4. Juegos generalizados y grafos dirigidos
4.2. Preliminares
4.2.2. Grafos y grafos dirigidos
Como en cap´ıtulos anteriores, dado un grafo (N, γ) diremos que dos nodos i y j est´an
conectados en γ si es posible unirlos a trav´es de una sucesi´on de aristas de γ (es decir,
si son conectables en γ). Pero en este cap´ıtulo, para ser consecuentes con lo que haremos en el caso de los digrafos, dados un grafo (N, γ) y un subconjunto S de N , diremos que
S es conexo en (N, γ) si todo par i y j de nodos de S se pueden unir utilizando una
sucesi´on de aristas de γ (que, eventualmente, involucrar´a a nodos que no pertenezcan a
S). Lo que, de nuevo, equivale a decir que S sea conectable en γ. N´otese que este concepto
de conexi´on para coaliciones es sustancialmente distinto del de Myerson (1977), que es el utilizado hasta aqu´ı, y seg´un el cual una coalici´on S es conexa en el grafo (N, γ) si todo par de nodos de S pueden unirse por un camino que utilice s´olo nodos de S, es decir, por una sucesi´on de aristas de γ|S 3.
De nuevo, dado un grafo (N, γ), esta noci´on de conectividad induce una partici´on de N
3En otros t´erminos, hemos venido llamando conexos a los conjuntos conectados y, en este cap´ıtulo, vamos a llam´arselo a los conjuntos conectables. En relaci´on a los diversos usos del t´ermino ”conexo”, ver tambi´en la nota a pie de p´agina 5, en la secci´on dedicada a los grafos en el Cap´ıtulo 1 de este trabajo.
en componentes conexas. Dos nodos i y j, i 6= j, est´an en la misma componente conexa si y s´olo si est´an conectados. N´otese que, a pesar de que nuestra noci´on de conectividad sea diferente de la de Myerson, da lugar a las mismas componentes en un grafo. N/γ denotar´a, como hasta ahora, el conjunto de todas las componentes conexas de N en γ y, m´as en general, para cada S ⊂ N , S/γ es el conjunto de todas las componentes conexas en el grafo parcial (S, γ|S).
Dado un grafo (N, γ) y un subconjunto S ⊂ N , notaremos:
Pγ(S) = {U ⊂ S | U 6= ∅ y U conexo en (S, γ| S)}
la clase de los conexos en (S, γ|S), que estar´a formada por las componentes conexas del grafo parcial (S, γ|S) y sus subconjuntos propios. En particular, y con la noci´on de conexi´on que manejamos en este cap´ıtulo, resulta, para toda coalici´on S ⊂ N y para toda componente
C ∈ S/γ, Pγ(C) = 2C \ {∅}.
Ejemplo 4.2 Dados N = {1, 2, 3, 4} y el grafo γ = {{1, 2}, {2, 3}}, ser´an:
N/γ = {{1, 2, 3}, {4}}, Pγ(N ) = {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} y,
para C1 = {1, 2, 3}, por ejemplo, Pγ(C
1) = 2{1,2,3}\ {∅}.
N´otese que el conjunto S = {1, 3}, que aqu´ı consideramos conexo en (N, γ), no lo ser´ıa si nos mantuvi´eramos fieles al concepto de conexi´on para coaliciones de Myerson.
Grafos dirigidos
Un grafo dirigido o digrafo es un par (N, d), en el que N = {1, 2, . . . n} es un conjunto de nodos y d un subconjunto del conjunto de todos los pares ordenados (i, j), i 6= j, de elementos de N . Llamaremos arco a cada par (i, j) ∈ d. En lo que sigue, cuando no haya ambig¨uedad con respecto a N , nos referiremos al digrafo (N, d) como d. Notaremos DN
el conjunto de todos los posibles digrafos con conjunto de nodos N .
Dado un digrafo (N, d), diremos que el nodo i est´a directamente conectado o que puede comunicar directamente con el nodo j si (i, j) ∈ d. Obviamente, en este contexto, la relaci´on
no es sim´etrica; si i est´a directamente conectado con j, el rec´ıproco no es necesariamente cierto. Si i no est´a directamente conectado con j en el digrafo, quiz´a sea posible conectarlos a pesar de todo, supuesto que haya otros nodos por medio de los cuales podamos hacerlo. Diremos que i est´a conectado con j (o que puede comunicar con j) en el digrafo (N, d) si existe un camino dirigido que los conecta, es decir, si existe una sucesi´on ordenada de nodos de N , (i1, i2, . . . , is), tales que i1 = i, is = j y (il, il+1) ∈ d para todo l ∈ {1, 2, . . . , s − 1}.
Obviamente tambi´en, la relaci´on ”estar conectado con” es transitiva: si i est´a conectado con j y j est´a conectado con k, i estar´a tambi´en conectado con k. En un sentido m´as laxo, diremos que los nodos i y j est´an conectados en el digrafo (N, d) si i est´a conectado con
j ´o j est´a conectado con i (o ambos, por supuesto).
Para todo S ⊂ N , se define de forma natural el digrafo parcial (S, d|S), donde:
d|S = {(i, j) ∈ d | i, j ∈ S} .
Por analog´ıa con la notaci´on que empleamos en el caso de los grafos, dados un digrafo (N, d) y un nodo k ∈ N , notaremos (N, d−k) el digrafo que resulta de eliminar en el digrafo d los arcos incidentes en el nodo k, es decir: d−k= {(i, j) ∈ d | k 6∈ {i, j}}.
Dado un digrafo (N, d) ∈ DN, llamaremos grafo inducido por d y notaremos (N, γ(d)) al
grafo de ΓN definido:
γ(d) = {{i, j} tales que i, j ∈ N, e (i, j) ∈ d ´o (j, i) ∈ d } .
Un grafo dirigido (N, d) diremos que es conexo si para cualesquiera dos nodos i y j ∈ N existe un camino no dirigido que los conecta4. En otras palabras, si el grafo inducido γ(d)
es conexo.
4Esta es la definici´on de conexi´on para grafos dirigidos habitual en teor´ıa de grafos (ver, por ejemplo, Yellen (2004)). En un reciente trabajo con el t´ıtulo de ”Conectividad y reglas de reparto en un grafo dirigido”, Kim y Jun (2008) dicen de un tal digrafo que es (simplemente) conexo. Definen un digrafo fuertemente conexo como aquel en el que, para cualesquiera i y j ∈ N , existe un camino dirigido de i a j. Por ´ultimo, dicen que un digrafo (N, d) es d´ebilmente conexo si existe un nodo i0 ∈ N tal que, para cualquier otro nodo i ∈ N , i puede comunicar con i0. De las definiciones previas se sigue f´acilmente que una red dirigida fuertemente conexa es d´ebilmente conexa, y una d´ebilmente conexa es (simplemente) conexa.
Un subconjunto (no ordenado) S ⊂ N ser´a conexo en el digrafo (N, d) si el digrafo parcial (S, d|S) es conexo. Un subconjunto (no ordenado) C ⊂ N es una componente en el digrafo
(N, d) si C ∈ N/γ(d), es decir, si es una componente conexa en el grafo (N, γ(d)). O, en otros t´erminos, si el digrafo parcial (C, d|C) es conexo y maximal en (N, d),
en el sentido de que, para todo subconjunto S ⊂ N , con C ( S, el digrafo parcial (S, d|S) no es conexo. As´ı, cada digrafo (N, d) ∈ DN determina una partici´on de N en
componentes. Notaremos N/d el conjunto de todos los componentes del grafo dirigido (N, d). Obviamente, N/d = N/γ(d).