Capítulo III Marco Teórico
3.6 Geometría en tercera dimensión, transformaciones afines
TRANSFORMACIONES AFINES
Técnicamente se dice que una trasformación está compuesta de cualquier combinación de trasformación lineal (rotación, escala, y sombreado) seguido de la traslación. El objeto es definido en un sistema de coordenadas mundo la cual es convencionalmente un sistema diestro. Un sistema de coordenadas en tercera dimensión diestro y zurdo Véase Fig. (3.4) son convenciones matemáticas estandarizadas para visualización en el contexto de tercera dimensión, la diferencia entre los dos sistemas es la sensación del eje z. la rotación del eje z con los dedos desde el eje x al eje positivo y, dando una dirección diferente del eje z por el pulgar dependiendo de qué sistema se utilizara. Algunas veces será conveniente definir los objetos en su propio sistema local de coordenadas, hay tres razones para esto, cuando un objeto en tercera dimensión es modelado es usualmente construido mediante los vértices con respecto a algunos puntos de referencia del objeto. Un objeto complejo puede tener un número de sistemas de coordenadas locales, una para cada sub-parte, esto puede ser que el mismo objeto puede aparecer varias veces en una escena y una definición con un origen local es la única forma sensible a este conjunto.
La creación de instancias de un objeto mediante la aplicación de una mezcla de trasformaciones de traslación, rotación y escalamiento pueden ser vistos como una trasformación de sistemas de coordenadas locales de cada objeto en un sistema de coordenadas mundo, finalmente cuando un objeto es rotado, es más fácil si la rotación es definida con respecto a un punto de referencia local así como un eje de simetría. Un conjunto de vértices de tres dimensiones (voxeles) que pertenecen a un objeto pueden ser trasformados en otro conjunto de puntos por una trasformación lineal, ambos conjuntos de puntos pertenecen al mismo sistema de coordenadas. [14]
La notación de matrices será usada para describir la trasformación y la convención para tener el punto o vector como una columna de matrices, procedentes por la trasformación de la matriz T, Usando una notación de matriz, un punto V es trasformado bajo la traslación, escalamiento y rotación como se ve a continuación.
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Donde D es un vector de traslación, S y R son matrices de escalamiento y rotación respectivamente, estas tres operaciones son las más comunes para hacer la trasformación de un objeto.
En la animación de un cuerpo rígido puede someterse solo a la rotación, trasformación y escalamiento para el modelado del objeto, para permitir las trasformaciones anteriores serán tratadas y combinadas de la misma manera, se usara un sistema que se le ha llamado coordenadas homogéneas lo cual incrementa la dimensión del espacio. La razón práctica de lo anterior es permitir incluir la traslación como la multiplicación de matrices y así tener un esquema unificado de trasformaciones lineales. En un sistema homogéneo de vértices.
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Es representado como:
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Para cualquier factor de escala . En la representación de coordenadas cartesianas en tercera dimensión es la siguiente:
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Si se considera w que tiene un valor de 1, la representación de la matriz de un punto es el siguiente:
[ ] (9)
Ahora la traslación puede ser tratada como una multiplicación de matriz, como las otras dos trasformaciones (10) [ ] [ ] [ ] (11)
Esta especificación implica que el objeto es trasladado en tres dimensiones aplicando un desplazamiento , y , para cada vértice que define al objeto, la notación de matriz es una forma conveniente de escribir la trasformación como un conjunto de tres ecuaciones.
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Un conjunto de trasformaciones es completado por la rotación y la escala, se verá primero la escala (15) [ ] (16)
Donde , y son factores de escala, para una escala uniforme de otra manera la escala ocurre a lo largo de estos ejes para lo cual el factor de escala es adimensional, nuevamente el proceso puede ser expresado resumidamente por un conjunto de tres ecuaciones, aplicadas a cada vértice del objeto:
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Para rotar un Objeto en el espacio en tercera dimensión se necesita especificar el eje de rotación, esto puede tener una orientación espacial en el espacio en tercera dimensión, pero esto es más fácil si se consideran las rotaciones que son paralelas a uno de los ejes de coordenadas, la trasformación de matrices en sentido contrario de las manecillas del reloj (mirando a lo largo de cada eje de hacia el origen), la rotación en el eje x, y, z respectivamente.
(a) Matriz Identidad
[ ] (20)
Fig. (3.5) Sistema de transformación de un objeto Véase Apéndice C
La capacidad para concatenar trasformaciones para después formar una matriz de trasformación completa es muy útil, por ejemplo si se considera rotar el cuerpo alrededor de una línea paralela al eje z la cual pasa a través del punto y también pasa a través de uno de los vértices del objeto, esto implica que el objeto no es el origen y se aplicara la rotación acerca de un punto de referencia en el objeto, en otras palabra se necesita rotar el objeto con respecto a nuestro sistema de coordenadas conocido como el sistema de coordenadas local, no basta con aplicar la matriz de rotación porque esto es definido con respecto al origen y un objeto no es posicionado en el origen, podría rotarse y trasladarse, pero usualmente no es el efecto deseado.
En lugar de lo anterior se podría derivar una trasformación completa como a continuación se muestra:
1. Trasladar el objeto al origen. 2. Aplicar la rotación, y
Fig. (3.6). Dos etapas en la construcción de la rotación de un objeto alrededor de uno de sus vértices propios. La rotación es alrededor de un eje paralelo al eje z en el punto (Tx, Ty, 0). Una proyección en dos dimensiones (con el eje z que sale del papel) se muestra por claridad (a) Objeto original en (Tx, Ty, 0) (b) objeto trasladado al origen (c) Objeto girado alrededor del origen (d) Objeto trasladado al punto
p(Tx, Ty, 0)