Independencia de varios sucesos

En esta secci´on extenderemos el concepto de independencia para incluir m´as de dos sucesos. Para motivar la definici´on considere el experimento donde se tiran simult´anea- mente tres monedas. Considere los sucesos

A₁ = “la primera moneda sale cara”,

A₂ = “la segunda moneda sale cara”,

A₃ = “la tercera moneda sale cara”.

Claramente A₁y A₂son sucesos independientes, al igual que lo son A₁y A₃, y tambi´en

A₂y A₃. En particular, las siguientes identidades aplican P(A1∩ A2) = P(A1)· P(A2),

(1.17)

P(A1∩ A3) = P(A1)· P(A3),

(1.18)

P(A2∩ A3) = P(A2)· P(A3).

(1.19)

Por otro lado, como el resultado de la primera y segunda moneda no debiera afectar el resultado de la tercera, el suceso A₃debiera ser independiente de (A₁∩A₂) ya que este ´

ultimo hace referencia s´olo a la primera y segunda moneda. En otras palabras, incluso si sabemos que A₁ y A₂ ocurrieron, la probabilidad del suceso A₃ seguir´a siendo 1/2. Un c´alculo simple corrobora esta intuici´on. En efecto, como cada uno de los resultados de este experimento tiene una posibilidad de 1/8, obtenemos que

P(A3| A1∩ A2) = P(A_P(A1∩ A2∩ A3) 1∩ A2) =

1/8

2/8 =

1

2 =P(A3).

Como A₁y A₂son independientes, la identidad de arriba implica que (¿por qu´e? )

(1.20) P(A₁∩ A₂∩ A₃) =P(A₁)· P(A₂)· P(A₃).

Las identidades en (1.17)-(1.20) implican cada una de las siguientes identidades: P(A1| A2) =P(A1), P(A1| A3) =P(A1), P(A1| A2∩ A3) =P(A1),

P(A2| A1) =P(A2), P(A2| A3) =P(A2), P(A2| A1∩ A3) =P(A2),

P(A3| A1) =P(A3), P(A3| A2) =P(A3), P(A3| A1∩ A2) =P(A3).

En palabras, podemos describir estas identidades diciendo que la posibilidad de cada uno de los sucesos A₁, A₂, y A₃ no se ve afectada por la ocurrencia de los otros. Sorprendentemente, en un experimento arbitrario, las identidades en (1.17)-(1.19) no

garantizan la identidad en (1.20) ni viceversa (Ejemplo 1.13). Debido a esto, para definir la independencia de varios sucesos requeriremos los siguiente.

Definici´on 1.5. Los sucesos A₁, . . . , An se dir´an independientes cuando, para to-

do conjunto no vac´ıo de ´ındices I ⊂ {1, . . . , n}, la probabilidad del suceso ∩i_∈IAi

corresponde al producto de las probabilidadesP(Ai), con i∈ I, i.e.

P   i_∈I Ai = i_∈I P(Ai).

Una consecuencia inmediata de lo anterior es que P ⎛ ⎝ i∈I Ai  j∈J Aj ⎞ ⎠ =  k_∈(I∪J) P(Ak)  j∈J P(Aj) = i∈I P(Ai) =P   i∈I Ai ,

para todo par de conjuntos disjuntos de ´ındices I, J ⊂ {1, . . . , n} tales que el suceso 

j_∈JAj tiene probabilidad estrictamente positiva. Esto significa que la ocurrencia de

cada uno de los sucesos Aj, con j ∈ J, no hace m´as favorable ni menos favorable la

ocurrencia simult´anea de los sucesos Ai, con i∈ I (cuando I y J no tienen ´ındices en

com´un).

Ejemplo 1.13. Considere el experimento donde una persona escoge al azar y equi- probablemente uno de los siguientes n´umeros: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18. ¿Son independientes los siguientes sucesos?

A₁ = {1, 2, 3, 4, 5, 6},

A₂ = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12},

A₃ = {1, 2, 10, 11, 12, 13}.

Observe que (A₁∩A₂∩A₃) =∅; en particular, P(A₁∩A₂∩A₃) = 0. ComoP(A₁) > 0, P(A2) > 0 yP(A3) > 0 concluimos que

P(A1∩ A2∩ A3)= P(A1)· P(A2)· P(A3),

i.e. A₁, A₂y A₃ no son sucesos independientes.

Note queP(A₁∩A₂) = 1/6 = 1/3·1/2 = P(A₁)·P(A₂); en particular, A₁y A₂son independientes. Similarmente, P(A₁∩ A₃) =P(A₁)· P(A₃) y tambi´en P(A₂∩ A₃) = P(A2)· P(A3). Este ejemplo muestra que las identidades en (1.17)-(1.19) no son en

general suficientes para concluir la identidad en (1.20).

En los ejemplos presentados, hemos abordado la cuesti´on de independencia cal-

culando probabilidades directamente. Desafortunadamente, para comprobar la inde-

pendencia de n sucesos hay que verificar (2n_{− n − 1) identidades. Esto hace casi}

imposible de verificar por definici´on la independencia de m´as que unos pocos sucesos. Sin embargo, en muchas situaciones pr´acticas, la independencia de dos o m´as sucesos es postulada basada en la intuici´on que se tiene sobre el experimento. Por ejemplo,

considere el experimento donde se registra la informaci´on del pr´oximo paciente que visitar´a un cierto dentista y los sucesos

A = “el paciente es una mujer”,

B = “el paciente padece de dolor en una muela del juicio”,

C = “el paciente acarrea varios anillos en sus manos”.

Es natural postular que A y B son sucesos independientes: la posibilidad de A no debiera realmente cambiar si se sabe que el paciente tiene dolor muelas, en s´ımbolos P(A | B) = P(A). La intuici´on detr´as de esto es que la anatom´ıa de la boca de un hombre no es diferente a la de una mujer. Sin embargo, es menos claro que A es independiente de C, y de hecho uno esperar´ıa queP(A | C) > 1/2 = P(A).

Ejemplo 1.14. Jorge es un colegial muy olvidadizo: el 1 % de las veces se olvida de su corbata, el 5 % de su estuche de l´apices, y el 10 % de su cuaderno de matem´aticas,

¿qu´e fracci´on de d´ıas Jorge se olvida de traer su estuche, cuaderno o corbata? La

respuesta viene dada por la probabilidad del suceso (A∪ B ∪ C), donde

A = “Jorge se olvid´o de su corbata”,

B = “Jorge se olvid´o de su estuche de l´apices”,

C = “Jorge se olvid´o de su cuaderno de matem´aticas”.

Para calcular esta probabilidad usaremos la llamada F´ormula de Inclusi´on-Exclusi´on

(Ejercicio 22) que establece lo siguiente:

P(A∪B ∪C) = P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B ∩C)+P(A∩B ∩C). Bajo el supuesto que los tres sucesos de arriba son independientes obtenemos que

P(A ∪ B ∪ C) = 0,01+0,05+0,1−0,01·0,05−0,01·0,1−0,05·0,1+0,01·0,05·0,1, = 0,15355.

Es importante destacar que sin el supuesto de independendencia, no es posible determinar las probabilidades de los sucesos (A∩ B), (A ∩ C), (B ∩ C) ni (A ∩ B ∩ C) a partir de las probabilidades de los sucesos A, B y C solamente. En este caso,

necesitamos mayor informaci´on acerca del comportamiento olvidadizo de Jorge para

determinar la probabilidad del suceso (A∪ B ∪ C) e.g. necesitamos la probabilidad

condicional que ´este se olvide de su corbata dado que se olvid´o de su estuche y de su cuaderno. Note, sin embargo, que si conocemos las probabilidades condicionales P(A | B), P(A | C), P(A | B ∩ C) y P(B | C) entonces la probabilidad de (A ∪ B ∪ C) puede calcularse como (¿por qu´e? )

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)

− P(A | B) · P(B) − P(A | C) · P(C)

Ejemplo 1.15. Considere el experimento donde se tira un dado equilibrado hasta observar la cara 6 por primera vez (Ejemplo 1.3). Un espacio muestral natural para este experimento es Ω= {(6), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (1, 1, 6), . . .}. Para cada

ω∈ Ω, denotaremos como pω la probabilidad del suceso{w}.

Bajo el supuesto intuitivo que, cualquier suceso asociado a un cierto lanzamiento del dado es independiente de todos los lanzamientos previos y futuros del mismo, podemos f´acilmente determinar pω como sigue.

Por ejemplo, si definimos los sucesos

A₁ = “un 1 sale en el primer lanzamiento”,

A₂ = “un 1 sale en el segundo lanzamiento”,

A₃ = “un 6 sale en el tercer lanzamiento”,

entonces bajo el postulado que son independientes obtenemos que

p_(1,1,6)=P(A₁∩ A₂∩ A₃) =P(A₁)· P(A₂)· P(A₃) = (1/6)3.

Similarmente, si definimos los sucesos

B₁ = “un 5 sale en el primer lanzamiento”,

B₂ = “un 4 sale en el segundo lanzamiento”,

B₃ = “un 4 sale en el tercer lanzamiento”,

B₄ = “un 6 sale en el cuarto lanzamiento”,

entonces al postular su independencia obtenemos que

p_(5,4,4,6)=P(B₁∩ B₂∩ B₃∩ B₄) =P(B₁)· P(B₂)· P(B₃)· P(B₄) = (1/6)4.

An´alogamente, para cada ω∈ Ω, se puede demostrar la f´ormula dada sin justificaci´on en el Ejemplo 1.3: pω = (1/6)n(ω), donde n(ω) denota el n´umero de coordenadas de

ω.