Hacia la clasificaci´ on de las superficies compactas

En esta secci´on queremos indicar pasos que llevan hacia la clasificaci´on de las superficies com- pactas. Lo que realmente vamos a probar es una m´ınima parte de lo necesario para establecer el teorema de clasificaci´on. Vamos a ver c´omo conocer el ´ındice de los puntos cr´ıticos de una funci´on de Morse definida sobre una superficie compacta permite obtener informaci´on sobre la topolog´ıa de ´esta y vamos a establecer una relaci´on entre la caracter´ıstica de Euler de la superficie y los ´ındices de los puntos cr´ıticos.

La construcci´on que vamos a realizar se basa en hechos (que a menudo son f´aciles de observar en ejemplos concretos) que se dan para toda funci´on de Morse f : M → R de una superficie compacta en la recta real:

• La superficie M se puede escribir como M = ∪_r∈Rf−1(r), por lo que si se conocen las fibras de los valores regulares y de los valores cr´ıticos se puede obtener informaci´on sobre M . Adem´as, todas las fibras son subconjuntos compactos de M ya que son contraimagen de un cerrado.

• Si la fibra de un valor regular es no vac´ıa entonces es una variedad diferenciable compacta de dimensi´on igual a dim(M ) − 1. En particular, al ser M una superficie, tal fibra es una variedad compacta de dimensi´on uno, esto es, una familia finita de circunferencias. En particular, la componente conexa de un punto de la fibra de un valor regular es siempre una cirunferencia.

• La topolog´ıa de las fibras de los puntos regulares cambia cuando atravesamos un valor cr´ıtico.

• El lema de Morse permite obtener informaci´on sobre la fibra de los puntos cr´ıticos.

Las observaciones precedentes se pueden generalizar a variedades de mayor dimensi´on, pero nos restringiremos al caso de las superficies. Vamos a precisar estos hechos y ver c´omo conociendo los puntos cr´ıticos de una funci´on de Morse y el ´ındice que tienen podemos reconstruir la topolog´ıa de la variedad M , paso clave para demostrar el teorema de clasificaci´on.

Si p ∈ M es un valor cr´ıtico, entonces a puede ser de ´ındice 2, 1, o 0. Por el lema de Morse sabemos, en cada caso, c´omo es una expresi´on local de f en un entorno de p:

• ´ındice 2: f (x1_{, x}2_{) = f (p) − (x}1₎2_{− (x}2₎2

• ´ındice 1: f (x1_{, x}2_{) = f (p) − (x}1₎2_{+ (x}2₎2

• ´ındice 0: f (x1_{, x}2_{) = f (p) + (x}1₎2_{+ (x}2₎2

Por lo tanto, si q ∈ f−1(f (p)) es un punto pr´oximo a p (que est´a en la carta mencionada) re- sulta que f (q) = f (p), con lo que el resto se anula: ±(x1(q))2± (x2_(q))2_{= 0; es decir, se puede}

demostrar que la componente conexa de f−1(f (p) es parecida a la parte cuadr´atica correspon- diente:

• ´ındice 2: {−(x1₎2_{− (x}2₎2 _{= 0}: un punto;}

• ´ındice 1: {−(x1₎2_{+ (x}2₎2 _{= 0}: par de rectas secantes;}

• ´ındice 0: {(x1₎2_{+ (x}2₎2_{= 0}: un punto.}

El siguiente ejemplo muestra c´omo podemos reconstruir la topolog´ıa de la variedad.

Ejemplo 8.27 Tenemos una funci´on de Morse f de una superficie compacta y conexa M en la recta real de la que sabemos tiene cuatro puntos cr´ıticos {a, b, c, d} y cuatro valores cr´ıticos distintos {f (a) > f (b) > f (c) > f (d)}, con esta distribuci´on de ´ındices:

• ´ındice de a= 2 • ´ındice de b= 1 • ´ındice de c= 1 • ´ındice de d= 0

Adem´as, se sabe que f (M ) = [f (d), f (a)] (en cualquier caso, como M es compacta y conexa debe ser f (M ) ⊂ R un compacto conexo: un punto o un intervalo cerrado). Un punto no puede ser, porque todos los puntos ser´ıan cr´ıticos con lo que f no ser´ıa funci´on de Morse. Se trata de averiguar qu´e variedad es M .

Pues bien, comencemos situando M verticalmente:

• Por encima de {z = f (a)} no hay puntos de la superficie.

• Entre f (a) y f (b) todos los valores son regulares, con lo que la fibra de cada uno de ellos es una circunferencia.

• El punto b es cr´ıtico de ´ındice uno, as´ı que localmente f−1_{(f (b)) es como dos rectas. De}

hecho, como las fibras son todas compactas, es como una lemniscata.

• Entre f (b) y f (c) todos los valores son regulares: la fibra de cada uno de ellos es la uni´on de dos circunferencias.

• El punto c es cr´ıtico de ´ındice uno, as´ı que localmente f−1(f (c)) es como dos rectas. Como en el caso de b, resulta que f−1(f (c)) es como una lemniscata.

• Entre f (c) y f (d) todos los valores son regulares, con lo que la fibra de cada uno de ellos es una circunferencia.

• Por debajo de {z = f (d)} no hay puntos de la superficie.

Por tanto, la superficie M es un toro. Lo que hemos hecho no es una demostraci´on rigurosa, pero deja de manifiesto que el car´acter de cada punto cr´ıtico limita el del siguiente. En el ejemplo propuesto no hay m´as posibilidades que la que hemos indicado. El siguiente teorema va en la misma l´ınea.

Proposici´on 8.28 Si una variedad compacta M de dimensi´on n admite una funci´on de Morse con s´olo dos puntos cr´ıticos, entonces la variedad es homeomorfa a la esfera Sn.

Observaci´on 8.29 En el contexto en que estamos trabajando de Topolog´ıa Diferencial se esper- ar´ıa que el resultado anterior estableciera que M fuera difemorfa a Sn y no s´olo homeomorfa. Sin embargo esto no se podr´a obtener en general, pues en Sn, para n ≥ 7 pueden definirse difer- entes estructuras diferenciables no difeomorfas entre s´ı (las esferas ex´oticas de Milnor), con lo que no puede garantizarse que M sea difeomorfa a una de ellas concreto.

El siguiente resultado62asegura que existen siempre muchas funciones de Morse. Para demostrar- lo hace falta definir una topolog´ıa en el conjunto de funciones diferenciables {f : M → R}, pero vamos a omitir los detalles.

Proposici´on 8.30 El conjunto de funciones de Morse de una variedad en R es un abierto denso en el conjunto de funciones diferenciables de clase s ≥ 2 dotado de la topolog´ıa fuerte.

Observaci´on 8.31 Demostraremos m´as adelante que existe relaci´on entre las funciones de Morse y la caracter´ıstica de Euler de una variedad compacta. De hecho, probaremos que

κ(M ) =

n

X

k=0

(−1)kνk

siendo n = dim(M ) y νk el n´umero de puntos de ´ındice k:

As´ı, en concreto, en el Ejemplo 8.27 tenemos κ(M ) = (−1)0_·1+(−1)1_·2+(−1)2_{·1 = 1−2+1 = 0,}

esto es, M es un toro.

Y en el caso de la esfera, uno de los puntos cr´ıticos es de ´ındice 2 y el otro de ´ındice 0 con lo que se tiene κ(S2) = (−1)0· 1 + (−1)1_{· 0 + (−1)}2_{· 1 = 1 − 0 + 1 = 2, como deb´ıa ocurrir.}

Observaci´on 8.32 Una demostraci´on del Teorema de Clasificaci´on de Superficies, puede en- contrarse a lo largo de los cap´ıtulo 6 y 7 del libro citado de Wallace63.