Indices de calidad de un sistema de calibración

El sistema de calibración que se ha planteado resulta bastante general en el sentido que impone pocas restricciones con respecto a los conductores a usar. Sin embargo la capacidad de reproducción de excitaciones cualesquiera lógica- mente dependerá del número de conductores que lo formen así como de la forma y disposición geométrica de los mismos. Un mayor número de conductores faci- litará la síntesis de excitaciones pero sin embargo el incremento va a introducir complejidades constructivas que pudiera ser deseable evitar. El punto óptimo se encontrará en algún lugar entre estas dos tendencias: simplicidad constructiva y capacidad de síntesis. En esta sección se pretenden introducir algunas técnicas que faciliten la búsqueda de ese óptimo.

2.3.1. Ecacia de los conductores auxiliares

A partir de las excitaciones obtenidas de los N conductores que conforman el sistema de calibración y puesto que se exige que sean linealmente independien- tes, obtenemos un espacio N-dimensional mediante el que tratamos de cubrir

2.3. Indices de calidad de un sistema de calibración 45

todas las excitaciones posibles. En ese sentido cualquier conjunto de N espiras (independientes) conducirá a un espacio de esas dimensiones, si bien el espacio generado en concreto variará de conjunto en conjunto.

Aunque todas las excitaciones son igualmente importantes en tanto en cuanto aportan una dimensión más al espacio, nos podemos preguntar ¾cómo de ecaz es un conductor especíco a la hora de aportar esa nueva dimensión? El concepto de ecacia de un circuito podemos establecerlo en base a la siguiente idea: un circuito del sistema de calibración resultará tanto más ecaz cuanto menor sea la corriente que haya que inyectarle para reproducir cualquier excitación. La siguiente proposición, además de precisar la idea anterior, proporciona una base cuantitativa para generar índices de calidad de un sistema de calibración: Proposición 2.3.1. Dada una excitación H{I0}_{∈ Θ}

G, la intensidad de excita-

ción, Iexc,k, que hay que aplicar al conductor Ck de un sistema de calibración

para reproducir H{I0} viene dada por la expresión:

Iexc,k= I0kH{1}k ˆuH  uˆ⊥k
1 ηkk eHE◦kk (2.37) donde ˆuH es el vector unitario en la dirección de H{I0}, HeE◦_k es la excitación generada por el conductor Ck bajo una corriente de excitación unitaria, ηk es

el coeciente η del circuito Ck con respecto al espacio Γek generado por todos

los demás circuitos y ˆu⊥

k es el vector unitario en la dirección de la componente

perpendicular del vectorHeE◦_k con respecto aΓek.

Demostración. La excitaciónHeE◦_k asociada al circuito Ckacepta una descompo-

sición con respecto al espacioeΓkde la forma:HeE◦_k = eHE

◦k

k + eHE◦⊥k , dondeHeE◦⊥_k es la componente deHeE◦_k ortogonal a todas las demás excitaciones del sistema de calibración.

Teniendo en cuenta que ηk= k eHE◦⊥k k/k eHE◦kk, se puede expresar:

ˆ u⊥_k = HeE ◦⊥ k k eHE◦⊥ k k = HeE ◦⊥ k ηkk eHE◦kk

H{I0}puede descomponerse como H{I0}_{= α eHE}◦k

k +β eHE◦⊥k , pero dado que única-

mente el conductor Ckaporta componente en la direcciónHeE◦⊥_k , necesariamente β = Iexc,k. Por tanto:

H{I0}_{= α eHE}◦k k + Iexc,kHeE◦⊥_k = α eHE ◦k k + Iexc,kηkk eHE◦kkˆu ⊥ k Dado que H{I0}_{= I} 0H{1}, nalmente:  I0H{1}  uˆ⊥k  = Iexc,kηkk eHE◦kk

de donde se obtiene la expresión buscada.

De los cuatro términos que aparecen en la expresión (2.37), el primero co- rresponde a la corriente total asociada a la excitación a representar, el segundo representa lo intrínsecamente grande que es la excitación a representar y el ter- cero, el producto escalar, nos da una indicación de proporción de excitación

46 Capítulo 2. Dispositivo de calibración

de la que debe hacerse cargo Ck. Dado que H{I0} es una excitación genérica

(puede ser cualquiera), los factores anteriores no son representativos de cara a determinar la ecacia del conductor Ck, por lo que ésta viene caracterizada por

(ηkk eHE◦kk)−1.

Por otra parte normalmente el diseño del conductor principal va a venir condicionado por otra serie de factores (homogeneidad del campo magnético a lo largo del circuito magnético, etc...) por lo que su ecacia en ese sentido no resulta una condición de diseño prioritaria. En cualquier caso y dado que es el único que aporta una Integral de Ampere no nula, su ecacia va a ser, en general, elevada.

Con respecto a los conductores auxiliares, serán tanto más ecaces en su desempeño cuanto menor sea la corriente de excitación que hay que aplicarles para conseguir el efecto deseado. De forma compacta podemos denir un índice de ecacia asociado a cada conductor como:

τk= LLMk eHE◦kk ηk (0 < τk< ∞) (2.38)

donde el factor LLM puede interpretarse como una constante dimensional que

se incluye a efectos de que el coeciente resulte adimensional. Deseamos que τk

sea lo mayor posible, y lo será cuanto mayor sea cada uno de sus factores. . k eHE◦

kk. Corresponde al módulo de la excitación. Conseguir que el módulo

de HeE◦_k sea lo mayor posible, implica que su variabilidad con respecto al valor medio, que es cero13_{, sea lo mayor posible. Dado que HeE}◦

k es la

función H generada por el conductor Ckcuando se le aplica una corriente

de excitación unitaria, esto puede obtenerse de dos maneras:

.. Sustituir conductores formados por una espira por bobinados de N espiras (con lo que la corriente de excitación necesaria se reduce en un factor 1/N).

.. Acercar el conductor al lazo de medida, de forma que los perles de H generados sobre éste son más abruptos. El módulo de HeE◦_k dependerá fundamentalmente de lo cerca o lejos que se encuentren los conductores que conforman Ck del lazo de medida. Para un hilo

indenido (ver apartado A.2.3 del apéndice A) el módulo crece muy rápidamente para distancias menores del 10 % del valor del radio de curvatura del lazo de medida14_{, pero también crece su derivada por lo}

que el benecio asociado al incremento del módulo se contrapone con la sensibilidad en la ubicación del conductor a la hora de construir el prototipo.

. ηk. Indica el nivel de independencia del conductor frente al resto. Puesto

que se trata de un coeciente η su valor está acotado entre 0 y 1, siendo éste último el óptimo.

A n de tener un único índice que nos caracterice la ecacia del sistema (y no uno por cada excitación aislada auxiliar) se pueden considerar las siguientes opciones:

13_{Estamos considerando únicamente lo conductores aislados auxiliares.}

14_{El análisis que se hace en el apéndice emplea lazos de medida circulares y las conclusiones}

se obtienen sobre distancias relativas con respecto al valor del radio del lazo de medida. En el caso general, para puntos sucientemente cercanos al lazo de medida éste se equipara a la circunferencia de radio igual al radio de curvatura.

2.3. Indices de calidad de un sistema de calibración 47

. τmin (Indice de ecacia mínimo): El valor mínimo de los coecientes de

ecacia de todos los conductores del sistema de calibración.

τmin= min{τk, k = 0, . . . , N_eΓ− 1} (2.39)

Este índice fundamentalmente nos va a dar una indicación relativa sobre la posibilidad de sustituir un conductor (el de índice de menor valor) por otro a n de mejorar el sistema.

. τ0_p (Indice promedio total): Promedio de los índices de ecacia de todos los conductores incluyendo el del conductor principal.

τ0_p= 1 N e Γ N e Γ−1 X k=0 τk (2.40)

Este índice nos dará una medida globalizadora de la ecacia del sistema, pero la inclusión del conductor principal (cuyo módulo será habitualmen- te mucho mayor que el de los conductores auxiliares) va a ofrecer una información enmascarada. Por ello también se considera el siguiente: . τp (Indice promedio): Promedio de los índices de ecacia de todos los

conductores auxiliares. τp= 1 N e Γ− 1 N e Γ−1 X k=1 τk (2.41)

Este índice va a dar una adecuada visión de conjunta del sistema si bien, al tratarse de un promedio, puede enmascarar valores bajos de algún con- ductor (que podría ser reemplazado).

A tenor de lo anterior, se considerará τp como índice global de ecacia. Sin

embargo es un coeciente con un rango de variación entre 0 ≤ τp≤ ∞ y sería

deseable disponer de un coeciente de aptitud, ετ, asociado al índice global de

ecacia con un rango de variación entre 0 y 1, donde 0 indica pésima aptitud y 1 indica aptitud óptima. De esta forma se dene:

ετ= 1 − e−τp (2.42)

2.3.2. Respuesta frente a conductores rectilíneos indeni-

dos. Mapas de η

A n de poder tener una visualización gráca de la capacidad de represen- tación de un sistema de calibración con respecto al posicionamiento del conduc- tor de excitación, se puede considerar como emblemática (aunque físicamente irreal) una excitación consistente en un hilo recto indenido de sección despre- ciable perpendicular al plano que contiene el lazo de medida. La posición de ese conductor viene especicada por su punto de intersección con el plano15

XY en el que suponemos que se halla el lazo de medida. Al punto le podemos

48 Capítulo 2. Dispositivo de calibración

asociar el valor del correspondiente coeciente η. Este proceso puede extenderse a todos los puntos interiores del lazo de medida, o restringirlos a aquellos que entren dentro del rango de uso del ALBA, pero en cualquier caso queda deni- da una función η∞(x, y)donde el subíndice con la indicación de innito se ha

añadido para resaltar que corresponde al valor de η para un cable indenido. Lógicamente este tipo de conductores son como mucho un subconjunto de todas las posibles excitaciones aplicables, pero esencialmente se puede concluir que las zonas en las que el valor de η∞ sea próximo a la unidad corresponderán a

aquellas en las que el sistema de calibración tiene problemas de representación en caso de colocarse un conductor (de cualquier tipo) por ese entorno16_.

A partir de la función η∞(x, y)pueden introducirse dos parámetros adicio-

nales para la caracterización global de la aptitud del sistema:

. εη: A partir del promedio de los valores de η∞(x, y) en todo su rango

de variación, η∞, o, equivalentemente, el promedio de la capacidad de

representación de excitaciones del sistema de calibración con respecto a todos los puntos en los que se puede ubicar una excitación, se dene el coeciente de aptitud 0 < εη< 1:

εη = 1 − η∞ (2.43)

. εσ: Aunque el parámetro anterior nos da una visión global del compor-

tamiento, es deseable también que el sistema de calibración presente un comportamiento lo más homogéneo posible en todos los puntos en los que se ubique el conductor. Esta información puede representarse mediante la desviación típica de η∞, σ(η∞). Puesto que nuevamente deseamos asociar

valores cercanos a 1 a buen comportamiento (y por tanto, poca desviación típica), se dene el coeciente 0 < εσ< 1:

εσ = 1 − σ(η∞) (2.44)

2.3.3. Coeciente de aptitud global

Los coecientes de aptitud introducidos en apartado anterior hacían hinca- pié en diferentes aspectos del sistema de calibración y todos presentaban un rango de variación entre 0 (asociado a una aptitud pésima) y 1 (asociado a una aptitud óptima). Resultaría interesante disponer de un único coeciente global de aptitud del sistema de calibración, ε, con el mismo rango de variación y la misma interpretación de sus límites. ε debería estar compuesto de una suma ponderada de los diversos factores vistos de forma que se pueda adaptar a di- ferentes requerimientos de diseño mediante la variación de los factores de peso de cada contribución. De esta forma se ha denido el coeciente de aptitud del sistema de calibración, ε, como:

ε = m´ax  0, 1 1 − ε0  kηεη+ kσεσ+ kτετ kη+ kσ+ kτ − ε0  (2.45)

16_{De forma equivalente puede denirse una función ˘η∞(x, y) (ver Def. 12). Sin embargo,}

para sistemas con η mayor que 0.7 resulta más adecuada la descripción a través de η, tal y como se ha discutido al nal de la sección 2.2.4.