer el plano de un pórtico (como el dibujo de arriba) del cual se cons- truirán dos piezas que se colocarán en los extremos del sendero que atraviesa el parque, y tiene las siguientes características:

• Postes de 3 metros de longitud, que estarán enterrados un metro.

• El techo estará constituido por dos triángulos equiláteros y dos rectángulos. • Cada triángulo equilátero, tendrá lados con longitud de 2 m.

• Cada rectángulo medirá 2 m de ancho por 3 m de largo

• Para dar mayor fuerza al techo, se colocará a las piezas triangulares un madero que vaya del vértice A hacia el punto medio del lado opuesto.

El llenado de la ta- bla requiere que el estudiante re- cuerde el tipo de triángulo que es la figura 1 y la figura 2, además tiene que reconocer los tipos de ángulos (aun- que esto no es el contenido medu- lar). Para calcular la longitud de uno de los lados, deben aplicar el Teorema de Pitágoras. Re- cuerde que el uso del Círculo Unitario es imprescindible. Se entenderá por plano lo que ex- presa la definición presentada en la Actividad 2.2 de la UAC-II del Tercer se- mestre.

Con el madero de refuerzo, cada triángulo equilátero se divide en dos figuras geométricas. Para poder construir el Pórtico se requiere conocer algunos da- tos de dichas figuras. Trace el esquema, responda las preguntas siguientes y llene la tabla con la información necesaria.

1) En el esquema se indican las dos figuras que se forman, ¿cuál es la relación entre ellas?

113 2) Completa la información de la tabla

Figura Geométrica Nombre y características de la figura

Medida y nombre de los lados Medida de los ángulos internos Valores de las funciones seno y coseno de

los ángulos internos

Elabore el plano de un pórtico distinto al de tu vecino, que incluya un triángulo equilátero y haya un espacio donde exponga información sobre la importan- cia de las áreas verdes, los beneficios de las plantas (árboles, arbustos, etc.) al medio ambiente. Añada esta información al folleto del producto integrador. Acompañe su diseño con una ficha técnica, como la que realizó en la Activi- dad 8.3, del triángulo equilátero que tendrá su diseño.

8.4 La identidad trigonométrica (sen(a)) 2+(cos(a))2=1

Use el Teorema de Pitágoras para calcular lo que se solicita.

Sobre el Círculo Unitario trace un triángulo rectángulo con hipotenusa de longi- tud 1 y con un ángulo interior de 30°, cuyo vértice sea el origen como se mues- tra en la imagen siguiente:

8.4. El objetivo de esta actividad es que el alumno note y comprenda que, sin impor- tar el ángulo que elija, la expresión: (sen(a)) 2+(cos(a))2=1

Siempre es verdadera.

Los ángulos sugeridos son mayores que 0° y menores que 90°, porque se emplean triángulos rectángulos, a pesar de ello puede solicitar al alumno que realice los cálculos considerando un ángulo cual- quiera distinto a 0°, 90°, 180° y 270°, ha- ciendo las debidas adecuaciones.

Para la pregunta 5, es importante que haga notar al estudiante que no se pue- de elegir un cateto opuesto a un ángu- lo de 90° en un triángulo rectángulo, sin embargo, en el Círculo Unitario si puede encontrar los valores necesarios para ha- cer el mismo cálculo que con los otros ángulos. Esta pregunta abre un espacio adecuado para hacer notar la diferencia entre razón trigonométrica y función trigo- nométrica.

Debe dirigir a los estudiantes a observar que la suma de los cuadrados de los ca- tetos de los triángulos rectángulos de hi- potenusa 1, siempre resulta 1. Es más, que si a es un ángulo cualquiera, la suma de los cuadrados de sen(a) y cos(a) es 1.

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1. ¿Cuánto miden los catetos del triángulo?

2. Aplique el Teorema de Pitágoras a las longitudes de los catetos del triángulo y anote sus resultados de la siguiente manera:

(cateto a)2_{+(cateto b)}2_{=_____}

3. Repita el procedimiento, ahora con triángulos rectángulos con un ángulo de 45° y 60°.

4. Elija otro ángulo a, tal que 0°<a<90° y repita el proceso del inciso 2.

5. ¿Podría realizar el mismo procedimiento con un ángulo de 0°, 90°, 180° o 270°? ¿Por qué? ¿Qué resultado obtiene?

6. ¿Qué propiedad observa que tienen los cuadrados de los catetos de los triángulos?

7. ¿De qué otra manera se puede representar el valor de los catetos de los triángulos rectángulos?

8. ¿Halló alguna ecuación? ¿Cuál?

9. Radianes.

“Con la finalidad de que el parque tenga un aspecto aún más agradable, a mi vecino se le ocurrió que los extremos del sendero que lo atraviesa estén redon- deados, tal como lo muestra la ilustración siguiente.

Para el trazado realizó el siguiente proceso:

· Ubicó el punto C que se encuentra a 1 metro de distancia de los lados a y b del parque.

· Trazó un círculo centrado en el punto C y de radio 1 m.