Gr´ aficas para la T´ ecnica 2-ZAD

En las siguientes gr´aficas se hacen comparaciones de las gr´aficas obtenidas con distintos valores del par´ametro ks. El objetivo es observar los efectos de la t´ecnica 2-ZAD en los

valores del par´ametro para los que se da la saturaci´on del ciclo de trabajo. En estas gr´aficas los tramos de la recta a trozos se representan as´ı: en el ZAD cl´asico el primer tramo (intervalo (0, d₂)) al igual que el ´ultimo tramo (intervalo (T −d₂,T )) son representados en azul, y el tramo intermedio (intervalo (d₂,T − d₂)) es representado en color verde. En el 2-ZAD, en el primer intervalo, es decir el intervalo (kT, (k + 1)T ) donde predomina d1, se usan los mismos colores

que el ZAD cl´asico; y para el segundo intervalo, en el que se toma d2, los tramos llevan los

(a) Gr´afica en el espacio de estados (b) Acercamiento a la ´orbita peri´odica

(c) Variables x1(rojo), y x2(azul) contra el tiempo

Figura 4-1.: Gr´aficas de la t´ecnica 2-ZAD para un valor de ks = 4,5 partiendo de condiciones

4.2 Gr´aficas Obtenidas en el Tiempo y Espacio de Estados 35

(a) Gr´afica en el espacio de estados (b) Acercamiento a la ´orbita peri´odica

(c) Variables x1(rojo), y x2(azul) contra el tiempo

Figura 4-2.: Gr´aficas de la t´ecnica ZAD cl´asica para un valor de ks = 4,5 partiendo de

condiciones iniciales cero con referencia X1ref = 0,8

Al comparar las Figuras 4-1 y 4-2 se puede ver que para un valor de ks = 4,5, valor en

donde el sistema presenta estabilidad; la t´ecnica 2-ZAD se comporta de manera similar que la t´ecnica ZAD cl´asica. Se observa que las dos t´ecnicas siguen normalmente al valor de referencia (que en este caso se toma como X1ref = 0,8) y convergen a la ´orbita 1-peri´odica

en el espacio de estados. Aqu´ı las condiciones iniciales se toman como 0 por lo cual se puede observar el sistema desde el estado transitorio hasta que alcanza el estado estable. Se observa que en el estado transitorio, se extiende un poco m´as la amplitud de la variable de corriente en el 2-ZAD que en el ZAD cl´asico. Lo anterior sugiere que para este valor de referencia, ser´ıa m´as conveniente permitir la saturaci´on en los primeros intervalos de muestreo, en donde se da estado transitorio. El objetivo del 2-ZAD ser´ıa eliminar la saturaci´on cuando el sistema entre en estado estable, donde lo ideal es que esta no act´ue.

(a) Gr´afica en el espacio de estados (b) Acercamiento a la ´orbita peri´odica

(c) Variables x1(rojo), y x2(azul) contra el tiempo

Figura 4-3.: Gr´aficas de la t´ecnica 2-ZAD para un valor de ks = 4,5 partiendo de condiciones

4.2 Gr´aficas Obtenidas en el Tiempo y Espacio de Estados 37

(a) Gr´afica en el espacio de estados (b) Acercamiento a la ´orbita peri´odica

(c) Variables x1(rojo), y x2(azul) contra el tiempo

Figura 4-4.: Gr´aficas de la t´ecnica ZAD cl´asica para un valor de ks = 4,5 partiendo de

condiciones iniciales cero con referencia X1ref = 0,5

Al observar las Figuras 4-3 y 4-4, hay una leve mejor´ıa en la evoluci´on del estado transitorio con la t´ecnica 2-ZAD. Se puede distinguir un punto en donde la saturaci´on del ciclo de trabajo hace que la t´ecnica act´ue y reduzca la amplitud en la componente de corriente de las ´orbitas. Esto tambi´en se ve en las gr´aficas contra el tiempo, en las que el sobreimpulso m´aximo en la gr´afica de la corriente del 2-ZAD es atenuado con respecto al ZAD cl´asico. Lo anterior sugiere una dependencia del valor de referencia en la velocidad de estabilizaci´on del sistema. Sin embargo, la diferencia entre las dos t´ecnicas es muy poca, puesto que en la gr´afica contra el tiempo se observa, que las 2 alcanzan el estado estacionario en tiempos muy similares. Por esto se podr´ıa concluir que al utilizar condiciones iniciales que induzcan el estado transitorio, se puede permitir la saturaci´on del ciclo de trabajo mientras se alcanza el estado estable.

(a) Gr´afica en el espacio de estados (b) Gr´afica con respecto al tiempo

Figura 4-5.: T´ecnica 2-ZAD con ks = 4,5 y condiciones iniciales cercanas a la referencia

(a) Gr´afica en el espacio de estados (b) Gr´afica con respecto al tiempo

4.2 Gr´aficas Obtenidas en el Tiempo y Espacio de Estados 39

(a) Gr´afica en el espacio de estados (b) Gr´afica con respecto al tiempo

Figura 4-7.: T´ecnica 2-ZAD con ks= 2,5 y condiciones iniciales cercanas a la referencia

(a) Gr´afica en el espacio de estados (b) Gr´afica con respecto al tiempo

(a) Gr´afica en el espacio de estados (b) Gr´afica con respecto al tiempo

Figura 4-9.: T´ecnica 2-ZAD con ks = 2 y condiciones iniciales cercanas a la referencia

(a) Gr´afica en el espacio de estados (b) Gr´afica con respecto al tiempo

4.2 Gr´aficas Obtenidas en el Tiempo y Espacio de Estados 41

(a) Gr´afica en el espacio de estados (b) Gr´afica con respecto al tiempo

Figura 4-11.: T´ecnica 2-ZAD con ks= 1,5 y condiciones iniciales cercanas a la referencia

(a) Gr´afica en el espacio de estados (b) Gr´afica con respecto al tiempo

Figura 4-12.: T´ecnica ZAD cl´asica con ks = 1,5 y condiciones iniciales cercanas a la

(a) Gr´afica en el espacio de estados (b) Gr´afica con respecto al tiempo

Figura 4-13.: T´ecnica 2-ZAD con ks = 1 y condiciones iniciales cercanas a la referencia

(a) Gr´afica en el espacio de estados (b) Gr´afica con respecto al tiempo

4.2 Gr´aficas Obtenidas en el Tiempo y Espacio de Estados 43

(a) Gr´afica en el espacio de estados (b) Gr´afica con respecto al tiempo

Figura 4-15.: T´ecnica 2-ZAD con ks= 0,5 y condiciones iniciales cercanas a la referencia

(a) Gr´afica en el espacio de estados (b) Gr´afica con respecto al tiempo

Figura 4-16.: T´ecnica ZAD cl´asica con ks = 0,5 y condiciones iniciales cercanas a la

En las Figuras 4-5 a 4-16 se ha tomado una referencia de 0, 8 y unas condiciones iniciales x1 = x1ref y x2 = γx1ref (valores de estado estable seg´un [1]). Las condiciones iniciales se

toman cercanas al valor de estado estable, para comprobar el desempe˜no de la t´ecnica en este estado. Para una mejor visualizaci´on del tipo de ´orbita que se obtiene en estado estable, se toman los ´ultimos valores obtenidos para realizar el retrato de fase. Se observa c´omo act´ua la t´ecnica 2-ZAD al variar el par´ametro ks de un valor en donde se presenta estabilidad

1-peri´odica, a valores donde el sistema presenta bifurcaciones y caos con la t´ecnica ZAD cl´asica. Puede verse c´omo las ´orbitas se mantienen en una misma posici´on cercana a la zona de convergencia de la ´orbita 1-peri´odica sin presentar un desplazamiento mayor. En contraste, la t´ecnica ZAD cl´asica presenta ´orbitas de orden superior y caos al mover el par´ametro a valores menores. Por lo tanto la t´ecnica 2-ZAD exhibe un comportamiento mucho m´as estable que la t´ecnica ZAD. Lo anterior se puede evidenciar m´as adelante en los correspondientes diagramas de bifurcaciones, los cuales han sido realizados a partir de la aplicaci´on de Poincar´e definida para el sistema por la ecuaci´on 3-5.