§3.1.
Motivaci´on
Con el fin de motivar la intepretaci´on geom´etrica de una ecuaci´on diferencial, comencemos a analizar el siguiente caso simple. Sea una EDO de primer orden,
y0 =F(x, y), (2.1)
dondexes una variable independiente definida en un conjuntoX, eyes la variable dependiente definida en un conjunto Y. Aqu´ı, y0 significa la derivada de y con
respecto ax.
Soluciones a esta ecuaci´on, ser´an funciones f : X → Y, tales que y = f(x) satisfaga
f0(x) =F(x, f(x)).
Consideremos ahora, un espacio J1(X,Y) de dimensi´on 3, con coordenadas
(x, y, y0) en donde y0 es considerada como una variable independiente, es decir, no
tiene connotaci´on por el momento, de una derivada asociada a y.
Entonces, a la relaci´on Ec.(2.1), podemos interpretarla como una superficie Σ (una subvariedad) embebida en J1. Por lo tanto,
Una EDO de primer orden, puede ser interpretada como una superficie Σ sobre un cierto espacio J1.
Ahora, interpretemos geom´etricamente, a las soluciones de la EDO original. Es obvio que si uno tiene una soluci´ony =f(x), entonces la curvaC :X→J1 defini-
§3. GEOMETRIZACI ´ON DE ECUACIONES DIFERENCIALES 31
Σ. Por lo tanto,
Toda soluci´on de la ecuaci´on diferencial Ec.(2.1), est´a en correspondencia con ciertas curvas trazadas sobre la superficie Σ.
Pero debe resultar claro, que no toda curva C1 sobre Σ ser´a una soluci´on de
la Ec.(2.1). Para que lo sea, ser´a necesario que la proyecci´on Π de una dada pero arbitraria curvaC1 ≡(x, y(x), p(x)) sobre el espacioX×Ycon coordenadas (x, y),
Π :C1 ≡(x, y(x), p(x))→C0 ≡(x, y(x)),
sea tal que la curva C0 generada en la proyecci´on, defina a una funci´on y=f(x),
dependiente del par´ametro xy adem´as que f0(x) =p.
Entonces, uno debe agregar m´as estructura, adem´as de definir la superficie Σ, si se desea codificar geom´etricamente la informaci´on de cuales curvas deben ser interpretadas como soluciones a la Ec.(2.1), y cuales no.
Esta estructura extra, como veremos en breve, es provista por un sistema dife- rencial (m´as precisamente, por el ideal generado por un cierto sistema pfaffiano sobre Σ), y es conocida como una estructura de contacto.
Esta idea puede obviamente ser generalizada para EDOs y EDPs de cualquier orden. Por ejemplo, sea una ODE de orden n,
dun dxn =F(u, du dx, du2 dx2, ..., dun−1 dxn−1), con x∈X, eu∈U.
En una notaci´on m´as compacta, escribiremos
u(n) =F(x, u, u(1), u(2), ..., u(n−1)). (2.2)
Con esta ecuaci´on en mente, construimos un espacio denotado Jn(X,Y) con coordenadas locales (x, u, u(1), u(2), ..., u(n−1), u(n)), i.e., un espacio (n+ 2)-dimen-
sional.
Entonces, como en el caso de una ODE de primer orden, podemos considerar que la ODE, Ec.(2.2), es definida como una hipersuperficie Σ sobre Jn, y las soluciones estar´an en correspondencia con ciertas curvas sobre Σ.
En general, si el espacioX, tiene dimensi´onn >1, i.e., hay m´as de un par´ametro independiente, ya no podremos hablar de curvas sobre Σ, pero las soluciones, aun se ver´an como subvariedades n-dimensionales contenidas en Σ.
§3.2.
Espacios Jet y estructuras de contacto
Nuestro prop´osito, es geometrizar completamente a estas ecuaciones y a sus soluciones, para ello, observemos lo siguiente:
32 GEOMETRIZANDO ECUACIONES DIFERENCIALES
Si bien hemos dicho que la Ec.(2.2) puede ser considerada como una hipersu- perficie embebida enJn, debe resultar claro, que nosotros podemos estudiar a esta hipersuperficie de manera intr´ınsica, es decir, sin hacer referencia a un espacio de dimensi´on mayor.
Esto es, nosotros podemos considerar a esta superficie coordenatizada local- mente por (x, u, u(1), u(2), ..., u(n−1)). A este espacio lo denotaremos, en coherencia
con la definici´on anterior, Jn−1(X,Y). Dichos espacios, son conocidos con el nom-
bre deEspacios Jets.
Una soluci´on de la ODE original, inducir´a una subvariedad 1-dimensional en este espacio, y por ende, si conocemos una soluci´on en el espacioX×Y dada por s1 = (x, f(x)), (a menudo conocido como grafo de f(x)), la misma generar´a una
curva sobre J(n−1) dada por
p(n−1)[f] = (x, f(x), f(1)(x), f(2)(x), ..., f(n−1)(x)).
Diremos que esta curva, es la prolongaci´on sobreJ(n−1) de f(x).
Nuestro pr´oximo objetivo, es saber como reconocer si una curva en J(n−1) es
la prolongaci´on de alguna funci´on (y por ende una soluci´on de la ODE original) o no.
Para ello, introduciremos la idea de estructura de contacto.
Definici´on 2.5: Una 1-forma diferencial θ sobre el espacio Jet J(n−1) es llamada
una forma de contacto, si ´esta es aniquilada por todas las funciones prolongadas. Es decir, siu=f(x), tiene prolongaci´on suave sobreJ(n−1),p(n−1)[f] :X→J(n−1),
entonces el pull-back de θ a X, via P(n−1)[f] se anula:(p(n−1)[f])∗θ = 0.
Ejemplo 2.1: Consideremos el caso de J1, con coordenadas x, u, p
1 = ux. Una 1-forma gen´erica toma la forma coordenada
θ =adx+bdu+cdp1.
Cona, b, cfunciones de (x, u, p1). Una funci´onu=f(x), tiene primer prolongaci´on
p(1)[f] = (x, f(x), f0(x)), y por lo tanto
(P(1)[f])∗θ = [a(x, f(x), f0(x)) +b(x, f(x), f0(x))f0(x) +c(x, f(x), f0(x))f00(x)]dx. Esta 1-forma se anular´a para toda f, si y solo si, c = 0, y a = −bp1, por lo
tanto debemos tener que
§3. GEOMETRIZACI ´ON DE ECUACIONES DIFERENCIALES 33
A la forma de contacto θ0 =du−uxdx, la llamaremos forma de contacto b´asica. Ejemplo 2.1 bis: Del mismo modo, sobre J2, con coordenadas (x, u, p
1, p2),
(p2 =uxx), una 1-forma
θ =adx+bdu+cdp1+edp2,
ser´a una forma de contacto, si y solo si,
θ =bθ0+cθ1,
donde θ1 =dux−uxxdxes la pr´oxima forma de contacto b´asica.
Observaci´on 2.2:La notaci´onJn−1(X,Y),no es exclusiva a EDOs, por ejemplo,
si estudiamos EDPs, Jn−1(X,Y), significar´a el espacio con coordenadas(x, y, Dy),
con x ∈ X, y ∈ Y y Dy denotando a todas las derivadas posibles hasta orden
(n−1) de y con respecto a los par´ametros x. En general, tanto X como Y, ser´an espacios de dimensi´on mayor que uno. Por ejemplo, para una sistema de dos EDPs de segundo orden de la forma:
uxx = F1(x, y, u, v, ux, uy, vx, vy, uxy, uyy, vxy, vxx), vyy = F2(x, y, u, v, ux, uy, vx, vy, uxy, uyy, vxy, vxx),
con {x, y} ∈ X, las variables independientes, y {u, v} ∈ Y, las variables depen- dientes, resulta
J1 = (x, y, u, v, u
x, uy, vx, vy).
Ejemplo 2.2:Teniendo en cuenta la observaci´on anterior, en el caso de dos varia- bles independientes, y una dependiente, habr´a una 1-forma b´asica sobre J1,
θ0 =du−uxdx−uydy. Dos 1-formas b´asicas sobreJ2,
θ1 = dux−uxxdx−uxydy, θ2 = duy −uxydx−uyydy, etcetera.
Lo interesante, es que las formas de contacto, caracterizan completamente a las subvariedades de J(n−1) que provienen de la prolongaci´on de una funci´on como lo
34 GEOMETRIZANDO ECUACIONES DIFERENCIALES
Teorema 2.4: Una subvariedad arbitraria F :X→J(n−1),
F(x) = (x, u(x), p(x), ..., p(n−1)(x)),
sobre el espacio Jet J(n−1), es la prolongaci´on de alguna funci´on u = f(x), si y
solo si, F aniquila a todas las formas de contacto sobre J(n−1),
F∗θ
i = 0. (2.3)
En otras palabras, la subvariedad es una prolongaci´on deu=f(x), si y solo si, es una subvariedad integral del sistema pffafiano generado por las formas b´asicas de contactoθi.
Observaci´on 2.3: Tambi´en podemos pensar a F como una secci´on sobre Jn−1, ya
que, utilizando la jerga del cap´ıtulo anterior, podemos considerar a J(n−1), como
un espacio fibrado π : Jn−1 → X. En tal sentido, F : X → J(n−1) es una secci´on
sobre este fibrado Jet.
Nosotros no daremos la prueba general aqu´ı, pero s´ı veremos ciertos casos espe- ciales, de donde resultar´a clara la idea de la prueba general. Como primer ejemplo, sea Xj R y Y jR. Sea F una curva sobre J1 descrita por un par de funciones,
u = f(x), p1 = g(x), i.e., F(x) = (x, f(x), g(x)). Esta secci´on aniliquilar´a a la
forma b´asica de contacto θ0 =du−pdx, siempre y cuando
0 =F∗θ
0 =df −gdx= [f0(x)−g(x)]dx,
i.e., si y solo si g(x) =f0(x). Por lo tanto,F deber´a ser necesariamente la prolon-
gaci´on de una funci´on f(x).
Del mismo modo, siF = (x, f(x), g(x), h(x)) es una secci´on sobreJ2, entonces
se deber´a cumplir:
0 = F∗θ0 =F∗(du−p1dx), (2.4)
0 = F∗θ
1 =F∗(dp1−p2dx). (2.5)
De la Ec.(2.4) deducimos nuevamente que g(x) = f0(x), y de la Ec.(2.5) tenemos
que
0 = F∗(dp1−p2dx) =dg−hdx= [g0(x)−h(x)]dx.
Por lo tanto, se deber´a tener, h(x) =g0(x) = f00(x).
De all´ı, nuevamente F = (x, f(x), f0(x), f00(x)), y por ende, es la prolongaci´on
§3. GEOMETRIZACI ´ON DE ECUACIONES DIFERENCIALES 35
Con ayuda de esta estructura, ya tenemos a nuestra disposici´on una manera de caracterizar geom´etricamente a EDOs y EDPs de orden arbitrario, como veremos en la siguiente secci´on.
§3.3.
Geometrizaci´on de ecuaciones diferenciales en ejem-
plos
Ahora que ya tenemos toda la maquinaria para codificar geom´etricamente a ecuaciones diferenciales, daremos algunos ejemplos sencillos. En el caso de una ODE de primer orden, podremos pensar que resolver la ecuaci´on,
y0 =F(x, y),
es equivalente a encontrar subvariedades 1-dimensionales del espacio J0 = (x, y),
que sean integrales del sistema generado por la ´unica 1-forma b´asica θ0 =dy−F(x, y)dx.
Del mismo modo, una EDO de orden n,
u(n) =F¡x, u, u0, ..., u(n−1)¢,
tiene asociado al espacio JetJn−1(X,U), con coordenadas locales¡x, u, u0, ..., u(n−1)¢,
y un idealI, generado por el sistema pfaffiano, θ0 = du−u0dx,
θ1 = du0−u00dx,
...
θ(n−1) = du(n−1)−F dx,
Hallar subvariedades 1-dimensionales integrales de este sistema, es equivalente a encontrar soluciones de la EDO original.
Diferentes casos de sistemas pfaffianos asociados a EDOs y EDPs, ser´an ana- lizados en los siguientes cap´ıtulos, donde se utilizar´a esta imagen geom´etrica de las ecuaciones, para poder introducir m´as estructuras extras, como m´etricas y conexiones.