Grafo completo

En esta secci ´on se analiza la convergencia de grafos completos bajo el enfoque no cooperativo. Se demuestra que los grafos completos siempre convergen al equilibrio, in- dependientemente de los tipos de preferencias que pueda haber en un caso espec´ıfico v ´alido.

A grandes rasgos, la demostraci ´on parte de la suposici ´on inicial de que existe un con- junto de v ´ertices denominadosinamovibles, que se encuentran en equilibrio, y mediante un proceso iterativo se anexan v ´ertices a este conjunto hasta que todos los v ´ertices se encuentren en equilibrio. Existen dos maneras en c ´omo los v ´ertices se agregan a este conjunto; en el primer caso, que se puede denominar el caso trivial, es cuando existen v ´ertices que al conectarse a alguno de los v ´ertices del conjunto, encuentran su posici ´on ´optima, tal como se muestra en la Figura 7; la otra manera en que los v ´ertices se anexan al conjunto de v ´ertices inamovibles, es cuando todos los v ´ertices buscan posiciones m ´as alejadas que la inmediatamente siguiente al conjunto inamovible. En este caso, un v ´ertice se quedar ´a sin opciones de movimientos cuando el resto de los v ´ertices que no est ´an en equilibrio se vuelvan sus descendientes, y as´ı este v ´ertice queda en equilibrio; la Figura 8 ilustra este caso.

r u v r u v a) b) Conjunto inamovible Conjunto inamovible

Figura 7: La figura muestra c ´omo se anexan v ´ertices al conjunto inamovible. a) Existen v ´ertices que pueden encontrar su posici ´on ´optima dentro del conjunto inamovible. b) Despu ´es de cierto n ´umero de movimientos, estos v ´ertices pasan a formar parte del conjunto inamovible..

Se supone un caso espec´ıfico v ´alido Λ del juego PAGM G que incluye un grafo arbi- trarioG= (VG, EG), una funci ´on de preferenciak:VG\r→Z+, que cumple la restricci ´on 1₆k(u)₆n−1,∀u∈VG\r, y un ´arbol inicialT0 = (VT0, ET0)construido sobreG, donde

VT0 =VGyET0 ⊆EG. Seaξ=u1, u2, ..., ui, ..la secuencia de v ´ertices seleccionados por el

calendarizador para realizar movimientos, empezando a partir del ´arbolT0. Se dice queui

es eli- ´esimo v ´ertice deξ. Cuando el v ´erticeui realiza un movimiento, genera una transi-

ci ´on del ´arbolTi−1al ´arbolTi, que se denota comoTi−1 ui

−→Ti. Seaξi,j =ui, ui+1, ui+2, ..., uj

cualquier subsecuencia deξ, donde1 ≤i≤ j; se denota la transici ´on generada por esta subsecuenciaξ_i,j comoTi−1

ξi,j

r u v a) u b) r v Conjunto

inamovible Conjuntoinamovible

Figura 8: La figura muestra c ´omo se anexan v ´ertices al conjunto inamovible. a) No existen v ´erti- ces que puedan encontrar su posici ´on ´optima dentro del conjunto inamovible. b) Un v ´ertice pasa a formar parte del conjunto inamovible cuando el resto de los v ´ertices movibles se vuelven sus descendientes.

Se dice que cualquier v ´erticeu ∈ VTj esinamovible despu ´es del j- ´esimo movimiento

generado por la subsecuenciaξ, siusatisface las siguientes dos condiciones:

1. DadoΛy T0, el v ´ertice uno aparece en ninguna subsecuencia ξj+1,k generada por

el calendarizador,∀k ≥j+ 1.

2. Todos los ancestros deuenTj son inamovibles.

SeaΦj el conjunto de v ´ertices inamovibles despu ´es delj- ´esimo movimiento generado

porξ; note quer ∈Φ0 y que cuandoΦj =VG, es equivalente a que el grafo se encuentra

en equilibrio. Cualquier otro v ´ertice que no es inmovible se denominamovible. Se denota

Φj como el conjunto de v ´ertices movibles enTj. Dado que se trata de un grafo completo,

todos los v ´ertices de G tienen, al menos, un vecino inamovible (la ra´ız). Se define el concepto deronda, que representa una transici ´onTi−1

ξi,j

−−→ Tj que incluye, al menos una

vez, un movimiento de cada v ´ertice movible.

Lema 6.En un grafo completo, sea la transici ´onTi−1 ξi,j

−−→Tj una ronda. Durante esta tran-

sici ´on, al menos uno de los v ´ertices movibles en el ´arbolTi−1 se convierte en inamovible

en el ´arbolTj.

Demostraci ´on.Dado quer∈Φi−1,|Φi−1| ≥1, i.e., existe un conjunto no vacio de v ´ertices

inamovibles. Existe un v ´ertice v ∈ Φi−1 tal qued Ti−1

v ≥ d

Ti−1

escenarios diferentes en funci ´on de las clases de v ´ertices que existen enΦi−1:

1. Si en Φi−1 existe al menos un v ´ertice u cuya funci ´on k(u) = d Ti−1

v + 1, entonces

cuando este v ´ertice sea elegido por el calendarizador, se conectar ´a directamente al v ´ertice v, pues este movimiento es el que maximiza su ganancia. El v ´ertice se vuelve inamovible debido a la condici ´on 2 y a que ha encontrado su posici ´on ´optima. El v ´ertice puede realizar esta conexi ´on debido a que el grafo es completo.

2. Si en Φi−1 existe al menos un v ´ertice u cuya funci ´on k(u) < d Ti−1

v + 1, entonces

cuando este v ´ertice sea elegido por el calendarizador, se conectar ´a directamente a cualquier elemento de Φi−1 que maximice su ganancia. Debido a que el grafo es

completo, debe existir la arista al elemento en Φi−1 al cual se conecteu, de modo

que se coloque en su posici ´on ´optima. El v ´ertice u se vuelve inamovible por las mismas razones que en el primer caso.

3. Si∀u∈Φi−1,k(u)> d Ti−1

v + 1, (i.e., ning ´un v ´ertice movible desea estar en la posici ´on

inmediatamente siguiente a v, todos desean una posici ´on m ´as alejada de la ra´ız) entonces en este caso, el calendarizador selecciona cada uno de los v ´ertices y ´estos se van alejando de v, hasta que queda un ´unico v ´ertice u conectado a v. El v ´ertice u se vuelve inamovible debido a que no tiene posibilidad de conectarse a nadie (todos los v ´ertices movibles son sus descendientes).

Note que en cualquiera de los tres casos, al menos un v ´ertice movible se vuelve inamovi-

ble, por lo que el Lema 6 se cumple.

Lema 7.En un grafo completo, el CBAPM bajo el enfoque no cooperativo requiere O(n) rondas para converger al equilibrio.

Demostraci ´on. Por el Lema 6, en cada ronda, al menos un v ´ertice u de G se vuelve

inamovible enT; por lo que en no m ´as den rondas, todos los v ´ertices se habr ´an vuelto inamovibles, haciendo que el ´arbolT se encuentre en equilibrio.

Teorema 8.Para cualquier caso espec´ıfico del PAGM que incluya un grafo completoG, el

algoritmo CBAPM requiereO(n2_{lnn) movimientos con alta probabilidad para converger}

Demostraci ´on. Un calendarizador equiprobable elige un v ´ertice movible con la misma probabilidad, es decir, elige cualquier v ´ertice u ∈ Φj con una probabilidad _|Φ1

j| > 1 n. Sin

p ´erdida de generalidad, se supone selecci ´on con reemplazo y que cualquier selecci ´on es independiente de cualquier selecci ´on previa. Mediante los resultados del problema del coleccionista de cupones (Raghavan y Motwani, 1995), cada ronda consiste deO(nlnn)

movimientos con alta probabilidad. Por el Lema 7, despu ´es de O(n) rondas, todos los v ´ertices se vuelven inamovibles. Por lo tanto,O(n)v ´ertices movibles se vuelven inamovi-

bles enO(n2lnn)movimientos con alta probabilidad.

Dado que cada iteraci ´on del Paso 4 en el Algoritmo 2 tomaO(n+m)u.t., el algoritmo CBAPM requiereO(n3_lnn+mn2_{lnn)u.t. con alta probabilidad para alcanzar el equilibrio}

bajo el esquema no cooperativo, para grafos completos.