En este Cap´ıtulo nos enfocamos en los grafos EPT que pueden ser repre- sentados en un ´arbol con grado acotado. Respondemos negativamente una pregunta que Golumbic, Lypshteyn y Stern dejaron abierta en [19], para esto nos basamos en la representaci´on EPT que tienen los ciclos de un grafo EPT. Los resultados presentados en este Cap´ıtulo est´an inclu´ıdos en un trabajo que se encuentra en prensa [2].
6.1.
Resultados conocidos
Definici´on 6.1 [19] SeahP, Tiuna representaci´on EPT de un grafoG. Una
torta de tama˜no n es un subgrafo estrella de T con v´ertice central q y vecinos q1,...,qn tal que cada “porci´on”qiq qi+1 para1≤i≤n est´a contenida
Figura 6.1).
Sea hP, Ti una representaci´on EPT de un grafo G. Se sabe que los ciclos sin cuerdas denv´ertices, denotados porCn, son grafos EPT. Adem´as, en [19]
fue probado que si G tiene un ciclo sin cuerdas de longitud n ≥4, entonces
hP, Ti contiene una torta de tama˜non.
1
2
3
4
5
P
5P
1P
2P
3P
4q
1q
2q
3q
4q
5q
Figura 6.1: El ciclo C5 y una representaci´on EPT: una torta de tama˜no 5.
Notemos que, en una torta, los caminos correspondientes a k v´ertices consecutivos del ciclo cubren k+ 1 aristas incidentes en q.
Dado que una torta de tama˜no n para un ciclo Cn de tama˜no n requiere
un ´arbol hu´esped con un v´ertice de grado n, tenemos el siguiente teorema.
Teorema 6.1 [16] Sea G ∈ EP T y h ≥ 3. Si G ∈ [h,2,2], entonces G es libre de {Cn|n > h}.
En [19], Golumbic, Lipshteyn y Stern estudiaron varios aspectos de las clases [h,2,2], para h ≥ 2. En particular probaron que en la clase de los grafos EPT, la rec´ıproca del Teorema 6.1 es verdadera para h = 3 y falsa
parah= 4. Usaron resultados generales sobre los grafos Cordales y los grafos D´ebilmente Cordales (recordemos que un grafo es D´ebilmente Cordal si no contiene ciclos inducidosCn, conn≥5, ni sus complementos como subgrafos
inducidos) los cuales se aplican s´olo cuando h = 3 o h = 4. Su prueba es basada en los hechos de que [3,2,2] = EPT ∩ Cordal y [4,2,2] = EPT ∩
D´ebilmente Cordal [20]. Dejaron abierta la pregunta de si la rec´ıproca del Teorema 6.1 es verdadera para h≥5.
En este trabajo, se responde negativamente a esta pregunta. Describimos, para cada h≥ 5, un grafo EPT libre de {Cn|n > h} y que sin embargo no
se puede representar en un ´arbol hu´esped con grado m´aximo h.
6.2.
Nuestros resultados
En lo que sigue presentamos los grafos que ser´an usados para responder la pregunta hecha por Golumbic et al. en [19]: Puede cualquier grafo EPT sin ciclos inducidos de tama˜no m´as grande que h ser representado en un ´arbol hu´esped con grado m´aximo h?
Definici´on 6.2 Sean n1, n2 y n3 enteros positivos. Un prisma general
Fn1,n2,n3 consiste de dos tri´angulos {a1, a2, a3} y {b1, b2, b3}; y tres caminos
disjuntos sin cuerdas Qi para 1≤ i ≤ 3 de longitud (n´umero de aristas) ni y v´ertices extremos ai, bi respectivamente. (En la Figura 6.2 se muestra un ejemplo ).
a
1Q2
Q1
Q3
a
2a
3b
1b
2b
3 Figura 6.2: El prisma general F5,3,4.Observar que:
(1) El prisma general F1,1,1 es isomorfo al complemento del grafoC6.
(2) Por simetr´ıa, en un prisma general, el orden de los sub´ındices es irrelevante, esto es, Fn1,n2,n3 ≃ Fn1,n3,n2 ≃ Fn2,n1,n3 ≃ Fn2,n3,n1 ≃ Fn3,n2,n1 ≃
Fn3,n1,n2.
(3) El prisma general Fn1,n2,n3 tienen1+n2+n3+ 3 v´ertices.
(4) El prisma general Fn1,n2,n3 sin los v´ertices a1 y b3 es un camino sin
cuerdas de longitud n1+n2+n3.
(5) El prisma generalFn1,n2,n3 contiene exactamente tres ciclos inducidos:
Q1Qc2 de longitud n1+n2+ 2;
Q1Qc3 de longitud n1+n3+ 2;
Q2Qc3 de longitud n2+n3+ 2;
dondeQiQcj es la concatenaci´on de los caminosQi y la reversa de Qj.
Lema 6.1 El prisma generalFn1,n2,n3 es un[h,2,2]grafo parah=n1+n2+
Demostraci´on:SeaT una estrella con v´ertice centralqy v´ertices pendientes qi para 1≤i≤n1+n2+n3+ 2. Para cada i, 1≤i≤n1+n2+n3+ 1, sea
Pi el subcamino del ´arbol hu´esped T inducido por los v´ertices qi, q y qi+1.
El grafo arista-intersecci´on de esta familia de caminos es un camino sin cuerdas isomorfo a Fn1,n2,n3 sin los v´ertices a1 y b3; esto es, necesitamos
agregar a esta familia otros dos caminos, digamos P y P′
, representando a los v´ertices a1 y b3 respectivamente.
SeaP el subcamino de T inducido por los v´erticesq1,q yqn1+n2+2 ; y sea
P′
el subcamino de T inducido por los v´ertices qn1+n2+n3+2, q y qn1+1. Ver
Figura 6.3.
Es claro que el v´ertice representado por P es adyacente a aquellos re- presentados por P1, Pn1+n2+1 y Pn1+n2+2; mientras que el v´ertice represen-
tado por P′
es adyacente a aquellos representados por Pn1+n2+n3+1, Pn1 y
Pn1+1; de esta manera obtenemos un (h,2,2)-representaco´on del prisma ge-
neral Fn1,n2,n3. ✷
a
1b
31
2
n
1n +n +1
1 2n +2
1n +1
1n +n +n +1
1 2 3n +n +2
1 2q
1q
n1+1q
n1+n2+2q
n1+n2+n3+1q
n1+n2+n3+2P
P´
q
Figura 6.3: El prisma general Fn1,n2,n3 y una (h,2,2)-representaci´on, donde
El siguiente teorema muestra que los ciclos inducidos no son las ´unicas estructuras en un grafo EPT que imponen condiciones en los grados de los v´ertices del ´arbol hu´esped.
Teorema 6.2 Sea h = n1+n2 +n3+ 1. El prisma general Fn1,n2,n3 no es
un [h,2,2] grafo, sin embargo es libre de {Cn|n > h}.
Demostraci´on: El caso n1 =n2 = n3 = 1 fue resuelto por Golumbic et al.
en [19] como mencionamos en la Secci´on 6.1. Luego, asumimos n1 ≥ 2, lo
cual significa que Q1 tiene al menos tres v´ertices.
Supongamos que Fn1,n2,n3 ∈ [h,2,2] para h = n1 +n2 +n3 + 1; y sea hP, Tiuna representaci´on EPT satisfaciendo que el grado de todo v´ertice de T es menor o igual queh.
Dado queQ1Qc2induce un ciclo de tama˜non1+n2+2, en la representaci´on
hay una torta de tama˜non1+n2+ 2. Llamamosq al v´ertice central de esta
torta.
Por otro lado, dado que Q1Qc3 tambi´en induce un ciclo, en la representa-
ci´on hay otra torta. Afirmamos que el v´ertice central de la segunda torta es el mismo v´ertice q. Esto se sigue de que:
(i) en una torta, la intersecci´on por v´ertices de tres caminos correspon- dientes a tres v´ertices consecutivos es exactamente el v´ertice central de la torta;
(ii) los primeros tres v´ertices de Q1 son consecutivos en ambos ciclos
Q1Qc2 y Q1Qc3.
Ahora, los caminos correspondientes a los v´ertices de Q1Qc2 cubren n1+
Por otro lado, los caminos correspondientes a losn3−1 v´ertices internos
de Q3 deben cubrir n3 aristas de T incidentes en q las cuales son diferentes
de las n1+n2+ 2 cubiertas por los v´ertices de Q1Qc2, porque ning´un v´ertice
interno de Q3 es adyacente a un v´ertice deQ1Qc2.
Obtenemos queqtiene grado al menosn3+(n1+n2+2), lo cual contradice
la asunsi´on de que cada v´ertice deT tiene grado a lo sumoh=n1+n2+n3+1.
Finalmente, por (5) y dado que n1 + n2 + 2 ≤ n1 + n2 + n3 + 1 ;
n1+n3+ 2≤n1+n2+n3+ 1 y n2+n3+ 2≤n1+n2+n3+ 1, el prisma ge-
neralFn1,n2,n3 no tiene ciclos de tama˜no m´as grande queh=n1+n2+n3+1.✷
Finalmente, damos el siguiente teorema el cual generaliza el Teorema 6.1:
Teorema 6.3 Seah≥4. SiG∈[h,2,2], entoncesGes libre de{Fn1,n2,n3, Cn|n >