Generalizaci´ on del Principio de Inclusi´ on-Exclusi´ on

Sean A1, A2, . . . , An subconjuntos de alg´un universal U . Entonces,      n [ i=1 A_i      = n X i=1 |Ai| −^X i,j |Ai∩ Aj| +^X i,j,k |Ai∩ Aj∩ Aj| + · · · + (−1)ⁿ⁻¹      n \ i=1 A_i     

Ejemplo 3.17 En una encarnizada batalla al menos el 70% de los combatientes pierde un ojo, al menos un 75% pierden una oreja, como m´ınimo un 80% pierde un brazo y al menos el 85% una pierna. ¿Cu´antos han perdido por lo menos, las cuatro cosas?

Soluci´on Sean

U . Conjunto de todos los combatientes en la batalla. O. Conjunto de los combatientes que pierden un ojo. J . Conjunto de los combatientes que pierden una oreja. B. Conjunto de los combatientes que pierden un brazo. P . Conjunto de los combatientes que pierden una pierna.

Seg´un los datos del ejercicio,

~ Al menos el 70% pierde un ojo =⇒ |O| > ^{70 |}U | 100 ~ Al menos el 75% pierden una oreja =⇒ |J| > ^{75 |}U |

100 ~ Como m´ınimo el 80% pierden un brazo =⇒ |B| > ^{80 |}U |

100 ~ Al menos el 85% pierden una pierna =⇒ |P | > ^{85 |}U |

100

Tenemos que calcular el tanto por ciento m´ınimo del |O ∩ J ∩ B ∩ P |. Pues bien, por el principio de inclusi´on-exclusi´on,

|(O ∩ J ) ∪ (B ∩ P )| = |O ∩ J | + |B ∩ P | − |O ∩ J ∩ B ∩ P | de aqu´ı que

|O ∩ J ∩ B ∩ P | = |O ∩ J | + |B ∩ P | − |(O ∩ J ) ∪ (B ∩ P )| (3.11) Ahora bien, es obvio que

|(O ∩ J ) ∪ (B ∩ P )| 6 |U | y |O ∩ J | = |O| + |J | − |O ∪ J | > ^{70 |}U | 100 ⁺ 75 |U | 100 − |U | an´alogamente, |B ∩ P | = |B| + |P | − |B ∪ P | > ^{80 |}U | 100 ⁺ 85 |U | 100 − |U | y llevando estos resultados a (3.11), tendremos

|O ∩ J ∩ B ∩ P | > ^{310 |}U |

100 − 3 |U | =^{10 |U |} 100

luego al menos un 10% de los combatientes han perdido las tres cosas. 

Ejemplo 3.18 Se lanzan tres monedas simult´aneamente al aire, realiz´andose este experimento 100 veces. La de 100 ptas. muestra cara en 70 ocasiones, la de 50 ptas. muestra cara 50 ocasiones y 56 veces ha salido cara en la de 25 ptas. Las de 100 ptas. y 50 ptas. obtienen cara simult´aneamente 31 veces, y las de 50 y 25 ptas. han dado cara simult´aneamente en 28 ocasiones. Demostrar que las tres monedas mostraron cara simult´aneamente en 9 veces al menos, y que las tres han mostrado simult´aneamente cruz 11 veces como m´aximo.

Soluci´on

Llamaremos Ai, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 al conjunto cuyos elementos son los posibles resultados del lanza-miento de las tres monedas en cada uno de los 100 lanzalanza-mientos. La tabla siguiente muestra la situaci´on. (c significa cara y x cruz)

100 50 25 A1 c c c A₂ c c x A3 c x c A₄ c x x A5 x c c A₆ x c x A7 x x c A₈ x x x

Si |U | es el conjunto formado por todos los resultados posibles en los 100 lanzamientos, tendremos que

U =

8

[

i=1

Ai: Ai∩ Aj = ∅, ∀i 6= j

luego por el principio de adici´on,

|U | =      8 [ i=1 Ai      =⇒ 8 X i=1 |Ai| = 100

Pues bien, de los datos del ejercicio,

} La de 100 ptas. muestra cara en 70 ocasiones, luego

|A1∪ A2∪ A3∪ A4| = 70 =⇒ |A1| + |A2| + |A3| + |A4| = 70 } La de 50 ptas. muestra cara en 50 ocasiones, luego

|A1∪ A2∪ A5∪ A6| = 50 =⇒ |A1| + |A2| + |A5| + |A6| = 50 } 56 veces ha salido cara en la de 25 ptas., luego

|A1∪ A3∪ A5∪ A7| = 56 =⇒ |A1| + |A3| + |A5| + |A7| = 56 } Las de 100 ptas. y 50 ptas. obtienen cara simult´aneamente 31 veces, luego

|A1∪ A2| = 31 =⇒ |A1| + |A2| = 31

} Las de 50 y 25 ptas. han dado cara simult´aneamente en 28 ocasiones, luego |A1∪ A5| = 28 =⇒ |A1| + |A5| = 28 Pues bien, |A1| + |A2| + |A5| + |A6| = 50 |A1| + |A2| = 31 |A₁| + |A₅| = 28        =⇒ |A1| − |A6| = 9

de aqu´ı que al ser |A₆| > 0,

|A₁| = 9 + |A₆| =⇒ |A₁| > 9

es decir, las tres monedas mostraron cara simult´aneamente, al menos, en nueve ocasiones. An´alogamente, 8 X i=1 |A_i| = 100 =⇒ |A₈| = 100 − 7 X i=1 |A_i| .

Ahora bien, |A1| + |A2| + |A3| + |A4| = 70 |A1| + |A2| + |A5| + |A6| = 50 |A1| + |A2| = 31        =⇒ 6 X i=1 |Ai| = 89 luego, |A₈| = 100 − 6 X i=1 |A_i| − |A₇| =⇒ |A₈| = 100 − 89 − |A₇| =⇒ |A8| = 11 − |A7| {|A7| > 0} =⇒ |A8| 6 11

es decir, las tres monedas han mostrado cruz simult´aneamente once veces, como m´aximo. 

Ejemplo 3.19 En un estudio sobre las posibilidades de obtener madera entre los robles y pinos de dos parcelas, una de la sierra de Gredos y otra de la serran´ıa de Villuercas, se obtuvieron entre otros, los siguientes datos: robles, 529; pinos, 484; ´arboles de la sierra de Gredos, 408; ´arboles maderables, 158; robles de la sierra de Gredos, 236; ´arboles de la sierra de Gredos no maderables, 328; robles maderables, 76; robles o ´arboles de Gredos o maderables, 738.

(a) Hallar el n´umero de robles maderables de la sierra de Gredos.

(b) Hallar el n´umero de pinos no maderables de la serran´ıa de Villuercas.

Soluci´on

En este ejemplo hay dos particiones naturales del conjunto de todos los ´arboles, por un lado los que est´an en la Sierra de Gredos no pueden estar en la Serran´ıa de Villuercas y viceversa y, por otro, los robles no son pinos y viceversa. Sin embargo, ´arboles maderables y no maderables los habr´a tanto en Gredos como en Villuercas y, a´un m´as, podr´an ser robles o pinos. As´ı pues, si llamamos

G: ´Arboles de la Sierra de Gredos.

V : ´Arboles de la Serran´ıa de Villuercas.

R: Robles.

G: Pinos.

M : Maderables.

tendremos que G ∩ V = ∅ y R ∩ P = ∅, es decir, en ambos casos, cada uno es complementario del otro. La situaci´on puede resumirse gr´aficamente en el diagrama siguiente.

P R G V M P ∩ G ∩ M^c R ∩ G ∩ M^c R ∩ V ∩ M^c P ∩ V ∩ M^c P ∩ G ∩ M R ∩ G ∩ M R ∩ V ∩ M P ∩ V ∩ M Ejemplo 3.19

Veamos que datos que proporciona el enunciado.

~ Robles, 529, es decir, |R| = 529. ~ Pinos, 484, o sea, |P | = 484.

~ ´Arboles de la sierra de Gredos, luego |G| = 408. ~ ´Arboles maderables, por lo tanto, |M | = 158.

~ Robles de la sierra de Gredos, es decir, |R ∩ G| = 236.

~ ´Arboles de la sierra de Gredos no maderables, o sea, |G ∩ Mc| = 328. ~ Robles maderables, luego |R ∩ M | = 76.

~ Robles o ´arboles de Gredos o maderables, o sea, |R ∪ G ∪ M | = 738. (a) Calculemos el n´umero de robles maderables que hay en la Sierra de Gredos.

A la vista de los datos que proporciona el enunciado, podemos aplicar el principio de inclusi´ on-exclusi´on para 3 conjuntos:

y el ´unico dato que no conocemos es |G ∩ M |. Ahora bien, los ´arboles de la sierra de Gredos pueden ser maderables o no maderables, es decir,

G = (G ∩ M ) ∪ (G ∩ M^c)

siendo, ´esta, una descomposici´on de G en uni´on de subconjuntos disjuntos. Aplicando el principio de adici´on, |G| = |G ∩ M | + |G ∩ M^c| de donde, |G| − |G ∩ M | = |G ∩ M^c| sustituimos en (3.12) y |R ∪ G ∪ M | = |R| + |M | − |R ∩ G| − |R ∩ M | + |G ∩ Mc| + |R ∩ G ∩ M | = 738 − 529 − 158 + 236 + 76 − 328 = 35

(b) Pinos no maderables hay en la Serran´ıa de Villuercas.

Lo que nos piden es el n´umero de elementos del subconjunto (R ∪ G ∪ M )^c. Pues bien, si tenemos en cuenta que el conjunto universal puede descomponerse en uni´on de disjuntos como R ∪ P y, tambi´en, como (R ∪ G ∪ M ) ∪ (R ∪ G ∪ M )^c, aplicando las leyes de De Morgan y el principio de adici´on, tendremos

R ∪ P = (R ∪ G ∪ M ) ∪ (R ∪ G ∪ M )^c =⇒ R ∪ P = (R ∪ G ∪ M ) ∪ (Rc∩ Gc∩ Mc) =⇒ R ∪ P = (R ∪ G ∪ M ) ∪ (P ∩ V ∩ Mc) =⇒ |R| + |P | = |R ∪ G ∪ M | + |P ∩ V ∩ Mc| =⇒ |P ∩ V ∩ Mc| = |R| + |P | − |R ∪ G ∪ M | =⇒ |P ∩ V ∩ Mc| = 529 + 484 − 738 =⇒ |P ∩ V ∩ Mc| = 275 

Ejemplo 3.20 En un estudio sobre sus pr´acticas deportivas hecho entre 150 estudiantes de la Univer-sidad de C´adiz, se observa que los que juegan al f´utbol no juegan al tenis ni al ajedrez y ninguno de los ajedrecistas juega al baloncesto.

La encuesta arroj´o adem´as, los resultados siguientes:

25 juegan al f´utbol. 52 juegan al baloncesto. 11 juegan ´unicamente al tenis. 15 juegan al f´utbol y al baloncesto. 25 juegan al tenis y al baloncesto.

Los que juegan al ajedrez son el cu´adruple de los que juegan ´unicamente al baloncesto.

¿Cu´antos de los estudiantes encuestados no practican ninguno de estos cuatro deportes? Soluci´on

Los estudiantes que practican alguno de los cuatro deportes son los del conjunto F ∪ B ∪ T ∪ A por lo tanto los que no practican ninguno son los de su complementario, es decir, (F ∪ B ∪ T ∪ A)^c o lo que es igual Fc∩ Bc∩ Tc∩ Ac.

Por otra parte, siU es el conjunto universal formado por todos los estudiantes encuestados, tendremos que |U | = 150 y

U = (F ∪ B ∪ T ∪ A) ∪ (F ∪ B ∪ T ∪ A)c

luego por el principio de adici´on,

|U | = |F ∪ B ∪ T ∪ A| + |(F ∪ B ∪ T ∪ A)c

| de aqu´ı que

|(F ∪ B ∪ T ∪ A)^c| = |U | − |F ∪ B ∪ T ∪ A| = 150 − |F ∪ B ∪ T ∪ A| . (3.13) Nuestro problema es, por tanto, calcular |F ∪ B ∪ T ∪ A| es decir, cu´antos estudiantes practican alguno de los cuatro deportes.

Adem´as, del enunciado se sigue lo siguiente:

X Los que juegan al f´utbol no juegan al tenis ni al ajedrez, luego F ∩ T = ∅ y F ∩ A = ∅ de aqu´ı que

(F ∩ T ) ∪ (F ∩ A) = ∅ es decir,

F ∩ (T ∪ A) = ∅

X Ninguno de los ajedrecistas juega al baloncesto, luego B ∩ A = ∅ de aqu´ı que (F ∩ A) ∪ (B ∩ A) = ∅ o sea, (F ∪ B) ∩ A = ∅ Adem´as, (F ∪ B) ∩ (T ∪ A) = [(F ∪ B) ∩ T ] ∪ [(F ∪ B) ∩ A] = (F ∩ T ) ∪ (B ∩ T ) ∪ [(F ∪ B) ∩ A] = ∅ ∪ (B ∩ T ) ∪ ∅ = B ∩ T

F B T A

U

F^c∩ Bc∩ Tc∩ Ac

Ejemplo 3.20

Utilizando el principio de inclusi´on-exclusi´on para dos conjuntos F ∪ B y T ∪ A, tendremos |F ∪ B ∪ T ∪ A| = |(F ∪ B) ∪ (T ∪ A)|

= |F ∪ B| + |T ∪ A| − |(F ∪ B) ∩ (T ∪ A)|

= |F ∪ B| + |T ∪ A| − |B ∩ T | (3.14)

y como el enunciado proporciona, entre otros, los datos |F |, |B|, |F ∩ B| y |T ∩ B|, aplicamos de nuevo el principio de inclusi´on-exclusi´on a F ∪ B, es decir,

|F ∪ B| = |F | + |B| − |F ∩ B| que sustituido en (3.14), nos lleva a que

|F ∪ B ∪ T ∪ A| = |(F ∪ B) ∪ (T ∪ A)|

= |F ∪ B| + |T ∪ A| − |(F ∪ B) ∩ (T ∪ A)|

= |F | + |B| − |F ∩ B| + |T ∪ A| − |B ∩ T | (3.15) y el ´unico dato que nos falta es |T ∪ A|.

Pues bien, como conocemos los que juegan ´unicamente al tenis y los que juegan al ajedrez, descompon-dremos los que juegan al tenis o al ajedrez (T ∪ A) en los que juegan al tenis y no al ajedrez y los que juegan al ajedrez, es decir,

T ∪ A = (T ∩ A^c) ∪ A

y entre los que juegan al tenis y no juegan al ajedrez los hay que tambi´en juegan al baloncesto, es decir, (T ∩ A^c) = (T ∩ A^c∩ B) ∪ (T ∩ Ac∩ Bc) .

Sustituyendo este resultado en la igualdad anterior,

T ∪ A = (T ∩ A^c∩ B) ∪ (T ∩ Ac∩ Bc) ∪ A y al ser los tres conjuntos disjuntos dos a dos, por el principio de adici´on,

y como los que juegan al ajedrez no juegan al baloncesto, |T ∩ A^c∩ B| = |T ∩ B| de aqu´ı que

|T ∪ A| = |T ∩ B| + |T ∩ Ac∩ Bc| + |A| donde |T ∩ A^c∩ Bc| son los que juegan ´unicamente al tenis.

Sustituyendo en (3.15),

|F ∪ B ∪ T ∪ A| = |F | + |B| − |F ∩ B| + |T ∩ B| + |T ∩ A^c∩ B^c| + |A| − |B ∩ T |

= |F | + |B| − |F ∩ B| + |T ∩ Ac∩ Bc| + |A| (3.16)

y s´olo nos queda saber cu´antos juegan ´unicamente al baloncesto ya que |A| es el cu´adruple de ´ese n´umero. Pues bien, seg´un el enunciado los que juegan al baloncesto no juegan al ajedrez, luego s´olo podr´an jugar al f´utbol o al tenis y como los que juegan al f´utbol no juegan al tenis, tendremos que

B = (B ∩ F ) ∪ (B ∩ F^c∩ Tc) ∪ (B ∩ T )

es una descomposici´on de B en uni´on de conjuntos disjuntos. Aplicando el principio de adici´on, |B| = |B ∩ F | + |B ∩ Fc∩ Tc| + |B ∩ T |

siendo |B ∩ F^c∩ Tc| el n´umero de estudiantes encuestados que juegan ´unicamente al baloncesto, luego |A| = 4 |B ∩ Fc∩ Tc| = 4 |B| − 4 |B ∩ F | − 4 |B ∩ T | .

Sustituyendo en (3.16) este resultado y, posteriormente, los datos del enunciado,

|F ∪ B ∪ T ∪ A| = |F | + |B| − |F ∩ B| + |T ∩ Ac∩ Bc| + 4 |B| − 4 |B ∩ F | − 4 |B ∩ T | = |F | + 5 |B| − 5 |F ∩ B| + |T ∩ Ac∩ Bc| − 4 |B ∩ T |

= 25 + 5 · 52 − 5 · 15 + 11 − 4 · 25 = 25 + 260 − 75 + 11 − 100

= 121

Finalmente, llevando este resultado a (3.13),

|F ∪ B ∪ T ∪ A|^c= 150 − 121 = 29

es decir, 129 estudiantes de los encuestados no practican ninguno de estos cuatro deportes. 

Ejemplo 3.21 En una reuni´on hay m´as hombres que mujeres, m´as mujeres que beben que hombres que fuman y m´as mujeres que fuman y no beben que hombres que no beben ni fuman. Demostrar que hay menos mujeres que no beben ni fuman que hombres que beben y no fuman.

Soluci´on Sea

H: Conjunto formado por los hombres de la reuni´on. M : Conjunto formado por las mujeres de la reuni´on.

F : Conjunto formado por las personas de la reuni´on que fuman. B: Conjunto formado por las personas de la reuni´on que beben.

H M F B H ∩ F ∩ Bc H ∩ F ∩ B H ∩ Fc∩ B M ∩ F ∩ Bc M ∩ F ∩ B M ∩ Fc∩ B H ∩ Fc∩ Bc M ∩ Fc∩ Bc Ejemplo 3.21

Seg´un los datos aportados por el enunciado,

X hay m´as hombres que mujeres, es decir,

|H| > |M | (3.17)

Descompondremos los conjuntos H y M en uni´on de conjuntos disjuntos. H = (H ∩ F ) ∪ (H ∩ Fc)

= (H ∩ F ∩ B) ∪ (H ∩ F ∩ Bc) ∪ (H ∩ Fc∩ B) ∪ (H ∩ Fc∩ Bc) M = (M ∩ F ) ∪ (M ∩ Fc)

= (M ∩ F ∩ B) ∪ (M ∩ F ∩ B^c) ∪ (M ∩ F^c∩ B) ∪ (M ∩ Fc∩ Bc) Aplicando el principio de adici´on,

|H| = |H ∩ F ∩ B| + |H ∩ F ∩ Bc| + |H ∩ Fc∩ B| + |H ∩ Fc∩ Bc| |M | = |M ∩ F ∩ B| + |M ∩ F ∩ Bc| + |M ∩ Fc∩ B| + |M ∩ Fc∩ Bc| Sustituyendo estos resultados en (3.17)

|H ∩ F ∩ B| + |H ∩ F ∩ Bc| + |H ∩ Fc∩ B| + |H ∩ Fc∩ Bc| >

X hay m´as mujeres que beben que hombres que fuman, es decir,

|M ∩ B| > |H ∩ F | (3.19)

Al igual que antes, escribimos los conjuntos M ∩ B y H ∩ F como uni´on de conjuntos disjuntos M ∩ B = (M ∩ F ∩ B) ∪ (M ∩ F^c∩ B)

H ∩ F = (H ∩ F ∩ B) ∪ (H ∩ F ∩ B^c) . Aplicando nuevamente el principio de adici´on,

|M ∩ B| = |M ∩ F ∩ B| + |M ∩ Fc∩ B| |H ∩ F | = |H ∩ F ∩ B| + |H ∩ F ∩ Bc| . y sustituyendo en (3.19)

|M ∩ F ∩ B| + |M ∩ Fc∩ B| > |H ∩ F ∩ B| + |H ∩ F ∩ Bc| (3.20) X hay m´as mujeres que fuman y no beben que hombres que no beben ni fuman. Entonces,

|M ∩ F ∩ Bc| > |H ∩ Fc∩ Bc| . (3.21)

Pues bien, sumando miembro a miembro las desigualdades (3.18), (3.20) y (3.21) |H ∩ F ∩ B| + |H ∩ F ∩ Bc| + |H ∩ Fc∩ B| + |H ∩ Fc∩ Bc| + |M ∩ F ∩ B| + |M ∩ Fc∩ B| + |M ∩ F ∩ Bc| > |M ∩ F ∩ B| + |M ∩ F ∩ Bc| + |M ∩ Fc∩ B| + |M ∩ Fc∩ Bc| + |H ∩ F ∩ B| + |H ∩ F ∩ Bc| + |H ∩ Fc∩ Bc| y simplificando, |M ∩ F^c∩ B^c| < |H ∩ F^c∩ B|

luego hay menos mujeres que no fuman ni beben que hombres que beben y no fuman. 

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