Fundamentos teóricos clásicos

Como se ha comentado al comienzo del capitulo, los fundamentos teóricos clásicos se basan en el principio de Huygens. Este principio expone que el frente de onda radiado por una fuente sonora se comporta a su vez como un conjunto infinito de fuentes sonoras puntuales distribuidas uniformemente a lo largo del frente de onda original, denominando a estas fuentes secundarias. Mediante esta teoría es posible describir la radiación del campo sonoro únicamente teniendo en cuenta este conjunto de fuentes secundarias (120).

Heredando esta idea al sistema Wavefield Synthesis, se podría decir el sonido captado en el muro de micrófonos correspondería a las fuentes secundarias del frente de onda generado por las fuentes sonoras de la sala, pudiendo tal y como se enuncia en la teoría reconstruir el campo sonoro original mediante los altavoces en la segunda sala, o lo que es lo mismo, reproduciendo exactamente las fuentes de sonido secundarias captadas con los micrófonos.

Debido a que la captación y reproducción del frente de onda esférico implicaría una configuración microfónica y de altavoces formando una cortina curva con una mala aplicación practica, la colocación del array se realiza formando una línea recta, compensando posteriormente este hecho mediante la aplicación de ganancias y retardos variables (121).

Figura 75: Cortina acústica circular y plana

Matemáticamente, si se aplica la teoría de la acústica lineal según la cual el campo acústico encerrado en un volumen V que ha sido generado mediante fuentes sonoras externas a la superficie que delimita al volumen V denominada como S, se puede calcular remplazando las fuentes sonoras externas por una distribución de monopolos situados sobre la superficie anteriormente citada, tal y como se aprecia en la figura siguiente (120).

Figura 76: Campo acústico en un volumen cualquiera

Es posible cuantificar matemáticamente esta afirmación mediante la integral de Kirchhof- Helmholtz (122): ∮ * ( | | | | ) | | | | + Donde:

 = transformada de Fourier de la presión sonora  = vector de coordenadas del punto de observación

 = vector de coordenadas de los operandos de la integral sobre la superficie S

 = es el numero de onda

 n = es el vector normal a la superficie S

Analizando la integral de Kirchhof-Helmholtz es posible dividirla en dos elementos diferenciados:

 El primer elemento hace referencia a una distribución de dipolos con una amplitud proporcional a la presión en la superficie S.

 El segundo elemento hace referencia a una distribución de monopolos con una amplitud proporcional a la componente normal de la velocidad de las partículas de sonido, la cual a su vez es proporcional a la variación de la presión.

En un ámbito práctico, la integral permite sintetizar el campo sonoro en el interior del volumen con la condición de que no existan fuentes sonoras en su interior y que la presión del campo sonoro en la superficie sea conocida.

Figura 77: Campo acústico en una sala de escucha

En el caso de que la superficie S se sitúe en un plano que separa el área de reproducción del área en la que se encuentran las fuentes sonoras, tal y como se observa en la figura anterior, la integral Kirchhof-Helmholtz se puede simplificar a dos ecuaciones distintas denominadas Integral de Rayleigh I (123): ∬ * | | | | + E Integral de Rayleigh II (119): ∬ * | | | | | | | | +

Si se discretizan las ecuaciones anteriores se obtendrá para el caso de la Integral de Integral de Rayleigh I: ∑ | | | |

Y para el caso de la Integral de Rayleigh II: ∑ | | | | | | | |

La versión discreta de la Integral de Rayleigh I describe como la presión en un punto del interior del volumen se puede calcular mediante una combinación lineal de diversas fuentes sonoras de tipo monopolo, utilizando para ello solamente la velocidad de las partículas en la superficie S (120).

Por otro lado, la versión discreta de la Integral de Rayleigh II permite el cálculo mediante el uso de fuentes sonoras de tipo dipolo, utilizando para ello únicamente la presión en la superficie S. Además, para el caso de esta segunda ecuación, si se le aplica la aproximación propia del campo lejano | | es posible simplificar la ecuación siempre que se cumpla la condición de que el punto de escucha se encuentre lo suficientemente alejado del plano de reproducción:

∑

| |

| |

La ecuación anterior es usada para el calculo en espacios tridimensionales, pudiendo ser simplificada para casos bidimensionales de la siguiente manera tal y como se vera en el apartado siguiente. ∑ | | | | 8.1.1.1. Señales driving

Una vez demostrado el método mediante el cual es posible sintetizar el campo sonoro en el interior de un volumen conocido a partir de la presión dada en la superficie del mismo, es necesario desarrollar como se va a calcular las Driving Functions, como se denominan a las señales con la que hay que alimentar cada uno de los altavoces de la sala de escucha.

Para una mejor comprensión de las ecuaciones, es posible representar geométricamente la distribución de los altavoces si se supone un muro virtual transparente separando la sala de la grabación y la sala de escucha (124), tal y como se aprecia en la siguiente figura:

La ecuación mediante la cual es posible calcular el campo sonoro que generaría una fuente virtual en un punto cualquiera, si se tiene en cuenta que al tratarse de una fuente de tipo monopolo generará un campo sonoro esférico, es:

Donde:

 = espectro de la señal emitida por la fuente virtual  = vector distancia hasta el punto de evaluación  = retardo y atenuación producidos por la distancia r

A través de la integral de Rayleigh II se deduce que las funciones driving son proporcionales a la presión del campo sonoro en la superficie del volumen, por lo que:

Donde:

 = funcion que realiza la proporción descrita en la integral de Rayleigh II Por lo que si se combinan las dos ecuaciones anteriores se obtiene que:

Por otro lado, el campo sonoro sintetizado en un determinado punto de análisis se puede obtener a partir de la integral de Rayleigh para localización horizontal vista en el apartado anterior: ∑ | | | | Donde:

 = numero de altavoces utilizados

 = señal driving del enésimo altavoz

 = ángulo entre el eje principal del enésimo altavoz y la línea que lo une con el punto

de análisis

 = índice de directividad del altavoz

 | | = distancia entre el altavoz y el punto de análisis  = separación entre altavoces

Se observa que todos los elementos de la ecuación anterior son conocidos a excepción de las señales driving. Por lo que si sustituimos en la ecuación anterior el valor de la señal driving y se le aplica una aproximación de fase estacionaria que conlleve que los altavoces más cercanos a la

fuente serían aquellos que aportaran más información al campo sonoro a sintetizar (125), se obtendría el siguiente resultado:

√

√

Si en la ecuación anterior se agrupan todos los términos de amplitud junto con √ y se tiene en cuenta que la directividad de los altavoces no se compensa obteniendo , se obtiene una ecuación simplificada para calcular las señales de driving:

Si se analiza la ecuación resultado se observa que para calcular las señales driving únicamente hay que aplicar una modificación de amplitud y un retardo a la señal original.