GESTIÓN DEL APRENDIZAJE Planificación del proceso de

3.1.1 Estimation of parameters for q- dimensional contingency table

For q=2 the saturated log linear model for 2-dimensional contingency table and its parameters effects is given by

^{logmi i1 2 =   1 i1 2 i2 12 i i1 2}

Where conventionally we take

^{ }

 

^

and

 

^{0 i.e}

   

^;

J  J 

1 2 1 2

1 2

ˆ log

i i i i

i i

I I





 

 

  

 

 



 

^1;

J 

  

1 

2 1

2

, 1

ˆ ˆ

log

i i i

Ii



 ^ 

 

 

  

 

 



  

2 

1 2

1

, 2

ˆ ˆ

log

i i i

Ii



 ^ 

 

 

  

 

 



For q=3 the saturated log linear model for 3-dimensional contingency table and its parameters effects is given by

_{1 2 3              }

1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3

1 2 3 12 13 23 123

logm_{i i i} =   _i  _i  _i   _{i i}  _{i i}  _{i i}  _{i i i}

32

where conventionally we take

^{ }

 

^

and

 

^{0 i.e}

   

^;

J  J 

1 2 3 1 2 3

1 2 3

ˆ log

i i i i i i

i i i

I I I





 

 

  

 

 



 

^1;

J 

  

1 

2 3 1

2 3

, 1

ˆ ˆ

log

I I

i i i i

i i



 ^ 

 

 

  

 

 



  

3 

1 2 3

1 2

,

ˆ3 log ˆ

i i i i

i i

I I



 ^ 

 

 

  

 

 



 

^2;

J 

  

2 

1 3 2

1 3

,

ˆ2 log ˆ

i i i i

i i

I I



 ^ 

 

 

  

 

 



33

  

 

     

1 2 3

1 2 1 2

3

,

12 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i

i i i i

Ii



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

1 3 2

1 3 1 3

2

,

13 1 3

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i

i i i i

Ii



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

2 3 1

2 3 2 3

1

,

23 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i

i i i i

Ii



 ^   

 

 

    

 

 



For q=4, the saturated log linear for 4-dimensional contingency table and its parameter effects is given as

                   

         

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 4

1 2 3 1 3 4 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4 12 13 14 23 24 34

124

123 134 234 1234

log =

i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

i i i

i i i i i i i i i i i i i

m           

    

         

    

 

^{0 i.e}

   

^;

J  J 

34

1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4

ˆ log

i i i i i i i i

i i i i

I I I I





 

 

  

 

 



 

^1;

J 

  

1 

2 3 4 1

2 3 4

, 1

ˆ ˆ

log

i i i i i

i i i

I I I



 ^ 

 

 

  

 

 



  

2 

1 3 4 2

1 3 4

,

ˆ2 log ˆ

i i i i i

i i i

I I I



 ^ 

 

 

  

 

 



  

3 

1 2 4 3

1 2 4

,

ˆ3 log ˆ

i i i i i

i i i

I I I



 ^ 

 

 

  

 

 



  

4 

1 2 3 4

1 2 3

,

ˆ4 log ˆ

i i i i i

i i i

I I I



 ^ 

 

 

  

 

 



 

^2;

J 

35

  

 

     

1 2 3 4

1 2 1 2

3 4

,

12 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i

i i i i

i i

I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

1 3 2 4

1 3 1 3

2 4

,

13 1 3

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i

i i i i

i i

I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

1 4 2 3

1 4 1 4

2 3

,

14 1 4

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i

i i i i

i i

I I



   

  

 

    

 

 



  

 

     

2 4 1 3

2 4 2 4

1 3

,

24 2 4

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i

i i i i

i i

I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

3 4 1 2

3 4 3 4

1 2

,

23 3 4

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i

i i i i

i i

I I



 ^   

 

 

    

 

 



 

^3;

J 

  

 

                 

1 2 3 4

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

4

,

123 1 2 3 12 13 23

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i

i i i i i i i i i i i i

Ii



 ^       

 

 

        

 

 



36

  

 

                 

1 2 4 3

1 2 4 1 2 4 1 2 1 4 2 4

3

,

124 1 2 4 12 14 24

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i

i i i i i i i i i i i i

Ii



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

1 3 4 2

1 3 4 1 3 4 1 2 1 4 3 4

2

,

134 1 3 4 13 14 34

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i

i i i i i i i i i i i i

Ii



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

2 3 4 1

2 3 4 2 3 4 2 3 2 4 3 4

1

,

234 2 3 4 23 24 34

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i

i i i i i i i i i i i i

Ii



 ^       

 

 

        

 

 



For q=5, the saturated log linear for 5-dimensional contingency table and its parameter effects is given by

                     

               

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4

2 5 3 4 3 5 4 5 1 2 3 1 2 3 1 2 5 1 3 4 1 3

1 2 3 4 5 12 13 14 15 23 24

25 34 35 45 123 124 125 134 135

log =

+

i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

m            

        

          

       _{ }

               

     

5

1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 4 5

1 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5

145 234 235 245 345 1234 1235 1245

1345 2345 12345

+ +

i

i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i

      

  

       



 

0 . . ;

j i e j 

    

   

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

ˆ log

i i i i i i i i i i

i i i i i

I I I I I





 

 

  

 

 



37 1;

  j

 

  

1 

2 3 4 5 1

2 3 4 5

,

ˆ1 ˆ

log -

i i i i i i

i i i i

I I I I



 ^ 

 

 

  

 

 



  

2 

1 3 4 5 2

1 3 4 5

,

ˆ 2 ˆ

log -

i i i i i i

i i i i

I I I I



 ^ 

 

 

  

 

 



  

3 

1 2 4 5 3

1 2 4 5

,

ˆ3 ˆ

log -

i i i i i i

i i i i

I I I I



 ^ 

 

 

  

 

 



  

4 

1 2 3 5 4

1 2 3 5

,

ˆ 4 ˆ

log -

i i i i i i

i i i i

I I I I



 ^ 

 

 

  

 

 



  

5 

1 2 3 4 5

1 2 3 4

,

ˆ5 ˆ

log -

i i i i i i

i i i i

I I I I



 ^ 

 

 

  

 

 



2;

  j

 

  

 

     

1 2 3 4 5

1 2 1 2

3 4 5

,

12 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i

i i i i

i i i

I I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

1 3 2 4 5

1 3 1 3

2 4 5

,

13 1 3

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i

i i i i

i i i

I I I



 ^   

 

 

    

 

 



38

  

 

     

1 4 2 3 5

1 4 1 4

2 3 5

,

14 1 4

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i

i i i i

i i i

I I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

1 5 2 3 4

1 5 1 5

2 3 4

,

15 1 5

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i

i i i i

i i i

I I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

2 3 1 4 5

2 3 2 3

1 4 5

,

23 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i

i i i i

i i i

I I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

2 4 1 3 5

2 4 2 4

1 3 5

,

24 2 4

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i

i i i i

i i i

I I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

2 5 1 3 4

2 5 2 5

1 3 4

,

25 2 5

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i

i i i i

i i i

I I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

3 4 1 2 5

3 4 3 4

1 2 5

,

34 3 4

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i

i i i i

i i i

I I I



   

  

 

    

 

 



39

  

 

     

3 5 1 2 4

3 5 3 5

1 2 4

,

35 3 5

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i

i i i i

i i i

I I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

4 5 1 2 3

4 5 4 5

1 2 3

,

45 4 5

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i

i i i i

i i i

I I I



 ^   

 

 

    

 

 



3;

  j

 

  

 

                 

1 2 3 4 5

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

4 5

,

123 1 2 3 12 13 23

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i

I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

1 2 4 3 5

1 2 4 1 2 4 1 2 1 4 2 4

3 5

,

124 1 2 4 12 14 24

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i

I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

1 2 5 3 4

1 2 5 1 2 4 1 2 1 5 2 5

3 4

,

125 1 2 5 12 15 25

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i

I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

1 3 4 2 5

1 3 4 1 3 4 1 3 1 4 3 4

2 5

,

134 1 3 4 13 14 34

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i

I I



 ^       

 

 

        

 

 



40

  

 

                 

1 3 5 2 4

1 3 5 1 3 5 1 3 1 5 3 5

2 4

,

135 1 3 5 13 15 35

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i

I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

1 4 5 2 3

1 4 5 1 4 5 1 3 1 5 4 5

2 3

,

145 1 4 5 14 15 45

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i

I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

2 3 4 1 5

1 3 4 2 3 4 2 3 2 4 3 4

1 5

,

134 2 3 4 23 24 34

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i

I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

2 3 5 1 4

1 3 5 2 3 5 2 3 2 5 3 5

1 4

,

135 2 3 5 23 25 35

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i

I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

2 4 5 1 3

2 4 5 2 4 5 2 4 2 5 4 5

1 3

,

245 2 4 5 24 25 45

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i

I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

3 4 5 1 2

3 4 5 3 4 5 3 4 3 5 4 5

1 2

,

345 3 4 5 34 35 45

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i

I I



 ^       

 

 

        

 

 



41 4;

  j

 

  

 

                       

                 

1 2 3 4 5

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3

5

2 4 3 4 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4

,

1234 1 2 3 4 12 13 14 23

24 34 123 124 134 234

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i

i i i i i i i i i i i i i i i i

I



         

     

  

 

          

 

 

     



  

 

                       

                

1 2 3 5 4

1 2 3 5 1 2 3 5 1 2 1 3 1 5 2 3

4

2 5 3 5 1 2 3 1 2 5 1 3 5 2

,

1235 1 2 3 5 12 13 15 23

25 35 123 125 135 235

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i

i i i i i i i i i i i i i i

I



         

     

  

 

          

 

 

     



 i i3 5

  

 

                       

                 

1 2 4 5 3

2 3 4 5 1 2 4 5 1 2 1 4 1 5 2 4

3

2 5 4 5 1 2 4 1 2 5 1 4 5 2 4 5

,

2345 1 2 4 5 12 14 15 24

25 45 124 125 145 245

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i

i i i i i i i i i i i i i i i i

I



         

     

  

 

          

 

 

     



  

 

                       

                

1 3 4 5 2

1 3 4 5 1 3 4 5 1 3 1 4 1 5 3 4

2

3 5 4 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 3 4

,

1345 1 3 4 5 13 14 15 34

35 45 134 135 145 345

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i

i i i i i i i i i i i i i i i

I



         

     

  

 

          

 

 

     



 i5

  

 

                       

                

2 3 4 5 1

2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 2 4 2 5 3 4

1

3 5 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5

,

2345 2 3 4 5 23 24 25 34

35 45 234 235 245 345

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i

i i i i i i i i i i i i i

I



         

     

  

 

          

 

 

     



i i i3 4 5

42

For q=6, the saturated log linear for 6-dimensional contingency table and its parameter effects is given

                     

               

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

2 4

2 3 2 5 2 6 3 4 3 5 3 6 4 5 4

1 2 3 4 5 6 12 13 14 15 16

24

23 25 26 34 35 36 45 46

log = +

+ +

i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

m            

        

         

       _{   }

                 

     

6 5 6

1 2 4

1 2 3 1 2 5 1 2 6 1 3 4 1 3 5 1 3 6 1 4 5 1 4 6

1 5 6 2 3 4 2 3 5

56 124

123 125 126 134 135 136 145 146

156 234 235 236

+

i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

i i i i i i i i i i



        

   



        

   _{           }

               

2 3 6 2 4 5 2 4 6 2 5 6 3 4 5 3 4 6

3 5 6 4 5 6 1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 3 6 1 2 4 5 1 2 4 6 1 2 5 6

245 246 256 345 346

356 456 1234 1235 1236 1245 1246 1256

+ + +

i i i i i i i i i i i i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

    

       

    

    

             

   

1 3 4 5 1 3 4 6 1 3 5 6 1 4 5 6 2 3 4 5 2 3 4 6 2 3 5 6

2 4 5 6 3 4 5 6 1 2 3 4

1345 1346 1356 1456 2345 2346 2356

2456 3456 12345

+

+ +

i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i

      

  

     

 _{       }

     

5 1 2 3 4 6 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6

1 2 3 5 6 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

12346 13456 12456

12356 23456 123456

i i i i i i i i i i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

  

  

  

  

 

0 . . ;

j i e j 

    

   

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

ˆ log

i i i i i i i i i i i i

i i i i i i

I I I I I I





 

 

  

 

 



1;

  j

 

  

1 

2 3 4 5 6 1

2 3 4 5 6

,

ˆ1 ˆ

log -

i i i i i i i

i i i i i

I I I I I



 ^ 

 

 

  

 

 



  

2 

1 3 4 5 6 2

1 3 4 5 6

,

ˆ2 ˆ

log -

i i i i i i i

i i i i i

I I I I I



 ^ 

 

 

  

 

 



  

3 

1 2 4 5 6 3

1 2 4 5 6

,

ˆ3 ˆ

log -

i i i i i i i

i i i i i

I I I I I



 ^ 

 

 

  

 

 



  

4 

1 2 3 5 6 4

1 2 3 5 6

,

ˆ4 ˆ

log -

i i i i i i i

i i i i i

I I I I I



 ^ 

 

 

  

 

 



43

  

5 

1 2 3 4 6 5

1 2 3 4 6

,

ˆ5 ˆ

log -

i i i i i i i

i i i i i

I I I I I



 ^ 

 

 

  

 

 



  

6 

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

,

ˆ6 ˆ

log -

i i i i i i i

i i i i i

I I I I I



 ^ 

 

 

  

 

 



2;

  j

 

  

 

     

1 2 3 4 5 6

1 2 1 2

3 4 5 6

,

12 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i i

i i i i

i i i i

I I I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

1 3 2 4 5 6

1 3 1 3

2 4 5 6

,

13 1 3

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i i

i i i i

i i i i

I I I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

1 4 2 3 5 6

1 4 1 4

2 3 5 6

,

14 1 4

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i i

i i i i

i i i i

I I I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

1 5 2 3 4 6

1 5 1 5

2 3 4 6

,

15 1 5

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i i

i i i i

i i i i

I I I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

1 6 2 3 4 5

1 6 1 6

2 3 4 5

,

16 1 6

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i i

i i i i

i i i i

I I I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

2 3 1 4 5 6

2 3 2 3

1 4 5 6

,

23 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i i

i i i i

i i i i

I I I I



   

  

 

    

 

 



44

  

 

     

2 4 1 3 5 6

2 4 2 4

1 3 5 6

,

24 2 4

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i i

i i i i

i i i i

I I I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

2 5 1 3 4 6

2 5 2 5

1 3 4 6

,

25 2 5

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i i

i i i i

i i i i

I I I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

2 6 1 3 4 5

2 6 2 6

1 3 4 5

,

26 2 6

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i i

i i i i

i i i i

I I I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

3 4 1 2 5 6

3 4 3 4

1 2 5 6

,

34 3 4

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i i

i i i i

i i i i

I I I I



   

  

 

    

 

 



  

 

     

3 5 1 2 4 6

3 5 3 5

1 2 4 6

,

35 3 5

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i i

i i i i

i i i i

I I I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

3 6 1 2 4 5

3 6 3 6

1 2 4 5

,

36 3 6

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i i

i i i i

i i i i

I I I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

4 5 1 2 3 6

4 5 4 5

1 2 3 6

,

45 4 5

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i i

i i i i

i i i i

I I I I



 ^   

 

 

    

 

 



45

  

 

     

4 6 1 2 3 5

4 6 4 6

1 2 3 5

,

46 4 6

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i i

i i i i

i i i i

I I I I



 ^   

 

 

    

 

 



  

 

     

5 6 1 2 3 4

5 6 5 6

1 2 3 4

,

56 5 6

ˆ ˆ ˆ ˆ

log

i i i i i i

i i i i

i i i i

I I I I



 ^   

 

 

    

 

 



3;

  j

 

  

 

                 

1 2 3 4 5 6

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

4 5 6

,

123 1 2 3 12 13 23

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

1 2 4 3 5 6

1 2 4 1 2 4 1 2 1 4 2 4

3 5 6

,

124 1 2 4 12 14 24

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

1 2 5 3 4 6

1 2 5 1 2 5 1 2 1 5 2 5

3 4 6

,

125 1 2 5 12 15 25

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

1 2 6 3 4 5

1 2 6 1 2 6 1 2 1 6 2 6

3 4 5

,

126 1 2 6 12 16 26

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



46

  

 

                 

1 3 4 2 5 6

1 3 4 1 3 4 1 3 1 4 3 4

2 5 6

,

134 1 3 4 13 14 34

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

1 3 5 2 5 6

1 3 5 1 3 5 1 3 1 5 3 5

2 5 6

,

135 1 3 5 13 15 35

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

1 3 6 2 4 5

1 3 6 1 3 6 1 3 1 6 3 6

2 4 5

,

136 1 3 6 13 16 36

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

1 4 5 2 3 6

1 4 5 1 4 5 1 3 1 5 4 5

2 3 6

,

145 1 4 5 14 15 45

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

1 4 6 2 3 5

1 4 6 1 4 6 1 4 1 6 4 6

2 3 5

,

146 1 4 6 14 16 46

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

1 5 6 2 3 4

1 5 6 1 5 6 1 5 1 6 5 6

2 3 4

,

156 1 5 6 15 16 56

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

2 3 4 1 5 6

2 3 4 2 3 4 2 3 1 4 3 4

1 5 6

,

234 2 3 4 23 24 34

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

2 3 5 1 4 6

2 3 5 2 3 5 2 3 1 5 3 5

1 4 6

,

235 2 3 5 23 25 35

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



47

  

 

                 

2 3 6 1 4 5

2 3 6 2 3 6 2 3 1 6 3 6

1 4 5

,

236 2 3 6 23 26 36

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

2 4 5 1 3 6

2 4 5 2 4 5 2 4 1 5 4 5

1 3 6

,

245 2 4 5 24 25 45

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

2 4 6 1 3 5

2 4 6 2 4 6 2 4 2 6 4 6

1 3 5

,

246 2 4 6 24 26 46

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

2 5 6 1 3 4

2 5 6 2 5 6 2 5 2 6 5 6

1 3 4

,

256 2 5 6 25 26 56

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

3 4 5 1 2 6

3 4 5 3 4 5 3 4 3 5 4 5

1 2 6

,

345 3 4 5 34 35 45

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

3 4 6 1 2 5

3 4 6 3 4 6 3 4 3 6 4 6

1 2 5

,

346 3 4 6 34 36 46

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

3 5 6 1 2 4

3 5 6 3 5 6 3 5 3 6 5 6

1 2 4

,

356 3 5 6 35 36 56

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



  

 

                 

4 5 6 1 2 3

4 5 6 4 5 6 4 5 4 6 5 6

1 2 3

,

456 4 5 6 45 46 56

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i

I I I



 ^       

 

 

        

 

 



48 4;

  j

 

  

 

                       

                

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3

5 6

2 4 3 4 1 2 3 1 2 4 1 3 4

,

1234 1 2 3 4 12 13 14 23

24 34 123 124 134 234

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i i i i i i

I I



         

     

  

 

          

 

 

     



i i i2 3 4

  

 

                       

              

1 2 3 5 4 6

1 2 3 5 1 2 3 5 1 2 1 3 1 5 2 3

4 6

2 5 3 5 1 2 3 1 2 5 1 3 5

,

1235 1 2 3 5 12 13 15 23

25 35 123 125 135

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i i i i i i

I I



         

     

  

 

          

 

 

     



 235 i i i2 3 5

  

 

                       

              

1 2 3 6 4 5

1 2 3 5 1 2 3 6 1 2 1 3 1 6 2 3

4 5

2 6 3 6 1 2 3 1 2 6 1 3 6

,

1235 1 2 3 6 12 13 16 23

26 36 123 126 136

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i i i i i i

I I



         

    

  

 

          

 

 

     



 236 2 3 6

ˆ _{i i i}



  

 

                       

             

1 2 4 5 3 6

2 3 4 5 1 2 4 5 1 2 1 4 1 5 2 4

3 6

2 5 4 5 1 2 4 1 2 5 1 4

,

2345 1 2 4 5 12 14 15 24

25 45 124 125 145

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i i i i i i

I I



         

    

  

 

          

 

 

    



 5ˆ 245 _{i i i}2 4 5

49

  

 

                       

              

1 2 4 6 3 5

2 3 4 6 1 2 4 6 1 2 1 4 1 6 2 4

3 5

2 6 4 6 1 2 4 1 2 6 1 4 6

,

2346 1 2 4 6 12 14 16 24

26 46 124 126 145 2

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i i i i i i

I I



         

     

  

 

          

 

 

     



 45 i i i2 4 6

  

 

                       

                

1 2 5 6 3 4

2 3 5 6 1 2 5 6 1 2 1 5 1 6 2 5

3 5

2 6 5 6 1 2 5 1 2 6 1 5 6 2

,

2356 1 2 5 6 12 15 16 25

26 56 124 126 145 245

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i i i i i i i

I I



         

     

  

 

          

 

 

     



 i i5 6

  

 

                       

                

1 3 4 5 2 6

1 3 4 5 1 3 4 5 1 3 1 4 1 5 3 4

2 6

3 5 4 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 3

,

1345 1 3 4 5 13 14 15 34

35 45 134 135 145 345

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i i i i i i i i

I I



         

     

  

 

          

 

 

     



 4 5i

  

 

                       

              

1 3 4 6 2 5

1 3 4 6 1 3 4 6 1 3 1 4 1 6 3 4

2 5

3 6 4 6 1 3 4 1 3 6 1 4 6

,

1346 1 3 4 6 13 14 16 34

36 46 134 136 146

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i i i i i i

I I



         

     

  

 

          

 

 

     



 346 i i i3 4 6

50

  

 

                       

              

1 3 5 6 2 4

1 3 5 6 1 3 5 6 1 3 1 5 1 6 3 5

2 4

3 6 5 6 1 3 5 1 3 6 1 5 6

,

1356 1 3 5 6 13 15 16 35

36 56 135 136 156 35

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i i i i i i

I I



         

     

  

 

          

 

 

     



 6 i i i3 5 6

  

 

                       

                

1 4 5 6 2 4

1 4 5 6 1 4 5 6 1 4 1 5 1 6 4 5

2 3

4 6 5 6 1 4 5 1 4 6 1 5 6 4 5

,

1456 1 4 5 6 14 15 16 45

46 56 145 146 156 456

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

I I



         

     

  

 

          

 

 

     



 6

  

 

                       

                

2 3 4 5 1 6

2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 2 4 2 5 3 4

1 6

3 5 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3

,

2345 2 3 4 5 23 24 25 34

35 45 234 235 245 345

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i i i i i i i

I I



         

     

  

 

          

 

 

     



 i i4 5

  

 

                 

                      

2 3 4 5 1 6

2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 2 4

1 6

2 5 3 4 3 5 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3

,

2345 2 3 4 5 23 24

25 34 35 45 234 235 245 345

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

I I



       

       

  

 

        

 

 

       



 4 5i

  

 

                       

                

2 3 4 6 1 5

2 3 4 6 2 3 4 6 2 3 2 4 2 6 3 4

1 5

3 6 4 6 2 3 4 2 3 6 2 4 6

,

2346 2 3 4 6 23 24 26 34

36 46 234 236 246 346

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i i i i i i i

I I



         

     

  

 

          

 

 

     



3 4 6i i

51

  

 

                       

                

2 3 5 6 1 4

2 3 5 6 2 3 5 6 2 3 2 5 2 6 3 5

1 4

3 6 5 6 2 3 5 2 3 6 2 5 6 3

,

2356 2 3 5 6 23 25 26 35

36 56 235 236 256 356

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i i i i i i i i

I I



         

     

  

 

          

 

 

     



 5 6i

  

 

                       

                

3 4 5 6 1 2

1 4 5 6 3 4 5 6 3 4 3 5 3 6 4 5

1 2

4 6 5 6 3 4 5 3 4 6 3 5 6 4

,

1456 3 4 5 6 34 35 36 45

46 56 345 346 356 456

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i i

i i i i i i i i i i i i i i

I I



         

     

  

 

          

 

 

     



 i i5 6

  

 

                    

                       

1 2 3 4 5 6

4

1 2 3 4 5 1 2 3 5 1 2 1 3

6

1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5

,

12345 1 2 3 4 5 12 13

14 15 23 24 25 34 35 45

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

-

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i

i

i i i i i i i i i i i i i i i i

I



        

       

  

 

         

 

 

     



 123 1 2 3  1241 2 4  125 1 2 5  135 1 3 5  234 2 3 4  235 2 3 5

ˆ ˆ ˆ ˆ

 _{i i i}  _{i i i}  _{i i i}  _{i i i}  _{i i i}  _{i i i}

  

 

                 

                       

1 2 3 4 6 5

1 2 3 4 6 1 2 3 4 6 1 2

5

1 4 2 4

1 3 1 6 2 3 2 6 3 4 3 6

,

12346 1 2 3 4 6 12

13 14 16 23 24 26 34 36

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

-

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i

i i i i

i i i i i i i i i i i i

I



       

       

  

 

        

 

 

     



  46 4 6 ˆ 123 1 2 3 ˆ  1241 2 4 ˆ 126 1 2 6 ˆ 136 1 3 6 ˆ  234 2 3 4 ˆ 236 2 3 6

 _{i i}  _{i i i}  _{i i i}  _{i i i}  _{i i i}  _{i i i}  _{i i i}

52

  

 

                    

                      

1 2 3 5 6 4

1 2 3 5 6 1 2 3 5 6 1 2 1 3

4

1 5 1 6 2 3 2 5 2 6 3 5 3 6

,

12356 1 2 3 5 6 12 13

15 16 23 25 26 35 36 56

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

-

-i -i -i -i -i i

i i i i i i i i i i i i i i

i

i i i i i i i i i i i i i i i

I



        

       

  

 

         

 

 

     



 

                 

5 6

1 2 3 1 2 5 1 2 6 1 3 6 2 3 5 2 3 6

123 125 126 136 235 236

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

i

i i i i i i i i i i i i i i i i i i

     

     

  

 

                 

                    

1 2 4 5 6 3

1 2 4 5 6 1 2 4 5 6 1 2

3

1 4

1 4 1 6 2 4 2 5 2 6 3 5

,

12456 1 2 4 5 6 12

14 15 16 24 25 26 35

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

-

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i

i i

i i i i i i i i i i i i

I



       

      

  

 

        

 

 

    



                  

           

3 6 5 6 1 2 4 1 2 5 1 2 6 1 4 5

1 5 6 2 4 5 2 4 6 4 5 6

36 56 124 125 126 145

146 245 246 456

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

-i -i i i i i i i i i i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

     

   

     

  

  

 

                 

                    

1 3 4 5 6 2

1 3 4 5 6 1 3 4 5 6 1 3

2

1 4 1 5 1 6 2 4 3 4 3 5 3 6

,

13456 1 3 4 5 6 13

14 15 16 24 34 35 36

ˆ log ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

- -

i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i

i i i i i i i i i i i i i i

I



       

      

  

 

        

 

 

   



                 

              

4 6 4 6 5 6 1 3 4 1 3 5 1 3 6

1 4 5 1 4 6 3 4 5 3 4 6 4 5 6

45 46 56 134 135 136

145 146 345 346 456

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

i i i i i i i i i i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i

     

    

     

    

3.2 THE ALGORITHMS FOR ESTIMATION OF PARAMETERS AND BEST

MODEL FITS OF LOG LINEAR MODELS FOR q -dimensional CONTINGENCY TABLE USING THE ITERATIVE PROPORTIONAL FITTING PROCEDURE

A) Given a set of observed data with variables say (2, 3 , …,q)

B) Assuming 2- dimensional contingency table of two variables with

1 2

I I_{i i} categories of level.

C) Step 1: Estimating parameters of 2-dimension as follows

53

1 2 1 2

1 2

ˆ log (3.3.1) I I

i i i i

i i





 

 

  

 

 



 

1 2 1

2

.

ˆ1 ˆ

log - (3.3.2) I

i i i

i



 

 

 

  

 

 



^{ }

2 1 2

1

.

ˆ2 ˆ

log - (3.3.3) I

i i i

i



 

 

 

  

 

 



D) Step 2: Using Iterative proportional fitting (IPF) we compute the parameter estimates iteratively for (3.3.1 to 3.3.3)

E) Step 3: Estimate expected frequencies for 2-dimension

m_{i i}^{1 2}  ( +e  ˆ ˆ^{1 }_i¹ ˆ^{2 }_i² ) (3.3.5) m_{i i}^{1 2}  (e ˆ^{1 }_i¹ ˆ^{2 }_i² +ˆ^{12 }_{i i}^{1 2} ) (3.3.6)

F) Step 4 :We estimate expected counts estimates iteratively for (3.3.5 -3.3.6) using Iterative proportional method

model _{   }

1 2

1 2

ˆ ˆ ˆ

loglm( +  _i  _i ) (3.3.7)

 

model _{     }

1 2 1 2

1 2 12

ˆ ˆ ˆ ˆ

loglm( +  _i  _i + _{i i} ) (3.3.8)

 

(G) Step 5: Model fits of (3.3.7 to 3.3.8) will be estimated as well iteratively using IPF

H) 3-dimension of three variables with categories of levels

1 2 3

I , I , Ii i i

I) Step 6: calculate Parameters estimates as follows

1 2 3 1 2 3

1 2 3

= logˆ (3.3.9) I I I

i i i i i i

i i i





 

 

 

 

 



54

 

1 2 3 1

2 3

..

ˆ1

log (3.4.0) I I

i i i i

i i





 

 

  

 

 



 

2 1 3 2

1 3

. .

ˆ2 log - (3.4.1)ˆ I I

i i i i

i i



 

 

 

  

 

 



 

3 1 2 3

1 2

..

ˆ3 ˆ

log - (3.4.2) I I

i i i i

i i



 

 

 

  

 

 



     

1 2 3

1 2 1 2

3

.

12 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

log - - (3.4.3) I

i i i

i i i i

i



   

 

 

   

 

 



_{     }

1 3 2

1

1 3 3

2

.

1

13 3

ˆ ˆ ˆ ˆ

log - (3.4.4) I

i i i

i

i i i

i



   

 

 

    

 

 



J) Step 7: We compute the parameter estimates using IPF for (3.3.9 - 3.4.4) K) step 8: We Estimate expected counts of 3-dimensional contingency table



m_{i i i}^{1 2 3}



e



 ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3



(3.4.5)ˆ



^{2 3}

 

ˆ ˆ1 1 ˆ2 2 ˆ3 3 ˆ13 1 3



(3.4.6)

i i ii i i i i i

m e     



m_{i i i}^{1 2 3}



e



 ˆ ˆ1 _i ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ12_{i i}1 2



(3.4.7)



m_{i i i}1 2 3



e



 ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ23_{i i}2 3



(3.4.8)



m_{i i i}1 2 3



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ12 _{i i}1 2 ˆ13 _{i i}1 3 ) (3.4.9)

55



m_{i i i}1 2 3



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ12 _{i i}1 2 ˆ23 _{i i}2 3 ) (3.5.0)

 

m_{i i i}1 2 3 e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ13 _{i i}1 3 ˆ23 _{i i}2 3 ) (3.5.1)

 

m_{i i i}1 2 3 e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ12 _{i i}1 2 ˆ13 _{i i}1 3 ˆ23 _{i i}2 3 ) (3.5.2)

 

m_{i i i1 2 3} e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ12 _{i i1 2} ˆ13 _{i i1 3} ˆ23 _{i i2 3} ˆ123_{i i i1 2 3}) 3.5.3

 

L) Step 9: We estimate the expected frequencies estimates iteratively for (3.4.5- 3.5.3) using IPF

M) Step 10: Model fits estimates will be iteratively done using IPF as shown in (3. 5.4 -3.7.4)

model logml



 ˆ ˆ1_{ i}1 ˆ2_{ i}2 ˆ3_{ i}3



(3.5.4)

modelloglm



 ˆ ˆ1^{ }_i1 ˆ2^{ }_i2 ˆ3^{ }_i3 ˆ13^{ }_{i i}1 3



(3.5.5)

modelloglm



 ˆ ˆ1^{ }_i1 ˆ2^{ }_i2 ˆ3^{ }_i3 ˆ12^{ }_{i i}1 2



(3.5.6)

modelloglm



 ˆ ˆ1^{ }_i1 ˆ2^{ }_i2 ˆ3^{ }_i3 ˆ23^_{i i}2 3^



(3.5.7)

_{         }

1 2 3 1 2 1 3

1 2 3 12 13

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i} ) (3.5.8)

_{         }

1 2 3 1 2 2 3

1 2 3 12 23

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i} ) (3.5.9)

 1  2  3  1 3  2 3

1 2 3 13 23

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

model loglm(   _i  _i  _i  _{i l}  _{i i} ) (3.6.0)

_{             }

1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3

1 2 3 12 13 23 123

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

model loglm(   _i  _i  _i  _{i i}  _{i i}  _{i i}  _{i i i} ) ( 3.6.1)

N) Step 11: We calculate 4-dimensional estimating parameters as follows

56

1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4

ˆ log (3.6.2) I I I I

i i i i i i i i

i i i i





 

 

  

 

 



_{ }

1 2 3 4 1

2 3 4

...

ˆ1 log - (3.6.2)ˆ I I I

i i i i i

i i i



 

 

 

  

 

 



_{ }

2 1 3 4 2

1 3 4

. ..

ˆ2 log - (3.6.3)ˆ I I I

i i i i i

i i i



 

 

 

  

 

 



_{ }

3 124 3

1 2 4

.. .

ˆ3 log - (3.6.4)ˆ I I I

i i i i i

i i i



 

 

 

  

 

 



_{ }

4 1 2 3 4

1 2 3

...

ˆ4 log - (3.6.5) ˆ I I I

i i i i i

i i i



 

 

 

  

 

 



     

1 2 1 2

1 2 1 2

3 4

..

12 1 2

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ (3.6.6) I I

i i i i

i i i i

i i



   

 

 

  

 

 



     

1 3 2 4

1

1 3 3

2 4

. .

1

13 3

ˆ ˆ ˆ ˆ

log - - - (3.6.7) I I

i i i i

i

i i i

i i



   

 

 

  

 

 



57

     

1 4 2 3

1 4 1 4

2

..

14 1 4

ˆ ˆ ˆ ˆ

log - - - (3.6.8) I

i i i i

i i i i

i



   

 

 

  

 

 



     

2 3 1 4

2

2 3 3

1 4

. .

2

23 3

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ (3.6.9) I I

i i i i

i

i i i

i i



   

 

 

  

 

 



     

1 4

2 3

2 4 2 4

2 3

..

24 2 4

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ (3.7.0) I I

i i

i i

i i i i

i i



   

 

 

  

 

 



             

1 2 3 4

1 2 1 2

1 2 3 3 1 3 2 3

4

.

1 2 12

123 3 13 23

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ (3.7.1)

I

i i i i

i i i i

i i i i i i i i

i



       

 

 

  

 

 



             

1 2 4 3

1 2 4 1 2 4 1 2 1 4 2 4

3

.

124 1 2 4 12 14 24

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ (3.7.1)

I

i i i i

i i i i i i i i i i i i

i



       

 

 

  

 

 



             

1 3 4 4

1 4 1 4

1 3 4 3 1 3 3 4

4

.

1 4 14

134 3 13 34

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ - ˆ -ˆ -ˆ - ˆ (3.7.2)

I

i i i i

i i i i

i i i i i i i i

i



       

 

 

  

 

 



58

             

2 3 4 1

2 4 2 4

2 3 4 3 2 3 3 4

1

.

2 4 24

234 3 23 34

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ (3.7.3)

I

i i i i

i i i i

i i i i i i i i

i



       

 

 

  

 

 



O) Step 12: We compute the parameter estimates using IPF for (3.6.2 -3.7.3)

P) Step 13: Estimates of expected counts of 4-dimensional data is done iteratively using IPF for (3.7.4- 3.9.9)



m_{i i i i}1 2 3 4



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 +ˆ4 _i4 ) (3.7.4)



1 2 3 4



ˆ ˆ1 1 ˆ2 2 ˆ3 3 ˆ4 4 ˆ14 1 4

m_{i i i i} e(  _i  _i  _i  _i  _{i i} ) (3.7.5)



1 2 3 4



ˆ ˆ1 1 ˆ2 2 ˆ3 3 ˆ4 4 ˆ121 2

m_{i i i i} e(  _i  _i  _i  _i  _{i i} ) (3.7.6)



1 2 3 4



ˆ ˆ1 1 ˆ2 2 ˆ3 3 ˆ4 4 ˆ131 4

m_{i i i i} e(  _i  _i  _i  _i  _{i i} ) (3.7.7)



m_{i i i i}1 2 3 4



e(ˆ ˆ1 _i ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ23_{i i}2 4) (3.7.8)



m_{i i i i}1 2 3 4



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ24_{i i}2 4) (3.7.9)



12 3 4



ˆ ˆ1 1 ˆ2 2 ˆ3 3 ˆ4 4 ˆ343 4

m_{i i i i} e( _i  _i  _i  _i  _{i i} ) (3.8.0)



1 2 3 4



ˆ ˆ1 1 ˆ2 2 ˆ3 3 ˆ12 1 2 ˆ14 1 4 ˆ12 1 2

m_{i i i i} e(  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i}  _{i i} ) (3.8.1)



m_{i i i i}1 2 3 4



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ14_{i i}1 4 ˆ13 _{i i}1 3 ) (3.8.2)



m_{i i i i}1 2 3 4



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ14_{i i}1 4 ˆ23_{i i}2 3) (3.8.3)



m_{i i i i}1 2 3 4



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ14_{i i}1 4 ˆ24_{i i}2 4) (3.8.4)



m_{i i i i}1 2 3 4



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ14 _{i i}1 4 ˆ12 _{i i}1 2 ˆ13 _{i i}1 3 ) (3.8.5)

59



m_{i i i i}1 2 3 4



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ14 _{i i}1 4 ˆ12 _{i i}1 2 ˆ23_{i i}2 3) (3.8.6)



m_{i i i i}1 2 3 4



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ12 _{i i}1 2 ˆ14 _{i i}1 4 ˆ24_{i i}2 4) (3.8.7)



m_{i i i i}1 2 3 4



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ12 _{i i}1 2 ˆ14 _{i i}1 4 ˆ34 _{i i}3 4 ) (3.8.8)



m_{i i i i}1 2 3 4



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ14_{i i}1 4ˆ123_{i i i}1 2 3) (3.8.9)



m_{i i i i}1 2 3 4



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ14_{i i}1 4 ˆ124_{i i i}1 2 4) (3.9.0)



m_{i i i i}1 2 3 4



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ14_{i i}1 4 ˆ134_{i i i}1 3 4) (3.9.1)



m_{i i i i}1 2 3 4



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ14_{i i}1 4 ˆ234_{i i i}2 3 4) (3.9.2)



m_{i i i i}1 2 3 4



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ14 _{i i}1 4 ˆ123_{i i i}1 2 3 ˆ124_{i i i}1 2 4) (3.9.3)



m_{i i i i}1 2 3 4



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ14 _{i i}1 4 ˆ123_{i i i}1 2 3 ˆ134_{i i i}1 3 4) (3.9.4)



m_{i i i i}1 2 3 4



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ14 _{i i}1 4 ˆ123_{i i i}1 2 3 ˆ234_{i i i}2 3 4) (3.9.5)



m_{i i i i}1 2 3 4



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ14 _{i i}1 4 ˆ124_{i i i}1 2 4ˆ134_{i i i}1 3 4) (3.9.6)



m_{i i i i}1 2 3 4



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ14 _{i i}1 4 ˆ124_{i i i}1 2 4ˆ234_{i i i}2 3 4) (3.9.7)



m_{i i i i}1 2 3 4



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ14 _i4 ˆ134_{i i i}1 3 4ˆ234_{i i i}2 3 4) (3.9.8)



m_ijkl



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ14_{i i}1 4 ˆ1234_{i i i i}1 2 3 4) (3.9.9) Q) Step 14: We compute model fits estimates for (4.0.0 - 4.2.5) iteratively using IPF

60

_{       }

1 2 3 4

1 2 3 4

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i + _i ) (4.0.0)

 1  2  3  4  1 2

1 2 3 4 12

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

model loglm(  _i  _i  _i  _i  _{i i} ) (4.0.1)

 1  2  3  4  1 3

1 2 3 4 13

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

model loglm(  _i  _i  _i  _i  _{i i} ) (4.0.2)

_{         }

1 2 3 4 1 4

1 2 3 4 14

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

model loglm(  _i  _i  _i  _i  _{i i} ) (4.0.3)

 1  2  3  4 2 3

1 2 3 4 23

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _{i i} ) (4.0.4)

model loglm( ˆ ˆ^{1 }_i¹ ˆ^{2 }_i² ˆ^{3 }_i³ ˆ^{4 }_i⁴ ˆ^24_{i i}^{2 4}) (4.0.5)

_{         }

1 2 3 4 3 4

1 2 3 4 34

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _{i i} ) (4.0.6)

_{         }

1 2 3 1 2 1 4

1 2 3 12 14

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i} ) (4.0.7) model loglm( ˆ ˆ1_{ i}¹ ˆ2_{ i}² ˆ3_{ i}³ ˆ4_{ i}⁴ ˆ13 1³ ˆ14^{ }_{i i}^{1 4} ) (4.0.8)

      i i 

      

_{           }

1 2 3 4 1 4 2 3

1 2 3 4 14 23

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i} ) (4.0.9)

_{           }

1 2 3 4 1 4 2 4

1 2 3 4 14 24

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

model loglm(  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i} ) (4.1.0)

modelloglm( ˆ ˆ^{1 }_i¹ ˆ^{2 }_i² ˆ^{3 }_i³ ˆ^{4 }_i⁴ ˆ^{12 }_{i i}^{1 2} ˆ^{13 }_{i i}^{1 3} ˆ^{14 }_{i i}^{1 4} ) (4.1.1)

_{             }

1 2 3 4 1 4 1 2 2 3

1 2 3 4 14 12 23

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i}  _{i i} ) (4.1.2)

_{             }

1 2 3 4 1 4 1 2 2 4

1 2 3 4 14 12 24

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i}  _{i i} ) (4.1.3)

_{             }

1 2 3 4 1 4 1 2 3 4

1 2 3 4 14 12 34

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i}  _{i i} ) (4.1.4) model loglm(ˆ ˆ¹_{ i}¹ ˆ²_{ i}² ˆ³_{ i}³ ˆ⁴_{ i}⁴ ˆ¹⁴ ^{1 4} ˆ^123_{i i i}^{1 2 3}) (4.1.5)

      i i 

      

 1  2  3  4  1 4 1 2 3

1 2 3 4 14 124

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i i} ) (4.1.6)

 1  2  3  4  1 4 1 3 4

1 2 3 4 14 134

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i i} ) (4.1.7)

61

 1  2  3  4  1 4 2 3 4

1 2 3 4 14 234

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

model loglm(  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i i} ) (4.1.8)

 1  2  3  4  1 4 1 2 3 1 2 4

1 2 3 4 14 123 124

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

model loglm(  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i i}  _{i i i} ) (4.1.9)

 ¹  ²  ³  ^{4  1 4 1 2 3 1 3 4}

1 2 3 4 14 123 134

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

model loglm( _{i i i i i i i i i i i} ) (4.2.0)

     i   

       

 1  2  3  4  1 4 1 2 3 2 3 4

1 2 3 4 14 123 234

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i i}  _{i i i} ) (4.2.1)

 1  2  3  4  1 4 1 2 4 1 3 4

1 2 3 4 14 124 134

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i i}  _{i i i} ) (4.2.2)

 1  2  3  4  1 4 1 2 4 2 3 4

1 2 3 4 14 124 234

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i i}  _{i i i} ) (4.2.3)

 1  2  3  4  1 4 1 3 4 2 3 4

1 2 3 4 14 134 234

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i i}  _{i i i} ) (4.2.4)

 1  2  3  4  1 4 1 2 3 4

1 2 3 4 14 1234

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i i i} ) (4.2.5)

R) Step 15: 5-dimensional estimating parameters are as follows

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

ˆ log (4.2.6) I I I I I

i i i i i

i i i i i

i i i i i





 

 

  

 

 



 

1 2 3 4 5 1

2 3 4 5

...

ˆ1 ˆ

log - (4.2.7) I I I I

i i i i i i

i i i i



 

 

 

  

 

 



62 _{ }

2 1 3 4 5 2

1 3 5

. ...

2

4

ˆ log - (4.2.8)ˆ I I I I

i i i i i i

i i i



 

 

 

  

 

 



 

3 1 2 4 5 3

1 2 5

.. ..

3

4

ˆ log - (4.2.9)ˆ I I I I

i i i i i i

i i i



 

 

 

  

 

 



 

4 1 2 3 5 4

1 2 3 5

... .

ˆ4 log - (4.3.0) ˆ I I I I

i i i i i i

i i i i



 

 

 

  

 

 



_{ }

5 1 2 3 4 5

1 2 3 5

....

ˆ5 log - (4.3.1)ˆ I I I I

i i i i i i

i i i i



 

 

 

  

 

 



_{     }

1 2 3 4 5

1 2 1 2

3 4 5

...

12 1 2

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ (4.3.2) I I I

i i i i i

i i i i

i i i



   

 

 

  

 

 



_{     }

1 3 2 4 5

1

1 3 3

2 4 5

. ..

1

13 3

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ (4.3.3) I I I

i i i i i

i

i i i

i i i



   

 

 

  

 

 



_{     }

1 4 2 3 5

1 4 1 4

2 3 4

.. .

14 1 4

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ (4.3.4) I I I

i i i i i

i i i i

i i i



   

 

 

  

 

 



63

_{     }

1 5

2 3 4

1

1 5 5

2 3 4

...

1

15 5

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ (4.3.5) I I I

i i

i i i

i

i i i

i i i



   

 

 

  

 

 



_{     }

2 3 1 4 5

2

2 3 3

1 4 5

. ..

2

23 3

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ (4.3.6) I I I

i i i i i

i

i i i

i i i



   

 

 

  

 

 



_{     }

2 4 1 3 5

2 4 2 4

1 3 5

. . .

24 2 4

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ (4.3.7) I I I

i i i i i

i i i i

i i i



   

 

 

  

 

 



     

2 5

1 3 4

2

2 5 5

1 3 5

. ..

2

25 5

ˆ ˆ ˆ ˆ

log - - - (4.3.8)

I I I

i i

i i i

i

i i i

i i i



   

 

 

  

 

 



     

3 4 1 2 3

4

3 4 3

1 2 3

.. .

4

34 3

ˆ ˆ ˆ ˆ

log - - - (4.3.9)

I I I

i i i i i

i

i i i

i i i



   

 

 

  

 

 



_{     }

3 5 1 2 4

3 5 3 5

1 2 4

.. .

35 3 5

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ (4.4.0)

I I I

i i i i i

i i i i

i i i



   

 

 

  

 

 



     

4 5 1 2 3

4

4 5 5

1 2 3

...

4

45 5

ˆ ˆ ˆ ˆ

log - - - (4.4.1) I I I

i i i i i

i

i i i

i i i



   

 

 

  

 

 



64

             

1 2 3 4 5

1 2 1 2

1 2 3 3 1 3 2 3

4 5

..

1 2 12

123 3 13 23

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ (4.4.2) I I

i i i i i

i i i i

i i i i i i i i

i i



       

 

 

  

 

 



             

1 2 4 3 5

1 2 4 1 2 4 1 2 1 4 2 4

3 5

. .

124 1 2 4 12 14 24

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ (4.4.3) I I

i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i



       

 

 

  

 

 



_{             }

1 2 5 3 4

1 2 4 1 2

1 2 5 1 5 2 5

3 4

..

1 2 4 12

125 15 25 (4.4.4)

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ

I I

i i i i i

i i i i i

i i i i i i i

i i



       

 

 

  

 

 



_{             }

1 3 4 2 5

1 3 4 1 3 1 4 3 4

2 5

. .

134 1 3 4 13 14 34

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ (4.4.5) I I

i i i i i

ikl i i i i i i i i i

i i



       

 

 

  

 

 



_{             }

1 3 2 4

1 4

1 3 5 3 1 3 1 5 3 5

2 4

. .

1 4

135 3 13 15 35

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ (4.4.6) I I

i i im

i i

i i

i i i i i i i i i i

i i



       

 

 

  

 

 



_{             }

1 4 5 2 3

1 4 1 4

1 4 5 3 1 5 4 5

2 3

..

1 4 14

145 3 15 45

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ (4.4.7) I I

i i i i i

i i i i

i i i i i i i i

i i



       

 

 

  

 

 



_{             }

2 3 5 1 5

1 4 2 4

2 3 4 3 2 3 3 4

2 5

. .

1 4 24

234 3 23 34

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ (4.4.8) I I

i i i i i

i i i i

i i i i i i i i

i i



       

 

 

  

 

 



             

2 3 5 1 4

1 4

2 3 5 3 2 3 2 5 3 5

1 4

. .

1 4

235 3 23 25 35

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ (4.4.9) I I

i i i i i

i i

i i i i i i i i i i

i i



       

 

 

  

 

 



             

2 4 5 1 3

1 4 2 4

2 4 5 3 2 5 4 5

1 3

. .

1 4 24

245 3 25 45

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ (4.5.0) I I

i i i i i

i i i i

i i i i i i i i

i i



       

 

 

  

 

 



65

_{             }

3 4 5 1 2

1 4

3 4 5 3 3 4 3 5 4 5

1 2

..

1 4

345 3 34 35 45

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ (4.5.1) I I

i i i i i

i i

i i i i i i i i i i

i i



       

 

 

  

 

 



                     

1 2 3 4 5

1 2 4 1 2 1 4 2 4

1 2 3 4 3 1 3 2 3 3 4

5

.

1 2 4 12 14 24

1234 3 13 23 34

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ (4.5.2)

I

i i i i i

i i i i i i i i i

i i i i i i i i i i i

i



           

 

 

  

 

 



                     

1 2 3 5 4

1 2 1 2

1 2 3 5 3 5 1 3 1 5 2 3 2 5 3 5

4

.

1 2 12

1235 3 5 13 15 23 25 35

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

log - - - - - - (4.5.3)

I

i i i i i

i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i



           

 

 

  

 

 



                   

1 2 4 5 3

2 4 1 2 1 4 2 4

1 2 4 5 1 5 2 5 4 5

3

.

1 2 4 12 14 24

1245 15 25 45

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ (4.5.4) I

i i i i i

i i i i i i i i i

i i i i i i i i i i

i



          

 

 

  

 

 



                   

1 3 4 5 2

1 4 1 4

1 3 4 5 3 1 3 1 5 3 4 3 5 4 5

2

.

1 4 14

1345 3 13 15 34 35 45

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ (4.5.5)

I

i i i i i

i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i

i



          

 

 

  

 

 



                     

2 3 4 5 1

2 4 2 4

2 3 4 5 3 5 2 3 2 5 3 4 3 5 4 5

1

.

2 4 24

2345 3 5 23 25 34 35 45

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ -ˆ (4.5.6)

I

i i i i i

i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i

i



           

 

 

  

 

 



S) Step 16: We compute the parameter estimates using IPF for (4.2.6 4.5.6)

66 T) Step 17: We compute estimates of expected frequencies of 5-dimensional contingency data for (4.5.7- 5.1.3) using IPF



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 +ˆ4 _i4 +ˆ5 _i5 ) (4.5.7)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ12_{i i}1 2) (4.5.8)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ13 _{i i}1 3 ) (4.5.9)



1 2 3 4 5



ˆ ˆ1 1 ˆ2 2 ˆ3 3 ˆ4 4 ˆ5 5 ˆ141 4

m_{i i i i i} e(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i} ) (4.6.0)



1 2 3 4 5



ˆ ˆ1 1 ˆ2 2 ˆ3 3 ˆ4 4 ˆ5 5 ˆ151 5

m_{i i i i i} e(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i} ) (4.6.1)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ23_{i i}2 3) (4.6.2)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ24_{i i}2 4) (4.6.3)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ25_{i i}2 5) (4.6.4)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ34_{i i}3 4) (4.6.5)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ35_{i i}3 5) (4.6.6)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 3 _i3 4 _i4 5 _i5 45_{i i}4 5) (4.6.7)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ12 _{i i}1 2 ˆ15 _{i i}1 5 ) (4.6.8)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ13 _{i i}1 3 ˆ15 _{i i}1 5 ) (4.6.9)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ14 _{i i}1 4 ˆ15 _{i i}1 5 ) (4.7.0)

67



1 2 3 4 5



ˆ ˆ1 1 ˆ2 2 ˆ3 3 ˆ4 4 ˆ5 5 ˆ15 1 5 ˆ23 2 3

m_{i i i i i} e(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i} ) (4.7.1)



1 2 3 4 5



ˆ ˆ1 1 ˆ2 2 ˆ3 3 ˆ4 4 ˆ5 5 ˆ15 1 5 ˆ24 2 4

m_{i i i i i} e(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i} ) (4.7.2)



1 2 3 4 5



ˆ ˆ1 1 ˆ2 2 ˆ3 3 ˆ4 4 ˆ5 5 ˆ15 1 5 ˆ25 2 5

m_{i i i i i} e(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i} ) (4.7.3)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ15 _{i i}1 5 ˆ34 _{i i}3 4 ) (4.7.4)



1 2 3 4 5



ˆ ˆ1 1 ˆ2 2 ˆ3 3 ˆ4 4 ˆ5 5 ˆ15 1 5 ˆ35 3 5

m_{i i i i i} e(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i} ) (4.7.5)



1 2 3 4 5



ˆ ˆ1 1 ˆ2 2 ˆ3 3 ˆ4 4 ˆ5 5 ˆ15 1 5 ˆ45 4 5

m_{i i i i i} e(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i} ) (4.7.6)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ15 _{i i}1 5 ˆ12 _{i i}1 2 ˆ23 _{i i}2 3 ) (4.7.7)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ15 _{i i}1 5 ˆ13 _{i i}1 3 ˆ23 _{i i}2 3 ) (4.7.8)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ15 _{i i}1 5 ˆ14 _{i i}1 3 ˆ23 _{i i}2 3 ) (4.7.9)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ15 _{i i}1 5 ˆ23 _{i i}2 3 ˆ24_{i i}2 4) (4.8.0)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ15 _{i i}1 5 ˆ23 _{i i}2 3 ˆ25 _{i i}2 5 ) (4.8.1)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ15 _{i i}1 5 ˆ23 _{i i}2 3 ˆ34 _{i i}3 4 ) (4.8.2)

68



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ15 _{i i}1 5 ˆ23 _{i i}2 3 ˆ35 _{i i}3 5 ) (4.8.3)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ15 _{i i}1 5 ˆ23 _{i i}2 3 ˆ45 _{i i}4 5 ) (4.8.4)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ15 _{i i}1 5 ˆ23 _{i i}2 3 ˆ45_{i i}4 5) (4.8.5)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ15 _{i i}1 5 ˆ23 _{i i}2 3 ˆ12 _{i i}1 2 ˆ13 _{i i}1 3 ) (4.8.6)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ15 _{i i}1 5 ˆ23 _{i i}2 3 ˆ12 _{i i}1 2 ˆ14 _{i i}1 4 ) (4.8.7)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ15 _{i i}1 5 ˆ23 _{i i}2 3 ˆ12 _{i i}1 2 ˆ24 _{i i}2 4 ) (4.8.8)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ15 _{i i}1 5 ˆ23 _{i i}2 3 ˆ12 _{i i}1 2 ˆ25 _{i i}2 5 ) (4.8.9)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ15 _{i i}1 5 ˆ23 _{i i}2 3 ˆ12 _{i i}1 2 ˆ34 _{i i}3 4 ) (4.9.0)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ15 _{i i}1 5 ˆ23 _{i i}2 3 ˆ12 _{i i}1 2 ˆ35 _{i i}3 5 ) (4.9.1)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ15 _{i i}1 5 ˆ23 _{i i}2 3 ˆ12 _{i i}1 2 ˆ45 _{i i}4 5 ) (4.9.2)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ123_{i i i}1 2 3) (4.9.3)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ124_{i i i}1 2 4) (4.9.4)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ125_{i i i}1 2 5) (4.9.5)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ134_{i i i}1 3 4) (4.9.6)

69



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ145_{i i i}1 4 5) (4.9.7)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ234_{i i i}2 3 4) (4.9.8)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ235_{i i i}2 3 5) (4.9.9)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ245_{i i i}2 4 5) (4.5.0)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ345_{i i i}3 4 5) (5.0.1)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ1234_{i i i i}1 2 3 4) (5.0.2)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ1235_{i i i i}1 2 3 5) (5.0.3)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ1245_{i i i i}1 2 4 5) (5.0.4)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ1345_{i i i i}1 3 4 5) (5.0.5)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ2345_{i i i i}2 3 4 5) (5.0.6)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ1234_{i i i i}1 2 3 4ˆ1235_{i i i i}1 2 3 5) (5.0.7)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ1234_{i i i i}1 2 3 4ˆ1245_{i i i i}1 2 4 5) (5.0.8)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ  ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _i5 ˆ1234_{i i i i}1 2 3 4ˆ1345_{i i i i}1 3 4 5) (5.0.9)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _m ˆ1235_{i i i i}1 2 3 5ˆ1245_{i i i i}1 2 4 5) (5.1.0)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _m ˆ1235_{i i i i}1 2 3 5ˆ1345_{i i i i}1 3 4 5) (5.1.1)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _m ˆ1235_{i i i i}1 2 3 5ˆ2345_{i i i i}2 3 4 5) (5.1.2)

70



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _m ˆ1245_{i i i i}1 2 4 5 ˆ2345_{i i i i}2 3 4 5) (5.1.3)



m_{i i i i i}1 2 3 4 5



e( ˆ ˆ1 _i1 ˆ2 _i2 ˆ3 _i3 ˆ4 _i4 ˆ5 _m ˆ1345_{i i i i}1 3 4 5ˆ2345_{i i i i}2 3 4 5) (5.1.4)

U) Step 18: We compute model fits estimates for (5.1.5 – 5.7.3) using IPF

 1  2  3  4  5

1 2 3 4 5

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

model loglm(

 

 _i 



_i 



_i +



_i +



_i ) (5.1.5)

modelloglm( ˆ ˆ^{1 }_i¹ ˆ^{2 }_i² ˆ^{3 }_i³ ˆ^{4 }_i⁴ ˆ^{5 }_i⁵ ˆ^{12 }_{i i}^{1 2} ) (5.1.6)

modelloglm( ˆ ˆ^{1 }_i¹ ˆ^{2 }_i² ˆ^{3 }_i³ ˆ^{4 }_i⁴ ˆ^{5 }_i⁵ ˆ^{13 }_{i i}^{1 3} ) (5.1.7) modelloglm( ˆ ˆ^{1 }_i¹ ˆ^{2 }_i² ˆ^{3 }_i³ ˆ^{4 }_i⁴ ˆ^{5 }_i⁵ ˆ^{14 }_{i i}^{1 4} ) (5.1.8) modelloglm( ˆ ˆ^{1 }_i¹ ˆ^{2 }_i² ˆ^{3 }_i³ ˆ^{4 }_i⁴ ˆ^{5 }_i⁵ ˆ^{15 }_{i i}^{1 5} ) (5.1.9)

_{           }

1 2 3 4 5 2 3

1 2 3 4 5 23

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i} ) (5.2.0)

_{           }

1 2 3 4 5 2 4

1 2 3 4 5 24

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i} ) (5.2.1)

_{           }

1 2 3 4 5 2 5

1 2 3 4 5 25

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i} ) (5.2.2)

_{           }

1 2 3 4 5 3 4

1 2 3 4 5 34

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i} ) (5.2.3)

_{           }

1 2 3 4 5 3 5

1 2 3 4 5 35

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i} ) (5.2.4)

_{           }

1 2 3 4 5 3 5

1 2 3 4 5 45

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i} ) (5.2.5)

 1  2  3  4  5  1 2  1 5

1 2 3 4 5 12 15

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i} ) (5.2.6)

_{             }

1 2 3 4 5 1 3 1 5

1 2 3 4 5 13 15

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i} ) (5.2.7)

71

_{             }

1 2 3 4 5 1 4 1 5

1 2 3 4 5 14 15

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i} ) (5.2.8)

_{             }

1 2 3 4 5 1 5 2 3

1 2 3 4 5 15 23

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i} ) (5.2.9)

_{             }

1 2 3 4 5 1 5 2 4

1 2 3 4 5 15 24

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i} ) (5.3.0)

modelloglm( ˆ ˆ^{1 }_i¹ ˆ^{2 }_i² ˆ^{3 }_i³ ˆ^{4 }_i⁴ ˆ^{5 }_i⁵ ˆ^{15 }_{i i}^{1 5} ˆ^{25 }_{i i}^{2 5} ) (5.3.1)

_{             }

1 2 3 4 5 1 5 3 4

1 2 3 4 5 15 34

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i} ) (5.3.2)

_{             }

1 2 3 4 5 1 5 3 5

1 2 3 4 5 15 35

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i} ) (5.3.3)

_{             }

1 2 3 4 5 1 5 4 5

1 2 3 4 5 15 45

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i} ) (5.3.4)

_{               }

1 2 3 4 5 1 2 1 5 2 3

1 2 3 4 5 12 15 23

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

model loglm(   _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i}  _{i i} ) (5.3.5) modelloglm( ˆ ˆ^{1 }_i¹ ˆ^{2 }_i² ˆ^{3 }_i³ ˆ^{4 }_i⁴ ˆ^{5 }_i⁵ ˆ^{13 }_{i i}^{1 3} ˆ^{15 }_{i i}^{1 5} ˆ^{23 }_{i i}^{2 3} ) (5.3.6)

modelloglm( ˆ ˆ^{1 }_i¹ ˆ^{2 }_i² ˆ^{3 }_i³ ˆ^{4 }_i⁴ ˆ^{5 }_i⁵ ˆ^{14 }_{i i}^{1 4} ˆ^{15 }_{i i}^{1 5} ˆ^{23 }_{i i}^{2 3} ) (5.3.7)

 1  2  3  4  5  1 5  2 3  2 4

1 2 3 4 5 15 23 24

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i}  _{i i} ) (5.3.8)

 1  2  3  4  5  1 5  2 3  2 5

1 2 3 4 5 15 23 25

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i}  _{i i} ) (5.3.9)

 1  2  3  4  5  1 5  2 3  3 4

1 2 3 4 5 15 23 34

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i}  _{i i} ) (5.4.0)

 1  2  3  4  5  1 5  2 3  3 5

1 2 3 4 5 15 23 35

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i}  _{i i} ) (5.4.1)

 1  2  3  4  5  1 5  2 3  4 5

1 2 3 4 5 15 23 45

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i}  _{i i} ) (5.4.2)

 1  2  3  4  5  1 2  1 3  1 5  2 3

1 2 3 4 5 12 13 15 23

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

model loglm(   _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i}  _{i i}  _{i i} ) (5.4.3)

 1  2  3  4  5  1 2  1 4  1 5  2 3

1 2 3 4 5 12 14 15 23

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

model loglm(   _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i}  _{i i}  _{i i} ) (5.4.4)

72

 1  2  3  4  5  1 2  1 5  2 3  2 4

1 2 3 4 5 12 15 23 24

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i}  _{i i}  _{i i} ) (5.4.5)

 1  2  3  4  5  1 2  1 5  2 3  2 5

1 2 3 4 5 12 15 23 25

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i}  _{i i}  _{i i} ) (5.4.6)

 1  2  3  4  5  1 2  1 5  2 3  3 4

1 2 3 4 5 12 15 23 34

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i}  _{i i}  _{i i} ) (5.4.7)

 1  2  3  4  5  1 2  1 5  2 3  3 5

1 2 3 4 5 12 15 23 35

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i}  _{i i}  _{i i} ) (5.4.8)

 1  2  3  4  5  1 2  1 5  2 3  4 5

1 2 3 4 5 12 15 23 45

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i}  _{i i}  _{i i}  _{i i} ) (5.4.9)

 1  2  3  4  5 1 2 3

1 2 3 4 5 123

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(

 

 _i 



_i 



_i 



_i 



_i 



_{i i i} ) (5.5.0)

 1  2  3  4  5 1 2 4

1 2 3 4 5 124

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(

 

 _i 



_i 



_i 



_i 



_i 



_{i i i} ) (5.5.1)

 1  2  3  4  5 1 2 5

1 2 3 4 5 125

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(

 

 _i 



_i 



_i 



_i 



_i 



_{i i i} ) (5.5.2)

 1  2  3  4  5 1 3 4

1 2 3 4 5 134

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(

 

 _i 



_i 



_i 



_i 



_i 



_{i i i} ) (5.5.3)

 1  2  3  4  5 1 3 5

1 2 3 4 5 135

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(

 

 _i 



_i 



_i 



_i 



_i 



_{i i i} ) (5.5.4)

 1  2  3  4  5 1 3 5

1 2 3 4 5 145

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(

 

 _i 



_i 



_i 



_i 



_i 



_{i i i} ) (5.5.5)

 1  2  3  4  5 2 3 4

1 2 3 4 5 234

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(

 

 _i 



_i 



_i 



_i 



_i 



_{i i i} ) (5.5.6)

 1  2  3  4  5 2 3 5

1 2 3 4 5 235

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(

 

 _i 



_i 



_i 



_i 



_i 



_{i i i} ) (5.5.7)

 1  2  3  4  5 2 4 5

1 2 3 4 5 245

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(

 

 _i 



_i 



_i 



_i 



_i 



_{i i i} ) (5.5.8)

73

 1  2  3  4  5 3 4 5

1 2 3 4 5 345

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(

 

 _i 



_i 



_i 



_i 



_i 



_{i i i} ) (5.5.9)

 1  2  3  4  5 1 2 3 4

1 2 3 4 5 1234

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(

 

 _i 



_i 



_i 



_i 



_i 



_{i i i i} ) (5.6.0)

 1  2  3  4  5 1 2 3 5

1 2 3 4 5 1235

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(

 

 _i 



_i 



_i 



_i 



_i 



_{i i i i} ) (5.6.1)

 1  2  3  4  5 1 2 4 5

1 2 3 4 5 1245

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(

 

 _i 



_i 



_i 



_i 



_i 



_{i i i i} ) (5.6.2)

 1  2  3  4  5 1 3 4 5

1 2 3 4 5 1345

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(

 

 _i 



_i 



_i 



_i 



_i 



_{i i i i} ) (5.6.3)

 1  2  3  4  5 2 3 4 5

1 2 3 4 5 2345

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(

 

 _i 



_i 



_i 



_i 



_i 



_{i i i i} ) (5.6.4)

 1  2  3  4  5 1 2 3 4 1 2 3 5

1 2 3 4 5 1234 1235

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i i i}  _{i i i i} ) (5.6.5)

 1  2  3  4  5 1 2 3 4 1 2 4 5

1 2 3 4 5 1234 1245

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i i i}  _{i i i i} ) (5.6.7)

 1  2  3  4  5 1 2 3 4 1 3 4 5

1 2 3 4 5 1234 1345

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i i i}  _{i i i i} ) (5.6.8)

 1  2  3  4  5 1 2 3 5 1 2 4 5

1 2 3 4 5 1235 1245

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i i i}  _{i i i i} ) (5.6.9)

 1  2  3  4  5 1 2 3 5 1 3 4 5

1 2 3 4 5 1235 1345

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i i i}  _{i i i i} ) (5.7.0)

 1  2  3  4  5 1 2 3 5 1 3 4 5

1 2 3 4 5 1235 1345

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i i i}  _{i i i i} ) (5.7.0)

 1  2  3  4  5 1 2 3 5 2 3 4 5

1 2 3 4 5 1235 2345

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i i i}  _{i i i i} ) (5.7.1)

74

 1  2  3  4  5 1 2 4 5 2 3 4 5

1 2 3 4 5 1245 2345

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i i i}  _{i i i i} ) (5.7.2)

 1  2  3  4  5 1 3 4 5 2 3 4 5

1 2 3 4 5 1345 2345

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  _i  _{i i i i}  _{i i i i} ) (5.7.3)

V) Step 19: q-dimensional estimating parameters is given by

1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4

*

1 2 3 4

...

ˆ log , , , ,..., (5.7.4) I I I I *...*

i i i i i i i i

qth

i i i i

i i i i i

Qth





 

 

  

 

 



 

1 2 3 4 1

2 3 4

...

ˆ1 log - (5.7.5)ˆ I I I *...*

i i i i i

i i i Qth



 

 

 

  

 

 



_{ }

2 1 3 4 2

1 3 4

. ..

ˆ2 log - (5.7.6)ˆ I I I *....*

i i i i i

i i i Qth



 

 

 

  

 

 



 

4 1 2 3 4

1 2 3

...

ˆ4 ˆ

log - (5.7.7)

I I I *...*

i i i i i

i i i Qth



 

 

 

  

 

 



  ^{1 2 3}

1 2 3

...,

ˆ ˆ

log - (5.7.8) I I I ...

qth i i i

qth qth

i i i



 

 

 

  

 

 



75

_{ 1 2} ^{3 4 1 2} _{ 1  2}

 

3 4

..

12 1 2

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ 5.7.9

I I *...*

i i i i

i i i i

i i Qth



   

 

 

  

 

 



_{ 1 3} ^{2 4 1 3} _{ 1  3}

 

2 4

. .

1

13 3

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ 5.8.0

I I *...*

i i i i

i

i i i

i i Qth



   

 

 

  

 

 



_{1 4} ^{2 3 1 4}  ₁  ₄

 

2 3

..

14 1 4

ˆ ˆ ˆ ˆ

log - - - 5.8.1

I I *...*

i i

i i

i i i i

i i Qth



   

 

 

  

 

 



.

.

  ^{2 3 4 1  }₁ ^{ }

 

1

2 3 4

...

1 1

ˆ log -ˆ -ˆ - ˆ 5.8.2

I I I

th

i qth

i i i

i qth qth

qth i q

i i i



   

 

 

  

 

 



_{2 3} ^{1 4 2 3} _{ 2  3}

 

1 4

. .

23 2 3

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ 5.8.3

I I *...*

i i i i

i i i i

i i Qth



   

 

 

  

 

 



_{ 2 4} ^{1 3 2 4} _{ 2  4}

 

1 3

. .

24 2 4

ˆ log - -ˆ ˆ -ˆ 5.8.4 I I *...*

i i i i

i i i i

i i Qth



   

 

 

  

 

 



. . .

76

  ^{1 3 2}  ₂  

 

2

1 3

. . 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

log - - - 5.8.5

th I I

i qth i i

i qth qth

q i qth

i i



   

 

 

  

 

 



U) Step 20: Estimating of expected frequencies of q-dimensional contingency table _{1 2 3 4...} ^{(ˆ ˆ}_{1 } ^ˆ_{2 2} ^ˆ_{3 3} ^+ˆ_{4 4} ^+...+ˆ _{ }) 5.8.6

 

th th

i i i i qth i i i i q q

m e      

_{1 2 3 4}... (ˆ ˆ1_{ } ˆ2_{ 2} ˆ3_{ 3} +ˆ4_{ 4} +...+ˆ _{ }) +ˆ14_{ 1 4} 5.8.7

 

th th th

i i i i q i i i i q q i i

m e       

_{1 2 3 4}... (ˆ ˆ1^{ } ˆ2^{ }₂ ˆ3^{ }₃ +ˆ4^{ }₄ +...+ˆ ^{ }) +ˆ12^{ }_{1 2} 5.8.8

 

th th th

i i i i q i i i i q q i i

m e       

_{1 2 3 4...} ^{(ˆ ˆ}₁^{  ˆ}₂^{ }₂ ^ˆ₃^{ }₃ ^+ˆ₄^{ }₄ ^{+...+ˆ  ) +ˆ}₁₃^{ }_{1 3} 5.8.9

 

th th th

i i i i q i i i i q q i i

m e       

           

 

1 2 3 4... (ˆ ˆ1 ˆ2 2 ˆ3 3 +ˆ4 4 +...+ˆ ) +ˆ23 2 3 5.9.0

th th th

i i i i q i i i i q q i i

m e       

           

 

1 2 3 4... ( ˆ ˆ1 ˆ2 2 ˆ3 3 +ˆ4 4 +...+ˆ ) +ˆ24 2 4 5.9.1

th th th

i i i i q i i i i q q i i

m e       

_{1 2 3 4} ^{   }₂ ^{   }₄ ^{   }

 

3 3 4

... (ˆ ˆ1 ˆ2 ˆ3 +ˆ4 +...+ˆ ) +ˆ34 5.9.2

th th th

i i i i q i i i i q q i i

m e       

. . .

_{1 2 3 4  1  2    4  }

 

... ˆ ˆ1 ˆ2 ˆ3 3 ˆ4 ˆ

( + +...+ ) 5.9.3

i i i i qth i i i i qth qth

m e      

   ₁  ₂  ₃  ₄  

 

1 2 3 4 1 2 3 4

qth qth+1 ... ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

( + +...+ +....) 5.9.4

i i i i qth i i i i qth qth

m _{ } e      

     

. .

77 .

                   

   

1 2 4 1 2 2 4

1 2 3 4 1 2 3 4 12 1 3 2 3 24

qth 3 13 23

1 1 ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

( + +...+ + + + +

+...+ ˆ )

i i i qth qth i i i i

i i i i i i i i i

qth qth qth qth

m e          

 _{   }

 

   

 

5.9.5

V) Step 21: estimating of model fits of q- dimensional contingency table ^model^loglm( ^ˆ ^ˆ_{1 i1} ^ˆ_{2 i2} ^ˆ_{3 i3} ⁺^ˆ_{4 i4} ^+...+ ^ˆ _{qth qth} ) 5.9.6

 

modelloglm( ˆ ˆ1^{ }_i1 ˆ2^{ }_i2 ˆ3^{ }_i3 ˆ4^{ }_i4  ... ˆ _qth^{ }_qth ˆ14^{ }_{i i1 4} ) 5.9.7

 

 ₁  ₂  ₃  ₄    _{1 2}

 

1 2 3 4 12

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  ...  _{qth qth}  _{i i} ) 5.9.8

modelloglm( ˆ ˆ1^{ }_i1 ˆ2^{ }_i2 ˆ3^{ }_i3 ˆ4^{ }_i4  ... ˆ _{qth qth}^{ }ˆ13^{ }_{i i1 3} ) 5.9.9

 

modelloglm( ˆ ˆ1^{ }_i1 ˆ2^{ }_i2 ˆ3^{ }_i3 ˆ4^{ }_i4  ... ˆ _{qth qth}^{ }ˆ23^{ }_{i i2 3} ) 6.0.0

 

^model^loglm( ^ˆ ^ˆ_{1 i1} ^ˆ_{2 i2} ^ˆ_{3 i3} ^ˆ_{4 i4}  ^... ^ˆ _{qth qth} ^ˆ_{24 i i2 4} ) 6.0.1

 

 ₁  ₂  ₃  ₄    _{3 4}

 

1 2 3 4 34

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

modelloglm(  _i  _i  _i  _i  ...  _{qth qth}  _{i i} ) 6.0.2 .

^model^loglm( ^ˆ ^ˆ₁^{ }_i1 ^ˆ₂^{ }_i2 ^ˆ₃^{ }_i3 ⁺^ˆ₄^{ }_i4 ^+...+^ˆ_qth ^_qth^) 6.0.3

 

 ₁  ₂  ₃  ₄  

 

1 2 3 4

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

model loglm(  _i  _i  _i + _i +...+_{qth qth} +....) 6.0.4

.

             

       

 

1 2 3 4 1 2 1 3

2 3 2 4

1 2 3 4 12 13

23 24 1 qth qth-1 , th

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

model loglm( ...

ˆ ˆ ˆ

... ) 6.0.5

i i i i qth qth i i i i

i i i i qth q

       

   _{  }

 

        

   

78 3.3 STEPS OF ITERATIVE PROPORTIONAL FITTING PROCEDURE

The following steps are involved:

1) Start with initial estimates for the estimated expected cell counts. For example, set all µi i i i1 2 3 4

 

0 = 1.0 , where ^µi i i i1 2 3 4

m m is the estimated expected frequency.

2) Adjust each cell entry by multiplying it by scaling factors. This moves the cells entries towards satisfaction of the marginal constraints specified by the model.

3) Iterate through the adjustment steps until the maximum difference b/w the marginal totals in the sample and estimated marginal totals reaches a certain minimal threshold by

0.1, 0.01 or 0.0001

 

After each cycle, the estimates satisfy the constraints specified in the model, and estimated expected totals come closer to matching the observed totals. Thus the process converges. .

For instance, consider 4- factor model, without 4-factor interaction given as



1 2 3 4



 1  2  3  4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 2 3

e 1 2 3 4 12 3 14 23 24 34 123

log m_{i i i i}   _i  _i  _i  _i  _{i i} _{i i i}  _{i i}  _{i i}  _{i i}  _{i i}  _{i i i}

1 2 4 1 3 4 2 3 4

124 134 234

 _{i i i}  _{i i i}  _{i i i} (11)

IPF algorithm will be used for estimating expected frequencies



mi i i i1 2 3 4



, which are inputs to parameter estimation in the fitted model. Estimates of parameters are functions of the logarithms of

1 2 3 4 i i i i

m (Everitt, 1977).

Totals µ µ µ µ

. . . .

1 2 3 , 1 2 4, 1 3 4, and 2 3 4

i i i i i i i i i i i i

m m m m are characterized to be equal to the corresponding observed marginal totals

1 2 3., 1 2.4, 1.3 4, and .2 3 4

i i i i i i i i i i i i

n n n n respectively.

To start IPF procedure, we start initial values m^µi i i i1 2 3 4

 

0 = 1 and proceed by adjusting these proportionally to satisfy the first marginal constraint

^µ_{1 2 3.}

1 2 4.

(m_{i i i} n_{i i i} ), calculated from:

79 µ

 

^µ_· ^{ }

 

. 0 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3.0

i i i i 1 = ^{i i i i ni i i} (12)

i i i

m m

m

Revise expected values m^µi i i i_{1 2 3 4}

 

¹ to satisfy the second marginal‟s constraint ^µ_{1 2 4.}

1 2 4.

m_{i i i}  n_{i i i} , using

µ

 

^µ_µ ^{ }

 

1 2 3 4 1 2 4. 1 2 3 4

1 2 4

1 .

2 = (13) 1

i i i i i i i

i i i i

n i i i

m m

m Revise expected values mi i i i_{1 2 3 4 }2

 to satisfy the marginal constraint _{1 3 4}

1 3 4

. . , using

i i i i i i

m n

 

µ

 

^µ

 

µ

1 2 3 4 1 3 4

1 2 3 4

1.3 4

2 .

i i i i 3 = ^{i i i i} (14)

i i i

i i i

m n

m

m

Complete the cycle by adjusting m^µ_{i i i i}1 2 3 4

 

3 to satisfy the fourth marginal constraint µ

. 2 3 4 .2 3 4

m_{i i i} = n_{i i i} , using

µ

 

^µ

 

µ

 

1 2 3 4 2 3 4

1 2 3 4

. 2 3 4

3 .

4 = (15) 3

i i i i i i i i

i i i

i i i

m n

m

m

This four –step is repeated until convergence to desired accuracy is attained. That is , the process is continued until differences between expected values is very small say 0.01 or 0.0001

For 3- dimensional table, for model of No-three factor interaction or pair- wise association

   12 13 23 , IPF algorithm for finding expected frequencies is as follows:

The µ

1 2 3'

i i i

m sof the model is characterized by fitted margins

µ µ µ

. . .

1 2 n1 2. , 1 3 n1 3. , 2 3 n.2 3

i i i i i i i i i i i i

m  m  m 

The IPF procedure start with initial value or guess as ^µmi i i_{1 2 3}

 

0  1, the modifications are

µ

 

^µ

 

µ

 

1 2 3 1 2 1 2 3

1 2.

0 .

1 = (16) 0

i i i i i i

i i

m ni i

m

m

80

µ

 

^µ

 

µ

 

1 3

1 2 3 1 2 3

1 3.

1 .

2 = (17) 1

i i i i i i

i i

m ni i

m

m

µ

 

^µ

 

µ

 

^{2 3}

1 2 3 1 2 3

2 3

. .

3 = 2 (18) 2

i i i i i i

i i i i

m n

m

m

The second cycle is of the same form as the first cycle above but uses updated estimates

µ

 

^µ

 

µ

 

1 2 3 1 2 1 2 3

1 2.

3 .

4 = (19) 3

i i i i i i

i i

m ni i

m

m

µ

 

^µ

 

µ

 

1 3

1 2 3 1 2 3

1 3.

4 .

5 = (20) 4

i i i i i i

i i

m ni i

m

m

µ

 

^µ

 

µ

 

1 3

1 2 3 1 2 3

1 3.

5 .

6 = (21) 5

i i i i i i

i i

m ni i

m

m

The algorithm can be terminated at iteration h when hth estimates are close satisfying the likelihood equations

m_ij = n_ij m_jk= n_jk m_{i k} = n_{i k}

3.4 PROPOSED APPROACH FOR TESTING THE SIGNIFIANCE OF INTERACTION OF VARIABLES OF CONTINGECY TABLE.

Proposed Approach is given as

2 2

1 2

_ML -_ML (22)

81 CHAPTER FOUR: ANALYSIS OF DATA AND DISCUSSION OF RESULTS