Identificación del Sistema

Para efectuar el análisis del comportamiento de la presión en el tope de la Torre T-102, fue necesario obtener un modelo matemático que lo represente. Esto brinda la base sobre las cuales se puede conocer el comportamiento del sistema. El modelo matemático que se desarrolla a partir de un sistema no es único, debido a lo cual se pueden lograr representaciones diferentes del mismo proceso. Estas diferentes representaciones no contradicen una a la otra; contienen información complementaria por lo que se debe encontrar aquella que proporcione la información de interés y más detallada para cada caso en particular.

Para hallar el modelo matemático del comportamiento de la presión fue necesario realizar un experimento en la torre T-102. Este se desarrolló en horas de la mañana para evitar los efectos del aumento de la temperatura ambiental. Fue necesaria una estrecha coordinación con los operadores de la planta para evitar que realizaran acciones correctivas de la variación de presión, con el fin de poder realizar el experimento.

Con la planta funcionando de manera estable, el PIC – 004 se pasó de control automático a manual. La válvula de bypass (PV – 004) se cerró para que todo el flujo de vapores circulara por los enfriadores y, a su vez, observar el comportamiento dinámico del sistema ante la variación del flujo de aire. En el momento del experimento se hallaban funcionando seis de los ocho motores que componen el sistema de enfriamiento, pero el mismo se realizó con un solo motor, que equivale al 17 % de la potencia de enfriamiento en ese momento (es decir, 1 de 6 motores es igual al 17% de la potencia). Por lo tanto, al apagar uno de motores, lo que representa una entrada escalón de un 17%, la presión comenzó a ascender sobrepasando incluso el límite superior de alarma fijado en 0.8 kgf/cm2 g.

De manera natural el sistema se estabilizó alrededor de un valor de presión, momento en el cual se encendió nuevamente el motor. En estas condiciones, la presión comenzó su descenso sobrepasando el límite de alarma inferior de 0.7 kgf/cm2 g, para luego volver a estabilizarse. En la figura 2.2 se puede observar la variación de entrada al sistema dada por el encendido y apagado de uno de los seis motores.

Figura 2.2. Apagado de uno de los seis motores que componen el sistema de enfriamiento. Variación de la entrada en lazo abierto de un escalón del 17% hacia arriba (positivo) y después de estabilizado hacia abajo (negativo).

Los valores obtenidos del indicador transmisor de presión PI – 004, se utilizaron para describir la respuesta del sistema en lazo abierto mientras se desarrollaba el experimento. El comportamiento de la presión es mostrado en la figura 2.3. Se observa como antes de estabilizarse se alcanzan valores picos máximos y mínimos de presión.

Utilizando el toolbox de identificación del MATLAB denominado ident utilizando el método modelo de proceso (process model) y con los datos obtenidos se procedió a la identificación. Recurriendo a varios configuraciones de los modelos tales como primer orden con retardo (P1D), segundo orden polos de reales con retardo (P2D), tercer orden de por los reales con retardo (P3D) además de las configuraciones de segundo y tercer orden con retardo pero con polos complejos conjugados (P2DU y P3DU). Los resultados de la identificación son mostrados en las figuras 2.4 y 2.5.

Figura 2.4. Aproximaciones con modelos de primero, segundo y tercer orden con polos reales y retardo.

Figura 2.5. Aproximaciones con modelos de segundo y tercer orden con polos complejos conjugados y retardo.

El modelo más aproximado con un 64.61 %, se logró con un sistema de segundo orden con retardo. Este sistema presenta una ganancia: Kp = 0.023, los dos polos situados en:

y , el retardo: Td = 9.1837. La función de transferencia queda

de la forma:

(1)

Con el sistema ya identificado, se procede a la búsqueda de un regulador que permita compensar las perturbaciones. Se prueban dos variantes: un regulador PI, con acción proporcional para aumentar la velocidad de respuesta y acción integral para obtener cero error en estado estable durante el control de la presión (Corripio, 1998) y un PID que adiciona además una acción derivativa confiriéndole al controlador características de anticipar la acción de control lo que se interpreta como velocidad de reacción (Smith and Corripio, 1997). Del análisis de los resultados podrá decidirse la mejor opción.

Para el diseño del controlador o regulador se utilizó el método del lugar geométrico de las raíces. Este es un enfoque gráfico que permite determinar las ubicaciones de todos los polos en lazo cerrado a partir de las ubicaciones de los polos y ceros en lazo abierto conforme algún parámetro varía de cero al infinito. El método produce un indicio claro de los efectos del ajuste del parámetro. En esencia, los lugares geométricos de las raíces del sistema se vuelven a construir mediante el uso de un compensador (Ogata, 1997).

Utilizando la herramienta de diseño sisotool, una interfaz gráfica de usuario que permite el diseño de compensadores de simple-entrada/simple-salida (SISO) de forma gráfica, interactuando entre otros con el lugar geométrico de raíces del sistema en lazo abierto. Partiendo de la función de transferencia del sistema (1), se procedió a determinar un la ganancia dada por el elemento de acción final, en este caso un variador de velocidad que en relación con la salida del regulador (4 – 20 mA), convierte esta señal a un equivalente en la velocidad del motor eléctrico (880 rpm). La relación de rpm por mA está dada en:

Se realizó la aproximación por PADE del retardo Td = 9.1837 de orden dos resultando de la siguiente forma la función transferencial.

(3)

Se logra la función de transferencia GH con la multiplicación de las ecuaciones (1), (2) y (3):

(4)

Se procede a diseñar primeramente un regulador PI para este sistema. En la interfaz gráfica

Control and Estimation Tools Manager (Anexo 1), se inserta un polo en el origen y un cero real en -0.000283 lo más cercano posible al polo dominante (-0.0003) de la función de transferencia del modelo (1). Mediante la manipulación de la ganancia (llegando al valor: 0.0021) se logra el mejor ajuste para lograr estabilidad en la presión en el tope. La representación del lugar geométrico de las raíces del sistema con regulación es mostrada en la figura 2.6.

Un regulador PI posee la siguiente estructura:

(5)

El software MATLAB en Control and Estimation Tools Manager presenta el compensador (C) de la siguiente forma:

(6)

La ecuación del regulador PI se puede desarrollar como:

(7)

Al igualar las dos ecuaciones (6 y 7) se obtiene:

Ganancia (K): K/Ti = 0.0021, por lo que K= 7.35.

Tiempo integral (Ti) = 3500 segundos.

El PI final queda conformado:

Figura 2.6. Lugar geométrico de las raíces del modelo SORT con regulador PI.

Se procede ahora a diseñar un regulador PID para el sistema. Para ello se siguen los mismos pasos que el caso anterior, con la diferencia de que se cuenta con un cero adicional. En la ventana Control and Estimation Tools Manager se inserta un polo en el origen, un cero real en: -0.0002 y otro en -0.01. Se manipula la ganancia hasta llegar al valor: 0.095 donde se logra la respuesta deseada. Obteniendo el siguiente regulador PID y la siguiente representación del lugar geométrico de las raíces que es mostrada en la figura 2.7.

El regulador PID posee la siguiente estructura:

(9)

El software MATLAB presenta el compensador (C) de la siguiente forma:

(10)

(11)

La ecuación del regulador PID se puede desarrollar como:

(12)

Al igualar las ecuaciones (11) y (12) se obtiene:

Ganancia (K): K/Ti = 0.095, por lo que K= 484.5.

Tiempo integral (Ti) = 5100 segundos.

Tiempo derivativo (Td) = 98 segundos.

El PID final queda conformado:

(13)

La variante por modelo de primer orden brinda un 47.79% de aproximación. Aunque su acercamiento al comportamiento real de la variable es menor que con un modelo de tercer y segundo orden, por su sencillez se utiliza para brindar otra idea de la posibilidad de ajuste.

Función transferencial del sistema de primer orden:

(14)

Para el ajuste de un controlador PI se siguen los mismos pasos anteriores. Se multiplica la función de transferencia por la ganancia aportada por el elemento de acción final (variador de velocidad) y por la función de transferencia de un PADE de 2 orden realizado al retardo.

Ganancia del variador de velocidad: 55.

(15)

Función de transferencia resultante de la multiplicación:

(16)

Se insertó un polo en el origen y un cero en -0.00017 teniendo en cuenta la ubicación del polo del sistema, ajustando la ganancia hasta un valor de 0.0065445 se obtuvo la respuesta deseada. Obteniendo el siguiente regulador PI y la siguiente representación del lugar geométrico de las raíces mostradas en la figura 2.8.

El software MATLAB en Control and Estimation Tools Manager presenta el compensador (C) de la siguiente forma:

(17)

La ecuación del regulador PI se puede desarrollar como es mostrado en la ecuación (7)

Al igualar las dos ecuaciones (7 y 17) se obtiene:

Ganancia (K): K/Ti = 0.0065999, por lo que K = 38.9394

Tiempo integral (Ti) = 5900 segundos.

(18)

Figura 2.8. Lugar geométrico de las raíces del modelo PORT con regulador PI.