Una solución al aumento exponencial en la complejidad producido por la utilización de elementos estructurales progresivamente crecientes consiste en la utilización de operaciones morfológicas en cascada o recursivas (Plaza y col., 2001b). A continuación, describimos las etapas necesarias para extender esta idea al caso de imágenes hiperespectrales.
1.- En primer lugar, consideramos un elemento estructural de tamaño K, introducido como parámetro de entrada. El tamaño de este elemento estructural se mantendrá constante a lo largo del proceso.
2.- A continuación, creamos una descomposición multi-escala de la imagen original f. En lo sucesivo, utilizamos el término Li para denotar un determinado nivel de la
descomposición. La imagen original está en el nivel inferior L0 y el último nivel de la
descomposición es LY, siendo Y es el número total de niveles empleado. Los pasos
necesarios para obtener la descomposición antes mencionada son los que se describen a continuación:
2.1. En primer lugar, consideramos la imagen hiperespectral f en el nivel L0.
2.2. Sobre esta imagen, aplicamos una operación de dilatación y una operación de erosión morfológica, obteniendo dos nuevas imágenes hiperespectrales: dilatada (d1) y erosionada (e1), que constituyen el nivel L1 de la descomposición. Estas
imágenes se obtienen a partir de las expresiones que se muestran a continuación.
K
(x,y) ) y , x ( 1 f d (3.2.14)
K
(x,y) ) y , x ( 1 f e (3.2.15)2.3. Calculamos el índice MEI asociado al nivel L1 (MEI1) utilizando la siguiente
expresión, donde d1(x,y) es el pixel máximo en la vecindad de f(x,y) y e1(x,y) es
el pixel mínimo en la vecindad de dicho pixel.
(x,y), (x,y)
Dist ) y , x ( MEI1 d1 e1 (3.2.16)2.4. Consideramos ahora la imagen dilatada d1 y repetimos el proceso descrito en
los pasos 2.2 y 2.3 sobre dicha imagen. De este modo, el índice MEI en un determinado nivel L se calcula mediante las siguientes expresiones:
K
(x,y) ) y , x ( L 1 L d d (3.2.17)
K
(x,y) ) y , x ( L 1 L d e (3.2.18)
(x,y), (x,y)
Dist ) y , x ( MEIL dL eL (3.2.19)Como resultado del proceso anteriormente descrito se obtiene una imagen digital en niveles de gris a partir de los valores de pureza proporcionados por el índice MEI en escalas sucesivas. La imagen resultante contiene un índice de pureza asociado a cada uno de los pixels. El proceso completo aparece ilustrado en la figura 3.2.15.
MEI1
Elemento estructural K (constante en todas las iteraciones) Nivel 1 Imagen original f Nivel 0 Nivel L MEIL d1(x,y)=(f K)(x,y) f (x,y) e1(x,y)=(f K)(x,y)
dL(x,y)=(dL-1K)(x,y) eL(x,y)=(eL-1K)(x,y)
Figura 3.2.15. Proceso de creación de una descomposición multi-escala de una imagen hiperespectral mediante operaciones morfológicas en cascada.
Como puede apreciarse en la figura, esta implementación se basa en un proceso competitivo que propaga hacia niveles superiores aquellos pixels que han sido seleccionados como máximos locales. De este modo, en niveles superiores solamente se encuentran aquellos pixels que han “salido a flote” a partir de niveles inferiores. Los puntos ganadores en cada nivel son evaluados utilizando el índice MEI.
Finalmente, procedemos a evaluar de forma preliminar esta implementación utilizando la metodología utilizada a lo largo del capítulo.
1.- Sensibilidad a parámetros de entrada. Al igual que la implementación
anteriormente descrita, esta aproximación es sensible las propiedades del elemento estructural utilizado. En particular, la aproximación descrita en este apartado es más sensible a dicho parámetro que la presentada en el apartado anterior, puesto que el tamaño y forma del elemento estructural permanece constante a lo largo del proceso.
2.- Impacto de la variabilidad espectral. Experimentalmente, hemos comprobado que la utilización de un índice MEI multi-escala hace que el método propuesto sea robusto en presencia de variabilidad espectral.
3.- Coste computacional. La principal ventaja de esta aproximación es su menor coste computacional en comparación con la alternativa basada en elementos estructurales de tamaño progresivamente creciente. En esta implementación, el elemento estructural presenta un tamaño constante, por lo que podemos definir el tiempo computacional para procesar una imagen multi-dimensional formada por P pixels como T(LxPxMxN), donde L es el número de niveles de la descomposición multi-escala, M es el número de pixels del elemento estructural (constante) y N es el número de dimensiones de la imagen. La anterior expresión resulta en una complejidad cúbica, O(n3) en notación asintótica, la cual es inferior a la complejidad exponencial obtenida en el caso de utilizar elementos estructurales progresivamente mayores.
4.- Grado de automatización. La implementación descrita es totalmente automática, siendo únicamente necesario establecer las propiedades del elemento estructural utilizado a lo largo del proceso. El método se comporta de forma autónoma a partir de la introducción de dicho parámetro.
5.- Información descartada. Un inconveniente de esta implementación consiste en que solamente se propaga un pixel desde un determinado nivel hacia el nivel inmediatamente superior. Este hecho puede traer como consecuencia la pérdida, en niveles inferiores, de pixels puros que no son seleccionados por tener algún vecino más puro que ellos. Por el contrario, puede ocurrir que pixels, que no son del todo puros, se propaguen a niveles superiores por no existir vecinos más puros que ellos en la vecindad que los rodea. Al contrario que en la implementación basada en elementos estructurales progresivamente crecientes, la pérdida de un pixel en un nivel de la descomposición multi-escala implica que ese pixel no puede volver a ser considerado de nuevo en iteraciones sucesivas.
6.- Grado de integración de información espacial y espectral. Al igual que el método descrito en el apartado anterior, este método se caracteriza por un alto grado de integración entre la información espacial y espectral.
A partir de la evaluación preliminar anteriormente realizada, intuimos que puede resultar deseable que el tamaño del elemento estructural utilizado en esta implementación sea pequeño, con vistas a preservar la mayor cantidad de información entre iteraciones sucesivas.
Una posible solución al problema anteriormente apuntado, que puede ser considerada en futuros desarrollos, puede consistir en aplicar conceptos de lógica borrosa a la morfología matemática, de forma que para cada pixel no se seleccione solamente un máximo sino varios, siendo el número de elementos seleccionados fijo. De esta forma, cada uno de los elementos seleccionados podría ser ponderado en función de su excentricidad. Esta posibilidad de almacenar varios posibles endmembers tiene la ventaja de plantear la inclusión de los nuevos elementos teniendo en cuenta su parecido con los anteriormente seleccionados, evitando así duplicidades. Un buen proceso de selección de endmembers debería tener en cuenta la creación de una base de referencia lo más independiente posible, en el sentido de que un nuevo
endmember no debe ser combinación lineal de otros previamente almacenados.