EXAMEN FINAL DE JUNIO (11/06/99)
SOLUCIONES
Ejercicio 1. Para cada a2R se considera el subespacio vectorial
V(a)=L(f (1;a;1;1);(1;a;1 a;0);(0;1;2a;2);(1;1+a;1+a;2)g)
1. Hallar una base de V(a).
2. Estudiar si, paraalgun a2R, el vector u=(1;1+a;1+2a;a+3) pertenece a V(a).
3. Obtener las dimensiones de los subespacios V(0)+V(1) y V(0)\V(1).
Solucion: 1. 0 B B @ 1 a 1 1 0 1 2a 2 1 a 1 a 0 1 1+a 1+a 2 1 C C A ! 0 B B @ 1 a 1 1 0 1 2a 2 0 0 a 1 0 1 a 1 1 C C A ! 0 B B @ 1 a 1 1 0 1 2a 2 0 0 a 1 0 0 a 1 1 C C A ! 0 B B @ 1 a 1 1 0 1 2a 2 0 0 a 1 0 0 0 0 1 C C A
luego una basede V(a) es:
B V(a) =fu 1 =(1;a;1;1);u 2 =(0;1;2a;2);u 3 =(0;0;a;1)g 2. 0 B B @ u 1 u 2 u 3 u 1 C C A = 0 B B @ 1 a 1 1 0 1 2a 2 0 0 a 1 1 1+a 1+2a a+3 1 C C A ! 0 B B @ 1 a 1 1 0 1 2a 2 0 0 a 1 0 1 2a a+2 1 C C A ! 0 B B @ 1 a 1 1 0 1 2a 2 0 0 a 1 0 0 0 a 1 C C A
luego u2V(a)sysolo sa=0. 3. Puesto que B V(0) =f(1;0;1;1);(0;1;0 ;2 );(0;0;0;1 )g y B V(1) =f(1;1;1;1);(0;1;2 ;2 );(0;0;1;1 )g entonces V(0)+V(1)=L B V(0) [B V(1) =R 4
de dondedim(V(0)+V(1))=4, ydeaqu:
dim(V(0)\V(1))=dimV(0)+dimV(1) dim(V(0)+V(1))=3+3 4=2
Ejercicio 2. Sea f : R 4
!IP 2
(R) una aplicacion lineal dada por
f(a;b;c;d)=(a+b)x 2
2. Calcular las ecuaciones implcitas de Kerf y las parametricas de Imf, especi - cando una base de cada uno de ellos.
3. Razonar si f es monomor smo (inyectiva), epimor smo (sobreyectiva), isomor- smo (biyectiva).
Solucion:
1. Considerandolabase canonica B c de R 4 yla usualB = 1;x;x 2 de IP 2 (R), f(a;b;c;d)=(c d;b;a+b)= 0 @ 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 A 0 B B @ a b c d 1 C C A luego M(f;B c ;B)= 0 @ 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 A
2. Lasecuaciones implcitasdel nucleoson:
f(a;b;c;d)=(c d;b;a+b)=0=) 8 < : c d=0 b=0 a+b=0 =) 8 < : a=0 b=0 c d=0
luego una basedel nucleo esB Kerf =f(0;0;1;1)g. La imagenes Imf =L(f f(1;0;0;0);f(0;1;0;0);f(0;0 ;1 ;0) ;f(0;0;0;1 )g) =L(f (0;0;1);(0;1;1);( 1;0;0 );( 1;0;0 )g) =L (1;0;0)=1;(0;1;0)=x;(0;0;1)=x 2 =IP 2 (R)
luego susecuaciones parametricas yuna baseson: 8 < : p 0 = p 1 = p 2 = ; ; ; 2R y B Imgf = 1;x;x 2 3. Kerf 6=f0g=) f noes monomor smo Imf =IP 2 (R) =)f es epimor smo =)f no esisomor smo
Ejercicio 3. Sea la matriz
A= 0 @ 0 1 1 1 2 1 1 1 0 1 A
1. Hallar los autovalores de A, los subespacios propios asociados y la matriz P de cambio de base talque D=P
1 AP.
2. Demostrar que si y son dos autovalores distintos del endomor smo f, y u y v son autovectores de f asociados a y , respectivamente, entonces el conjunto fu;vg es linealmente independiente.
P()=jA Ij= 1 1 1 2 1 1 1 = ( 1) 2 =0=) =0 (simple) =1 (doble)
Los subespacios propiosson:
S(0)= 8 < : v : (A 0I)v= 0 @ 0 1 1 1 2 1 1 1 0 1 A 0 @ x y z 1 A =0 9 = ; = 8 < : v : y z=0 x+2y z=0 x+y=0 9 = ; = v : x y=0 y z=0 =L(f (1;1;1)g) S(1)= 8 < : v : (A I)v= 0 @ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 0 @ x y z 1 A =0 9 = ; =fv : x+y z=0g =L(f (1;0; 1);(0;1;1)g)
Puesto queelsubespaciopropioasociadoalautovalor demultiplicidaddostienedimension dos,la matrizesdiagonalizable,siendolamatrizdiagonalylamatrizdelcambiodebase,respectivamente:
D= 0 @ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 A y P = 0 @ 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 A con D=P 1 AP.
2. Consultar lateorade laasignatura.
Ejercicio 4. Consideremos el subespacio vectorial S= (x;y;z)2R 3 : x+z=0 .
1. Dar una base ortonormal del subespacio S.
2. Calcular la proyeccion ortogonal de v =(1; 1;1) sobre S, y la distancia de v a S.
3. Obtener las ecuaciones, en la base canonica de R 3
, de la simetra respecto del plano S.
Solucion:
1. Unabase ortogonalde S esB OTG
=f (1;0; 1);(0;1;0)g,luego una baseortonormales:
B OTN = u 1 = 1 p 2 (1;0; 1);u 2 =(0;1;0) 2. proy S v=h v;u 1 iu 1 +h v;u 2 iu 2 = 1 p 2 0u 1 +( 1)u 2 =(0; 1;0) d(v;S)=kproy S ? vk=k v proy S vk=k (1;0;1)k= p 2
B=f u 1 =(1;0; 1);u 2 =(0;1;0);u 3 =(1;0;1)g
En esta base, lamatriz dela simetrarespectodelplano S es
M(f;B)=A= 0 @ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 A
siendola matrizde cambiode labase B a labase canonica B c : M(B;B c )=P = 0 @ 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 A
Luego lamatriz de lasimetrarespectode labasecanonica,ysus ecuacionesson:
M(f;B c )=PAP 1 = 0 @ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 A de donde f(x;y;z)=( z;y; x)
Ejercicio 5. Sea la conica de ecuacion x 2
+y 2
+4xy x+y+1=0.
1. Hallar su ecuacion reducida, dando el giro y la traslacion utilizadas.
2. Hallar el centro y los ejes. Dibujar la conica.
Solucion:
1. La forma matricialde laconica es
x y 1 2 2 1 x y + 1 1 x y +1=0
La matriz asociada ysusautovalores son
A= 1 2 2 1 ; jA Ij= 1 2 2 1 =( 3)(+1) =) 1 =3 2 = 1
Los subespacios propiosson
S(3)= v : (A 3I)v = 2 2 2 2 x y =0 =fv : x y=0g=L(f (1;1)g) S( 1)= v : (A+I)v= 2 2 2 2 x y =0 =fv : x+y =0g=L(f ( 1;1)g)
ylos vectores queformanla baseortonormal deautovectores son
v 1 = 1 p 2 (1;1)2S(3) y v 2 = 1 p 2 ( 1;1)2S( 1)
Aplicandoa laconica elgiro x 1 y 1 =P t x y = 1 p 2 1 1 1 1 t x y = 1 p 2 1 1 1 1 x y
x 1 y 1 P t AP x 1 y 1 + 1 1 P x 1 y 1 +1=0 yoperando: 3x 2 1 y 2 1 + p 2y 1 +1=0=)3x 2 1 y 1 1 p 2 2 = 3 2
Siahora seaplicalatraslacion
( x 1 =x 2 y 1 =y 2 + 1 p 2 sellega a 3x 2 2 y 2 2 = 3 2 =) x 2 2 1 2 y 2 2 3 2 = 1
que eslaecuacion reducidade laconica,que correspondeauna hiperbola.
2. Aplicandolatraslacion yel giro al centro yejes de la conica reducida,se obtienenel centro y ejes de laconica original. Elcentro es
C=(0;0) 2 =)C =(0; 1 p 2 ) 1 =)C= 1 p 2 1 1 1 1 1=2 1=2 =)C = 1 2 ; 1 2
Los ejes sonlas rectasque pasan porel centro ycuyosvectores de direccion son lostrasladados y girados de losvectores (1;0)
2
y(0;1) 2
,quecoincidencon losvectorespropios,luego: ( x+ 1 2 1 = y 1 2 1 x+ 1 2 1 = y 1 2 1 =) x+y=0 x y+1=0
La representacion gra cade laconica eslade la gura.
Figure1: Representacion gra cade laconica x 2
+y 2
EXAMEN FINAL DE JUNIO (11/06/99)
Ejercicio 1. (15puntos)
Paracadaa2R seconsiderael subespaciovectorial
V(a)=L(f (1;a;1;1);(1;a;1 a;0);(0;1;2a;2);(1;1+a;1+a;2)g)
1. Hallar una basede V(a).
2. Estudiarsi,paraalgun a2R, el vector u=(1;1+a;1+2a;a+3) pertenece a V(a).
3. Obtener lasdimensiones de lossubespacios V(0)+V(1) yV(0)\V(1).
Ejercicio 2. (15puntos) Sea f : R
4
!IP 2
(R) una aplicacionlinealdadaporf(a;b;c;d)=(a+b)x 2
+bx+(c d).
1. CalcularlamatrizdelaaplicacionconrespectoalasbasescanonicasdeR 4
yusualdeIP 2
(R) .
2. CalcularlasecuacionesimplcitasdeKerf ylasparametricasdeImf,especi candounabase de cadauno de ellos.
3. Razonar si f es monomor smo (inyectiva), epimor smo (sobreyectiva), isomor smo (biyec- tiva). Ejercicio 3. (20puntos) Sea lamatriz A= 0 @ 0 1 1 1 2 1 1 1 0 1 A
1. Hallar los autovalores de A, los subespacios propios asociados y la matriz P de cambio de base talque D=P
1 AP.
2. Demostrar que si y son dos autovalores distintos del endomor smo f, y u y v son au- tovectoresdef asociadosay,respectivamente,entonceselconjuntof u;vgeslinealmente independiente.
Ejercicio 4. (25puntos)
ConsideremoselsubespaciovectorialS = (x;y;z)2R 3 : x+z=0 .
1. Dar una baseortonormal delsubespacio S.
2. Calcular laproyeccion ortogonal de v=(1; 1;1) sobre S,yla distanciadev a S.
3. Obtener lasecuaciones, en labase canonica de R 3
,dela simetrarespecto delplano S.
Ejercicio 5. (25puntos) Sea laconica deecuacion x
2 +y
2
+4xy x+y+1=0.
1. Hallar suecuacion reducida,dandoelgiro yla traslacionutilizadas.
EXAMEN FINAL DE SEPTIEMBRE (15/09/99) SOLUCIONES Ejercicio 1. Sea f : IP 2 (R) !IP 2 (R) dada por f ax 2 +bx+c =2(a c)x 2 +(c a)x+b+2c
1. Calcular la matriz de la aplicacion f con respecto a la base usual de IP 2
(R) .
2. Calcular las ecuaciones implcitasde Kerf ylas ecuaciones parametricasde Imf, especi cando una base de cada uno de ellos.
3. Razonar si f es isomor smo (biyectiva).
4. Calcular f 1 L 2x 2 x+1 . Solucion: 1. SiB = 1;x;x 2 es labaseusualde IP 2 (R), entonces f(c;b;a)=(b+2c;c a;2a 2c)= 0 @ 2 1 0 1 0 1 2 0 2 1 A 0 @ c b a 1 A =)M(f;B)=A= 0 @ 2 1 0 1 0 1 2 0 2 1 A
2. Lasecuaciones implcitasdel nucleoson
f(c;b;a)= 0 @ 2 1 0 1 0 1 2 0 2 1 A 0 @ c b a 1 A =0=) 8 < : 2c+b=0 c a=0 2c+2a=0 =)Kerf c a=0 2c+b=0
de dondelas ecuacionesparametricas, yuna basedel nucleo,son
Kerf 8 < : c= b= 2 a= =)B Kerf =f(1; 2;1)g= 1 2x+x 2
La imagen eselsubespacio generadoporlas columnasde lamatriz,luego
A t = 0 @ 2 1 2 1 0 0 0 1 2 1 A ! 0 @ 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 A =)Imf =L( f(1;0;0);(0;1; 2)g)
de dondeuna basede la imagen,y susecuacionesparametricas,son
B Imf =f(1;0;0);(0;1; 2)g= 1;x 2x 2 e Imf 8 < : c 0 = b 0 = a 0 = 2
L 2x 2 x+1 =L(f (1; 1;2)g)=) 8 < : c 0 = b 0 = a 0 =2 =) c 0 +b 0 =0 2c 0 a 0 =0 yentonces f 1 L 2x 2 x+1 = (c;b;a) : f(c;b;a)=(b+2c;c a;2a 2c)2L 2x 2 x+1 = (c;b;a) : (b+2c)+(c a)=0 2(b+2c) (2a 2c)=0 =f (c;b;a) : 3c+b a=0g = 8 < : (c;b;a) : c= b= a=3+ 9 = ; =L( f(1;0;3);(0;1;1)g) =L 1+3x 2 ;x+x 2 Ejercicio 2. Sea A= 0 @ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 A
la matriz de una aplicacion ortogonal f : R 3
! R 3
en la base canonica. Clasi car la aplicacion f dando el plano de simetra y/o el eje y angulo de giro, en su caso.
Solucion: jA Ij= 1 0 0 1 1 0 = 3 +1= ( 1)( 2 ++1)
Puesto que=1eselunicoautovalor real,ysumultiplicidadesuno,laaplicacionf esungiro de eje S(1). Lasecuacionesde S(1) son:
0 @ 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 A 0 @ x y z 1 A =0=) x y=0 x+z=0
quecorrespondea larectax=y= z quepasaporelorigenconvector dedireccion(1;1; 1). El angulo de giro es =arccos traza(A) 1 2 =arccos 1 2 =120 o = 2 3
Ejercicio 3. Probar que si fv 1
;;v k
g es un conjunto ortogonal de vectores en un espacio eucldeo V, entonces el conjunto fv
1 ; ;v
k
g es linealmente independiente. Solucion: Consultarla teorade laasignatura.
S = (x;y;z;u)2R 4 : x+z u=0 Se pide:
1. Dar una base ortonormal de S.
2. Hallar el complementario ortogonal de S.
3. Calcular la proyeccion ortogonal de v =(1;1;1;1) sobre S y la distancia de v a S.
Solucion:
1. Lasecuaciones parametricas yuna basede S son 8 > > < > > : x= + y = z= u= =)B=fv 1 =(1;0;0;1);v 2 =(0;1;0;0);v 3 =( 1;0;1;0)g
Aplicandoelprocesode ortogonalizacion de Gram-Schmidt:
u 1 =v 1 =(1;0;0;1) u 2 =v 2 =(0;1;0;0) u 3 =v 3 h v 3 ;u 1 i k u 1 k 2 u 1 hv 3 ;u 2 i ku 2 k 2 u 2 =( 1;0;1;0) 1 2 (1;0;0;1) 0 1 (0;1;0;0) = 1 2 ;0;1; 1 2
con loque seobtienela baseortogonal:
B OTG
=f(1;0;0;1);(0;1;0 ;0 );(1;0; 2; 1) g
y, normalizando,labase ortonormal:
B OTN = w 1 = (1;0;0;1) p 2 ;w 2 =(0;1;0;0);w 3 = (1;0; 2; 1) p 6 2. La dimensionde S ? es dimS ? =dimR 4 dimS=4 3=1 luego S ? =fw=(a;b;c;d) : h w;w 1 i=hw;w 2 i=h w;w 3 i=0g= 8 < : w=(a;b;c;d) : a+d=0 b=0 a 2c d=0 9 = ; =fw=(;0;; ) : 2Rg=L( fw =(1;0;1; 1)g) 3. Siv=(1;1;1;1), entonces proy S v=h v;w 1 iw 1 +hv;w 2 iw 2 +hv;w 3 iw 3 = 2 p 2 0w 1 +1w 2 + 2 p 6 w 3 =(1;0;0;1)+(0;1;0;0)+ 1 3 ;0; 2 3 ; 1 3 = 2 3 ;1; 2 3 ; 4 3 d(v;S) =k proy S ?vk=k v proy S vk= 1 3 ;0; 1 3 ; 1 3 = 1 p 3
1. Hallar su ecuacion reducida, dando el giro y la traslacion utilizadas.
2. Hallar el centro y los ejes. Dibujar la conica del enunciado.
Solucion:
1. La forma matricialde laconica es
x y 3 1 1 3 x y 2=0
La matriz asociada ysusautovalores son
A= 3 1 1 3 ; jA Ij= 3 1 1 3 =( 2)( 4)=) 1 =2 2 =4
Los subespacios propiosson
S(2)= v : (A 2I)v= 1 1 1 1 x y =0 =fv : x y=0g=L(f(1;1)g) S(4)= v : (A 4I)v= 1 1 1 1 x y =0 =fv : x+y=0g=L(f( 1;1)g)
ylos vectores queformanla baseortonormal deautovectores son
v 1 = 1 p 2 (1;1)2S(2) y v 2 = 1 p 2 ( 1;1) 2S(4)
Aplicandoa laconica elgiro x 1 y 1 =P t x y = 1 p 2 1 1 1 1 t x y = 1 p 2 1 1 1 1 x y
con centro elorigenyangulo 45 o ,seobtiene x 1 y 1 P t AP x 1 y 1 2=0 yoperando: 2x 2 1 +4y 2 1 =2=)x 2 1 + y 2 1 1 2 =1
que es la ecuacion reducida de la conica, que corresponde a una elipse. No es necesario usar traslaciones.
2. Aplicandoelgiroalcentroyejesde laconica reducida,seobtienenel centroyejesdelaconica original. Porlotanto, el centrode laconica eselorigen, ylos ejes sonlas rectasque pasanporel centro y cuyos vectores de direccion sonlos girados de los vectores (1;0)
1
y (0;1) 1
, quecoinciden con los vectores propios,luego:
x 1 = y 1 x 1 = y 1 =) x+y=0 x y=0
EXAMEN FINAL DE SEPTIEMBRE (15/09/99) Ejercicio 1. (25puntos) Sea f : IP 2 (R) !IP 2 (R) dadapor f ax 2 +bx+c =2(a c)x 2 +(c a)x+b+2c
1. Calcular lamatriz de laaplicacionf con respecto alabase usualde IP 2
(R) .
2. Calcular las ecuaciones implcitas de Kerf y las ecuaciones parametricas de Imf, especi - candouna base de cadauno deellos.
3. Razonar sif esisomor smo(biyectiva).
4. Calcular f 1 L 2x 2 x+1 . Ejercicio 2. (15puntos) Sea A= 0 @ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 A
la matriz de una aplicacion ortogonal f : R 3
! R 3
en la base canonica. Clasi carla aplicacion f dandoelplanode simetray/o eleje yangulo degiro, en sucaso.
Ejercicio 3. (10puntos) Probarquesif v
1 ; ;v
k
g esunconjuntoortogonalde vectoresenunespacioeucldeoV,entonces el conjunto fv 1 ;;v k ges linealmenteindependiente. Ejercicio 4. (25puntos) En elespacio eucldeoR
4
,con el productoescalar usual,seconsiderael subespaciovectorial
S = (x;y;z;u)2R 4 : x+z u=0 Se pide:
1. Dar una baseortonormal deS.
2. Hallar elcomplementarioortogonal deS.
3. Calcular laproyeccion ortogonal de v=(1;1;1;1) sobre S yla distanciade v aS.
Ejercicio 5. (25puntos)
Se consideralasiguiente conica: 3x 2
+3y 2
2xy 2=0.
1. Hallar suecuacion reducida,dandoelgiro yla traslacionutilizadas.
PARCIAL (31/03/00) GRUPO 12M
SOLUCIONES
Problema 1. En R 4
se consideran los subespacios
S=L( f(1;0; 1;2);(1;1;1 ; 1);(1 ; 2; 5;8 )g) T =f (x 1 ;x 2 ;x 3 ;x 4 ) : x 1 2x 2 3x 3 =0; x 2 +2x 3 x 4 =0g
(a) Halla, si es posible, un subespacio que sea a la vez suplementario de S y de T.
(b) Hallala dimension y una base de los subespacios S\T y S+T.
(c) Hallalasecuaciones implcitasdel hiperplano paraleloa S que pasa porlos puntos A(1;0;2; 1) y B(2; 1;3;1).
Solucion:
(a) Sehallauna base de S: 0 @ 1 0 1 2 1 1 1 1 1 2 5 8 1 A ! 0 @ 1 0 1 2 0 1 2 3 0 2 4 6 1 A ! 0 @ 1 0 1 2 0 1 2 3 0 0 0 0 1 A de dondeB S =f u 1 =(1;0; 1;2);u 2 =(0;1;2; 3)g,yuna basede T: x 1 2x 2 3x 3 =0 x 2 +2x 3 x 4 =0 =) 8 > > < > > : x 1 = +2 x 2 = 2 + x 3 = x 4 = ; ; 2R de dondeB T =f v 1 =( 1; 2;1;0);v 2 =(2;1;0;1)g,omejor: 1 2 1 0 2 1 0 1 ! 1 2 1 0 0 3 2 1 =)B 0 T = v 0 1 =(1;2; 1;0);v 0 2 =(0; 3;2;1)
Estasdosbases sepuedenextender,con losvectores e 3 =(0;0;1;0) ye 4 =(0;0;0;1), paraformar una base deR 4 ,luego R =L( f(0;0;1;0);(0;0;0 ;1 )g)
es, a lavez, suplementariode S yde T. (b) S+T esel subespaciogeneradoporB
S [B T ,luego 0 B B @ 1 0 1 2 0 1 2 3 1 2 1 0 2 1 0 1 1 C C A ! 0 B B @ 1 0 1 2 0 1 2 3 0 2 0 2 0 1 2 3 1 C C A ! 0 B B @ 1 0 1 2 0 1 2 3 0 0 4 4 0 0 0 0 1 C C A ! 0 B B @ 1 0 1 2 0 1 2 3 0 0 1 1 0 0 0 0 1 C C A de donde B S+T =f(1;0; 1;2);(0;1;2; 3);(0 ;0;1; 1)g y dim(S+T)=3
2 3( +2 )=0 +2( +2 ) (2 3 )=0 =) 2 =0=) =2 Luego S\T =fu=2 u 1 + u 2 =(2 ; ;0; ) : 2Rg =L(f (2;1;0;1)g) yB S\T =f (2;1;0;1)g. (c) Puesto queS =L(fu
1 =(1;0; 1;2);u 2 =(0;1;2; 3)g),elhiperplanopedido es H ! OA+L n u 1 ;u 2 ; ! AB o con !
AB=(1; 1;1;2), cuyasecuacionesparametricas son: 8 > > < > > : x 1 =1+ + x 2 = x 3 =2 +2 + x 4 = 1+2 3 +2 ; ; ; 2R
Eliminandoparametros: 0 B B @ 1 0 1 x 1 1 0 1 1 x 2 1 2 1 x 3 2 2 3 2 x 4 +1 1 C C A ! 0 B B @ 1 0 1 x 1 1 0 1 1 x 2 0 2 2 x 1 +x 3 3 0 3 0 2x 1 +x 4 +3 1 C C A ! 0 B B @ 1 0 1 x 1 1 0 1 1 x 2 0 0 4 x 1 2x 2 +x 3 3 0 0 3 2x 1 +3x 2 +x 4 +3 1 C C A ! 0 B B @ 1 0 1 x 1 1 0 1 1 x 2 0 0 4 x 1 2x 2 +x 3 3 0 0 0 5x 1 +6x 2 +3x 3 +4x 4 +3 1 C C A
laecuacion implcitadelhiperplanoes5x 1 6x 2 3x 3 4x 4 =3. Problema 2. Sea f : P 2 (R) !R 3
la aplicacion lineal de nida por
f a+bx+cx 2
=( a+2b+c;b+c; a+b+2c)
(a) Halla su matriz (respecto de las bases canonicas) y bases del nucleo e imagen.
(b) Hallauna base de f 1
(L( f(2;1;1)g) ).
(c) >Es un subespacio vectorial la imagen de todos los polinomios que se anulan en x=0? En caso a rmativo, halla una base de dicho subespacio.
(d) Si S es un subespacio suplementario de Imf en R 3 , >quien es f 1 (S)? Solucion:
(a) Lamatriz de laaplicacion lineales
f a+bx+cx 2 =f(a;b;c)= 0 @ 1 2 1 0 1 1 1 1 2 1 A 0 @ a b c 1 A =)M( f;B c ;B c )= 0 @ 1 2 1 0 1 1 1 1 2 1 A
@ 1 0 1 2 1 1 1 1 2 A ! @ 1 0 1 0 1 3 0 1 3 A ! @ 1 0 1 0 1 3 0 0 0 A =)B Imf =f(1;0; 1);(0;1;3)g
Las ecuacionesdelnucleo son:
f(a;b;c)=0=) 8 < : a+2b+c=0 b+c=0 a+b+2c=0 =) a+b=0 b+c=0 =) 8 < : a= b= c= ; 2R yuna base B Kerf = (1; 1;1)=1 x+x 2 .
(b) Se hallanlasecuaciones implcitasde L(f(2;1;1)g): 8 < : x=2 y= z= ; 2R =) x 2y =0 x 2z=0 yentonces f 1 (L(f (2;1;1)g) )=f p=(a;b;c) : f(a;b;c)=(a+2b+c;b+c; a+b+2c)2L( f(2;1;1)g) g = p=(a;b;c) : a+2b+c 2(b+c)=0 a+2b+c 2( a+b+2c)=0 =f p=(a;b;c) : a c=0g Unabase es a c=0=) 8 < : a= b= c= ; ; 2R =)B = (1;0;1)=1+x 2 ;(0;1;0) =x
(c)Si,pueselconjuntoP detodoslospolinomiosqueseanulanenx=0esunsubespaciovectorial:
P = p=p(x)=a+bx+cx 2 : p(0)=0 = p=bx+cx 2 : b;c2R =L x;x 2 Ademas f(P)=L f(x);f(x 2 ) =L(f f(0;1;0);f(0;0;1)g)=L( f(2;1;1);(1;1;2)g) de dondeB f(P) =f (2;1;1);(1;1;2)g. (d) SiR 3 =SImf,entonces S\Imf =f0g , dedonde f 1 (S)=f 1 (0)=Kerf
PARCIAL (31/03/00) GRUPO 12M
Problema 1. En R
4
se consideranlossubespacios
S=L( f(1;0; 1;2);(1;1;1 ; 1);(1 ; 2; 5;8 )g) T =f (x 1 ;x 2 ;x 3 ;x 4 ) : x 1 2x 2 3x 3 =0; x 2 +2x 3 x 4 =0g
(a) (4 puntos) Halla,si esposible,unsubespacioquesea ala vez suplementariode S yde T.
(b) (4 puntos) Hallaladimension yuna basede lossubespaciosS\T yS+T.
(c) (4 puntos) HallalasecuacionesimplcitasdelhiperplanoparaleloaS quepasaporlospuntos A(1;0;2; 1) yB(2; 1;3;1). Problema 2. Sea f : P 2 (R) !R 3
laaplicacion linealde nidapor
f a+bx+cx 2
=( a+2b+c;b+c; a+b+2c)
(a) (4 puntos) Hallasumatriz (respectode las bases canonicas) ybases delnucleo e imagen.
(b) (4 puntos) Hallauna basede f 1
( L(f(2;1;1)g)) .
(c) (3 puntos) >Es un subespacio vectorial la imagen de todos los polinomiosque se anulan en x=0? Encaso a rmativo, hallaunabase de dicho subespacio.
(d) (2 puntos) SiS es unsubespaciosuplementariode Imf en R 3
,>quien esf 1