Tal y como se ha expuesto con anterioridad, el interés por abordar la determinación de los órdenes de procesos ARMA y, por extensión, de modelos ARIMA univariantes y multivariantes, constituye un tópico de interés considerable en la literatura de series temporales.
En este sentido, durante las dos últimas décadas diversos intentos han ido dirigidos a desarrollar procedimientos para la identificación de los órdenes en modelos ARMA. Nuestro propósito a continuación se centra en presentar, de
forma suscinta, una revisión de los diferentes métodos que se han sugerido en la identificación de tales modelos.12
El procedimiento tradicional en la identificación de este tipo de formulaciones es el que proponen Box y Jenkins (1976), cuya propuesta descansa en la utilización de la información contenida en la representación numérica y gráfica de las funciones de autocorrelación muestral y autocorrelación parcial de la serie, en su caso, apropiadamente diferenciada. En tal caso, y a través del criterio de parsimonia, se realiza la identificación tentativa de algún modelo, esto es, la identificación de los órdenes de los esquemas autorregresivos y/o medias móviles, tanto en la parte regular como estacional, para proceder finalmente a la identificación de la existencia o no de término independiente.13
El interés por profundizar en el estudio de la especificación dinámica en este tipo de modelos ha permitido el desarrollo de diversos métodos alternativos de identificación, entre los que podemos destacar métodos de determinación basados en:
* errores de predicción un período adelante, esto es, métodos basados en la capacidad predictiva de los modelos que se formulan, entre los cuales cabe a su vez citar:
- El criterio del error de predicción final (EPF), propuesto por Akaike (1970) para la determinación del orden en procesos AR y que él mismo generalizó posteriormente a la selección de procesos AR multivariantes. Una recopilación de
12Véase, entre otros, Huyberechts (1982), Gooijer et al (1985), Mélard (1990), Choi (1992),
Berlinet y Francq (1994) para una amplia revisión de estos métodos.
13Un tratamiento detallado de esta aproximación se encuentra, entre otros, en Pankratz (1983) y
sus aplicaciones mediante el uso de técnicas de regresión, procesos vectoriales, tests de causalidad, etc se encuentra en Choi (1992).
- Los criterios de validación cruzada, propuestos inicialmente en el contexto de los modelos de regresión lineal, hacen uso del error que aparece cuando el valor actual se predice a partir de observaciones pasadas y futuras. Estos métodos han sido objeto de diversos trabajos en el campo del análisis de series temporales (Stoica, Eykhoff, Jansen y Söderström, 1986)14.
- El criterio para funciones de transferencia autorregresivas (CAT) propuesto por Parzen (1974), constituye una herramienta estrechamente relacionada con el EPF para la identificación del orden de procesos AR univariantes y multivariantes a través del uso de la teoría espectral.
*medidas de información, donde el método más conocido es el criterio de información de Akaike (AIC) (Akaike, 1971). Este método, que descansa sobre los conceptos de teoría de la información, se ha utilizado para la selección de modelos óptimos en varios campos de la estadística, incluyendo el análisis de series temporales. En este sentido, su aplicación a procesos ARMA gaussianos como alternativa a la metodología Box-Jenkins parece justificable. Otras aplicaciones se encuentran en el análisis factorial y en el ajuste polinomial.
*métodos bayesianos, que hacen uso del conocimiento previo de los parámetros de un modelo en la forma de una función de densidad de probabilidad. Diversos criterios bayesianos se han propuesto en la literatura econométrica para la identificación de modelos ARMA. Entre éstos podemos citar el criterio S (Schwarz, 1978), el criterio de información bayesiana (BIC) (Akaike, 1979), el criterio RC (Rissanen, 1978), el criterio de estimación bayesiana (BEC) (Geweke
y Meese, 1981) y el criterio HQ (Hannan y Quinn, 1979), posteriormente generalizado para modelos AR vectoriales.
La utilidad de estos métodos bayesianos se justifica por un lado, en que incorporan alguna forma de ajuste a la información previa sobre la estructura del modelo y tamaño muestral y, por otro lado, en que introducen una mayor penalización a la sobreparametrización del modelo con respecto a otro tipo de criterios.
*Algunos procedimientos de estimación lineal entre los que cabe la técnica de regresión instrumental, cuyo empleo para la modelización ARMA ha sido propuesto por Hannan y Rissanen (1982). Este método, que proporciona estimaciones consistentes de los órdenes, consiste en ajustar las observaciones actuales a observaciones pasadas y a valores estimados de las innovaciones pasadas.
En relación a este tipo de métodos, Koreisha y Pukkila (1990) han propuesto diversos procedimientos de estimación lineal para la modelización ARMA, que proporcionan estimaciones precisas y rápidas en comparación con el número de iteraciones necesario para calcular las estimaciones máximo verosímiles, especialmente cuando los valores de los parámetros están próximos a las regiones de no invertibilidad o no estacionariedad.
Así mismo, estos autores, basándose en el procedimiento de estimación lineal anterior, proponen posteriormente un método en la identificación de modelos ARMA que, de forma iterativa, consigue seleccionar apropiadamente los órdenes del proceso una vez se consigue que los residuos de la estructura ajustada sean ruido blanco.
* teoría de contrastes de hipótesis estadísticas, entre los que cabe citar el test basado en el ratio de verosimilitud (Whittle, 1954), el test de Wald (Anderson,
1971) y el test del multiplicador de Lagrange (Hosking, 1980) que permiten la selección de los órdenes apropiados a partir de un procedimiento de contrastación secuencial de hipótesis.
* teoría de realización estocástica o determinística, que poseen una base común que permite dar un tratamiento unificado al proceso de identificación; entre ellos destacan:
En primer lugar, la función de autocorrelación invertida, propuesta por Cleveland (1972) para la identificación de modelos ARMA. Si bien esta herramienta juega el mismo papel que la función de autocorrelación parcial en el procedimiento de identificación Box-Jenkins, por la dualidad existente entre ambas funciones, sin embargo, diversos autores, entre ellos Abraham y Ledolter (1984), han desarrollado ejercicios de simulación que, en particular, demuestran que la función de autocorrelación inversa es menos poderosa que la de autocorrelación parcial para la identificación de procesos AR.
En segundo lugar, una función alternativa es la función de autocorrelación parcial inversa, propuesta por Hipel et al (1977) (Ver Choi, 1992), que si bien posee un comportamiento similar a la función de autocorrelación y resulta de interés su aplicación en la identificación de procesos MA puros, su utilidad es en ocasiones limitada a causa de las dificultades de estimación que comporta.
*Métodos basados en las ecuaciones de Yule-Walker, cuya utilización en la determinación de los órdenes de un proceso ARMA es debida a Bartlett y Diananda (1950)15.
En este sentido, una de las vías sugeridas viene dada por los denominados métodos de la función de autocorrelación parcial generalizada (ACPG), entre los que destacan, por un lado, los métodos de Woodside (1971), Glasbey (1982) y Takemura (1984) que presentan, no obstante, en algunos casos ciertos inconvenientes relacionados con la infravaloración de los órdenes para tamaños muestrales pequeños.
Así mismo, el método de Woodward y Gray (1981), si bien resulta de especial aplicación como medio de confirmación para procesos AR, ciertos autores como Davies y Petruccelli (1984) desaconsejan su uso, basándose en el comportamiento inestable que muestra cuando se aplica a series temporales de longitud moderada y en la utilidad limitada para identificar los órdenes de procesos MA. En este sentido, en Gooijer y Saikkonen (1988) se propone una estrategia de especificación, basada en el uso de tests de Wald, que intenta corregir algunas dificultades que en este sentido aparecen.
Esta serie de métodos se completa, por un lado, con el método de la función de autocorrelación muestral extendida propuesto por Tsay y Tiao (1984), que si bien tiene la ventaja de que elimina la necesidad de determinar el orden de diferenciación necesario para lograr la estacionariedad de un modelo ARMA, requiere, sin embargo, más cálculos que otros métodos de identificación y, por otro lado, con el método de correlación canónica propuesto por Tsay y Tiao (1985), que aunque permite la determinación de los órdenes de procesos ARMA univariantes estacionarios y no estacionarios a través del análisis de los valores propios de la matriz de correlación de un proceso ARMA, no resulta computacionalmente sencillo en la práctica.
En particular, en Choi (1992), a partir de las ecuaciones de Yule-Walker se proponen diversos métodos o ‘patrones de reconocimiento’ como es el caso, entre otros, de las tres funciones
{θ
(k,i)} {
,λ
(k,i)} {
,η
(k,i)}
k =1,2,...;i =0,1,2,...llamadas funciones θ λ η, , , para la representación de un proceso estocástico a través de un modelo ARMA (p,q).
Dado que nuestro interés se centra fundamentalmente en el estudio de aquellos métodos de identificación relacionados con la aproximación de Padé, dedicamos a ellos el siguiente apartado.
2.1.- LA APROXIMACION DE PADE EN LA IDENTIFICACION DE