María Pilar Ruesga Ramos, J. Giménez Rodríguez y Mariela Orozco Hormaza
R
Reessuummeenn:: El trabajo presenta el logro, tipos de procedimientos y argumentos uti- lizados por 211 niños, entre 3 y 5 años, al resolver tareas de clasificación, bajo dos modalidades consistentes en a) aplicar reglas explícitas y b) descubrir las re- glas previamente aplicadas. A estas modalidades las hemos llamado directa e in- versa, respectivamente. Para las tareas se emplean tablas de doble entrada de 2× 3 y bloques lógicos de Dienes. El análisis de la relación entre las tres varia- bles establecidas —logro, procedimiento y argumentación— en función de la edad muestra que, sin importar la edad, los niños presentan un porcentaje medio de acierto de 96.2% al resolver el modo directo y que los procedimientos y argumen- tos utilizados por este grupo se diferencian de los empleados por quienes no lo- gran resolverla. Por el contrario, en los niños que aciertan en modo inverso, se encuentran variaciones significativas en función de la edad (χ2
6 = 27.189; P ≤ 0.001). El acierto aumenta a medida que la edad se incrementa; sin embargo, aproximadamente la mitad de los niños de 3 años logran resolver con éxito esta tarea y 83% a los 5. Asimismo, se encontraron variaciones en los tipos de argu- mentos, en función de la edad, no así en los procedimientos. Estos resultados nos permiten proponer que los currículos de educación infantil deben transfor- marse para dar cabida, desde los primeros grados, al manejo de tablas de doble entrada bajo las dos modalidades de presentación —directa e inversa— como una manera de introducir desde los primeros años la lógica de la clasificación.
Palabras clave: razonamiento lógico, educación infantil, razonamiento matemá- tico, matemática elemental.
collection was created (inverse tasks). Findings show 96.2% of correct responses in solv-ing direct tasks, with no noticeable differences between children’s ages. In the case of inverse tasks, findings show significant variation related to age (χ2
6= 27.189; P≤ 0.001), with older children performing better. Findings also show sig- nificant variation related to age in the types of arguments used by children, but not in the procedures. Recommendations are made about the use of instructio- nal materials in early childhood education.
Keywords: logical reasoning, early-childhood education, mathematical reason- ing, elementary mathematics.
INTRODUCCIÓN
La formación matemática de los niños durante el periodo que se extiende des- de los 3 hasta los 6 años, que en España constituye la etapa de educación in- fantil, está condicionada por las características propias de esta edad relativas a su manera de conocer el mundo que los rodea y a sus posibilidades de razona- miento. El enfoque constructivista señala que la reflexión sobre las acciones, ejer- cidas sobre materiales concretos, genera prácticas y experiencias que constituyen, a esta edad, el motor facilitante de la construcción de conocimiento. En particular, la visión piagetiana proporciona un punto de vista según el cual el conocimiento lógico y matemático, en general, se construye a partir de la reflexión llamada pseu- doempírica (Piaget, 1979), que el sujeto establece al actuar sobre los objetos.
Desde esta concepción teórica, las demandas que el aprendizaje matemático futuro presenta a los niños se fundamentan en el aprendizaje de procedimien- tos matemáticos básicos, uno de los cuales es la clasificación (Flavell, 1982). La práctica de éstos implica la aplicación o descubrimiento de una regularidad, clasi- ficatoria en este caso, que se expresa mediante reglas de juego.
En este contexto, el valor de presentar tareas relativas a juegos de reglas a niños durante la etapa de la educación infantil se puede entender como una estrate- gia para enfrentar al niño con situaciones que desencadenan procesos de razo- namiento que pueden ser diferentes, en el caso de las tareas, en modo directo e inverso.
En el horizonte de la educación matemática, el razonamiento deductivo ma- temático está ligado a un lenguaje simbólico (Duval, 1999) cuyo desarrollo re- quiere un itinerario temporal. Este periodo está caracterizado por representacio- nes icónicas (Bruner, 1988, p. 49) y, según Gardner, es de tal importancia, que
sobre él se edifica toda la educación posterior, ya sea formal o informal (Gard- ner, 1993, p. 69, citado en Alcalá, 2002, p. 23).
La conceptualización de la matemática como una ciencia que consiste en el establecimiento de relaciones de muy diversos tipos (Alsina et al., 1996) nos lle- va a observar que las relaciones de tipo lógico que tienen lugar en la práctica de procedimientos como la clasificación pueden ser presentadas bajo dos modali- dades (Ruesga, 2003): de aplicación y de descubrimiento de reglas, respectiva- mente.
Sin embargo, las actividades relativas a procedimientos de clasificación de modo inverso no están desarrolladas para este periodo educativo. Estamos inte- resados en analizar las posibilidades que tienen los niños para resolver tareas re- lativas a procedimientos matemáticos básicos, como la clasificación, planteadas a partir de representaciones icónicas, aparentemente simples, como las tablas de doble entrada y bajo los dos modos: directo e inverso. Asimismo, nos pregunta- mos en qué medida se presentan procesos de inferencia lógica en los dos pro- cesos relacionales.
Se muestran algunos resultados obtenidos en una experiencia con 211 niños de entre 3 y 5 años, descritos mediante el análisis relacional de las tres variables establecidas para el estudio: logro, procedimiento y argumentación.
MARCO CONCEPTUAL
Las tareas piagetianas de clasificación que utilizan matrices (Piaget, 1979) tienen por objetivo analizar la manera en la que el niño comprende las clasificaciones multiplicativas, basadas en la conjunción de dos características, y explicar su re- lación con las clasificaciones aditivas, basadas en una única característica. Des- de el punto de vista de la forma en que se establecen en ellas las relaciones de tipo lógico, algunas suponen la aplicación de reglas explícitas; otras, el descubri- miento de dichas reglas o presentan fragmentos de ambos tipos de formas en-
niños de 4, 5 y 6 años poseen un modo de razonar deductivo que depende, por una parte, de los contenidos y, por otra, de la forma de presentación de la tarea. En general, los niños ejercitan mejor su razonamiento lógico cuando las tareas se presentan como un juego y se utiliza una forma verbal enfática, incluso aun- que las premisas violen su conocimiento empírico de las cosas. Este efecto faci- litador ocurre por igual en niños de 4, 5 o 6 años.
Reconocer que el razonamiento deductivo no es acumulativo ni está vincula- do con ninguna forma lingüística particular permite que afirmemos con Duval (1999) que la lengua natural no es el primer registro del cual puede inferirse el funcionamiento del razonamiento deductivo y, en consecuencia, que es posible analizar su presencia a través de procedimientos que pongan de relieve los re- querimientos relacionales que la tarea plantea, no necesariamente justificados a través de la lengua natural, sino de las acciones sucesivas que los niños utilizan para resolverla y que permiten inferir las relaciones que establecen.
De igual manera, el reconocimiento de las limitadas posibilidades de expre- sión verbal de los niños de esta edad nos conducen a considerar, sin renunciar a la expresión verbal, otras formas de expresión; por ejemplo, los gestos, como indicativos claros de las razones por las que el niño realiza determinada acción y de las relaciones que la propia tarea evoca en su mente. Las modalidades de ex- presión encontradas definen la variable argumentación. En las categorías de aná- lisis, se muestran las expresiones verbales o verbales y gestuales encontradas.
La tarea que hemos planteado se inspira en las pruebas piagetianas con ma- trices, pero difiere de éstas tanto en su propio contenido como en el objetivo de su análisis que, en nuestro caso, se centra en los procesos relacionales vinculados a uno y otro modo y en la medida en que éstos se acercan a la inferencia lógi- ca. Además, utilizamos la menor tabla no dicotómica (concretamente de dimen- sión 2 × 3), es decir, la tabla más sencilla de dimensiones superiores a 2 × 2 como en el caso de la pruebas piagetianas (Piaget, 1973, p. 169). Esta elección hace posible observar procesos de inferencia lógica, especialmente en modo in- verso, de manera más clara que sobre una tabla 2 × 2.
Para abordar este objetivo hemos desarrollado una prueba cuya solución es activa en sus dos modos, es decir, el niño las resuelve manipulando objetos y rea- lizando acciones observables. El análisis de esta secuencia de acciones y de la argumentación que aporta describe el procedimiento resolutivo que el niño em- plea en ambos modos y es indicativo de los procesos lógico-relacionales que tie- nen lugar.
METODOLOGÍA
Usamos un diseño cuasiexperimental multivariado con grupo piloto. Desde el punto de vista del diseño experimental se trata de un estudio descriptivo, de ti- po exploratorio, con una sola medición, con la cual se realiza un análisis de pro- ceso multivariado.
La prueba se desarrolla en dos partes separadas por un espacio de tiempo, la tarea en modo directo es la primera de ellas. Se realiza un registro videofilma- do.
Por otra parte, la opinión de las tutoras de los distintos grupos de niños par- ticipantes que mantenían la dificultad excesiva de la tarea en versión modo in- verso conduce a considerar la estrategia propuesta por Case (Resnick y Ford, 1990, p. 216) y utilizar una forma de presentación descontextualizada.
Los resultados hallados con el grupo piloto, así como las condiciones en que la investigación se desarrolla, que requieren la realización de las dos versiones di- recta e inversa con un intervalo de tiempo relativamente corto, de unos 15 minu- tos, indicaron la conveniencia de variar el lugar de los códigos tanto de color como de tamaño, para la versión en modo inverso, a fin de evitar la reconstrucción de la tabla por simple recuerdo de la correspondiente en modo directo y de este mo- do hacer necesario el descubrimiento de las reglas.
Las tareas se aplican a un total de 211 niños pertenecientes a siete centros escolares, públicos y privados, de la ciudad de Burgos. En función de la edad, una variable del diseño, los niños se distribuyen así: 70 de 3 años, 76 de 4 años y 65 de 5 años. Todos los niños pertenecen a aulas ordinarias de educación in- fantil.
La tarea, en sus dos modos (véase el anexo I), se aplica individualmente sin límite de tiempo. Inicialmente, se establece un diálogo con el niño que permite comprobar que conoce los símbolos representativos de los dos atributos varia- bles, color y tamaño, y que los reconoce sobre las seis piezas que debe manejar. En la matriz los atributos se indican de la siguiente manera: en vertical, arriba
N.- Pequeño.
E.- Pequeño, y éste otro... N.- Grande.
E.- Esto...
[E. va recorriendo con el dedo las tarjetas de color] N.- Rojo... Amarillo... Azul
E.- Eso es.
E.- Y, este triángulo, ¿de qué color es? N.- Amarillo.
E.- Y ¿es grande o pequeño? N.- Pequeño.
[E. comprueba que el niño reconoce el valor de cada atributo que co- rresponde a cada pieza individualmente]
E.- Entonces voy a colocar las tarjetas aquí... Así...
E.- Bueno pues mira, ahora tú tienes que colocar estos triángulos cada uno en un cuadro, pero fijándote en lo que dicen las tarjetas.
El diálogo para el modo inverso es como sigue:
E.- Vamos a jugar a adivinar. Mira, yo me voy a inventar una manera de colo- car los triángulos en estos cuadros.
[E. indica con el dedo los cuadros de la tabla destinados a colocar los triángulos]
E.- Yo voy a colocar dos triángulos. Sólo dos, ¿eh? Y tú, fijándote muy bien en los que yo pongo, tienes que adivinar dónde tienes que poner las tarjetas... [de los atributos]
[E. indica con el dedo las tarjetas de color y de tamaño]
E.- Y los otros triángulos. Pero... los dos triángulos que yo pongo no hay que cambiarlos de sitio ¿De acuerdo?
[Se colocan azul pequeño en (2,2) y amarillo grande en (1,3)].
CATEGORÍAS DE ANÁLISIS
Las respuestas y las acciones de los niños al resolver las tareas se analizan des- de la perspectiva del logro alcanzado, como éxito o fracaso en la solución para los dos modos de la tarea. Se valora éxito cuando el niño reconstruye la tabla
íntegramente sin ningún error. El hecho de ser tareas activas permite describir más fielmente el proceso resolutivo mediante registros múltiples en el tiempo. De esta manera, se detecta si se han cometido errores intermedios y si éstos se han corregido o no. En este caso, se procesan los datos relativos a situación de acier- to o error en tres momentos: al comienzo (primera acción), en la mitad (tercera acción en modo directo y cuarta en modo inverso) y al final (última acción).
Para la variable procedimiento se establecen las siguientes categorías y tipifi- caciones en el caso de modo directo:
• (T). Resuelve el ejercicio atendiendo exclusivamente al tamaño de las pie- zas, es decir, completa primero una fila y luego la otra.
• (CO). Resuelve el ejercicio atendiendo exclusivamente al color, es decir, completa primero una columna, después la segunda y luego la tercera. • (TC). Resuelve el ejercicio alternativamente atendiendo al color o al tama-
ño, al menos en una ocasión.
La versión en modo inverso precisa más acciones que en modo directo y permi- te observar otras regularidades al incluir elementos de distinto nivel de concreción, como son las tarjetas indicativas de los distintos códigos y las propias piezas. En este caso, se establecen las siguientes categorías y tipificaciones que hacen refe- rencia al orden secuencial en que son usados estos elementos durante el proceso resolutivo:
• (PCT). Piezas, tarjetas de color y tarjetas de tamaño. Es decir: se colocan primero todas las piezas, después todas las tarjetas de color y después las tarjetas de tamaño.
• (PTC). Piezas, tarjetas de tamaño y tarjetas de color. Es decir: se colocan primero todas las piezas, después las dos tarjetas de tamaño y por último las tres tarjetas de color.
Después de todas las acciones del niño, el investigador le pregunta: ¿Por qué? La respuesta a esta pregunta, verbal y gestual, se toma como indicativo de la va- riable argumentación y se valora una sola vez con la expresión considerada más próxima a la inferencia lógica que el niño utiliza durante todo el proceso resolu- tivo. Valoramos las expresiones argumentales de anticipación o futuro, las que utilizan el cuantificador todos o la negación, como indicativas más próximas a las expresiones condicionales a través de la palabra “entonces” y, con ello, como la categoría argumentativa más próxima a la inferencia lógica.
En relación con las respuestas de los niños, se consideran los siguientes ti- pos de argumentos según la expresión verbal y gestual en su caso:
(1) No argumenta: “No sé...”
“Porque me lo ha dicho mi papá” “Porque me gusta”
“Porque sí” “Porque es así” “Porque va ahí”
(2) Centrado en lo perceptivo: se fija en un solo valor. “Porque está aquí ésta”
“Porque es como ésta” [indicando con el dedo, por ejemplo, el triángulo amarillo pequeño]
(3) Reconoce la posición espacial de los dos valores:
“Va aquí porque está ésta... y aquí... ésta” [indicando con el dedo elemen- tos ya colocados de filas y columnas]
(4) Reconoce los dos valores:
“Va aquí porque es pequeña y azul” (5) Distingue un elemento de una clase:
Utiliza el plural “Aquí van éstas” [indicando con el dedo la tarjeta de valor]. Señala la fila o la columna recorriéndola con el dedo “Aquí van las azu- les” o “Es de las grandes”
(6) Utiliza el cuantificador “todos”, negaciones o expresa anticipación o futuro: Expresa la negación “No es grande” o “Ahí no van las pequeñas...” Expresa anticipación “Tendremos que poner rojas...” Utiliza el futuro “Aquí irán...” [indicando con el dedo una fila o columna]
Utiliza cuantificador “Todos son grandes”, “Porque aquí van todos los azu- les y aquí los amarillos” [indicando con el dedo las columnas respectivas]
ANÁLISIS DE DATOS
Los datos se procesan mediante la aplicación estadística SPSS y se utiliza la prue- ba chi-cuadrado para analizar diferencias significativas de resultados relativas a las variables seleccionadas.
RESULTADOS
La tarea en modo directo resulta significativamente más fácil que la de modo in- verso. El porcentaje de acierto en la primera es de 96.2%, mientras que en mo- do inverso sólo alcanza 74.9%. Esta diferencia, que es significativa (χ2
1= 17.204; P ≤ 0.001),1permite confirmar la mayor dificultad del modo inverso. Además, en el modo directo los logros no se diferencian por razón de la edad (χ2
6= 4.588; P ≤ 0.598), en el inverso las diferencias resultan significativas (χ2
6= 27.189; P ≤ 0.001). En el modo inverso el porcentaje de acierto se incrementa en función de la edad: aproximadamente la mitad de los niños de 3 años aciertan al resolver esta tarea y 83%, a los 5 años. Bajo las dos modalidades, los niños que terminan la tarea exitosamente muestran una gran seguridad en el proceso; si bien, en mo- do inverso, se observa que los niños del grupo de 5 años son más capaces de corregir sus errores que los más pequeños.
SOBRE ARGUMENTACIONES Y PROCEDIMIENTOS EN MODO DIRECTO
Los procedimientos y la argumentación utilizados por los alumnos al resolver la tarea en modo directo se diferencian de los empleados por los que no la resuel- ven. En ambos casos, las diferencias resultan significativas: para los procedimien- tos (χ2
2= 7.480; P ≤ 0.041) y para la argumentación (χ 2
5= 17.174; P ≤ 0.004). Los procedimientos de los niños que tienen éxito muestran regularidad, pues se ri-
3 años el que se comporta de manera diferenciada, mientras que no existe dife- rencia significativa entre los grupos de 4 y 5 años,2y el de 5 lo hace en los pro- cedimientos. A medida que la edad aumenta se observa que la argumentación se desvincula de lo perceptivo, propia del grupo de 3 años y evoluciona hacia for- mas más próximas a la inferencia. La gráfica 1 muestra los resultados.
En relación con los procedimientos, los niños de 5 años muestran un compor- tamiento diferenciado respecto de los otros grupos de edad.3Si bien en todas las edades tienden a utilizar el tamaño como referente, la utilización del color es ma- yor a los 5 años, que en los otros grupos de edad. La gráfica 2 muestra los pro- cedimientos en función de cada grupo de edad.
Con el propósito de encontrar una tendencia general a través de los resulta- dos en las tres variables analizadas —logro, procedimiento y argumentación—, se Gráfica 1 Argumentación en modo directo por grupos de edad
Recuento 50 40 30 20 10 1 (1) (2) (3) (4) (5) (6) Edad 3 años 4 años 5 años 2Entre 3 y 4 años χ2 4= 24.495; P ≤ 0.001. Entre 3 y 5 años χ 2 5= 30.536; P ≤ 0.001. 3Entre 3 y 5 añosχ2 2= 9.476; P ≤ 0.009. Entre 4 y 5 años χ 2 2= 8.619; P ≤ 0.013.
contrastan éstas dos a dos, para cada una de las categorías de la tercera. Así encon- tramos los siguientes resultados de significación:
Argumentación
No No
Para cada tipo Para cada tipo
de logro de procedimiento
Procedimiento Logro
Sí
En la categoría de argumentación (4)4
No
Gráfica 2 Procedimientos resolutivos en modo directo por grupos de edad
Edad 3 años 4 años 5 años Recuento 50 40 30 20 10 0
Procedimiento Por color Por tamaño Alternativo Recuento Error Acierto 80 70 60 50 40 30 20 10 0
cada grupo) en el que el logro es de acierto prácticamente general y el proce- dimiento mayoritario consiste en completar la tabla por tamaño. Esta situación puede representar la tendencia general en la tarea y queda reflejada en la grá- fica 3.
SOBRE ARGUMENTACIONES Y PROCEDIMIENTOS EN MODO INVERSO
Contrariamente al modo directo, los procedimientos utilizados por los niños en modo inverso no son significativamente distintos en relación con el acierto y error; en cambio, la argumentación sí lo es.5La gráfica 4 muestra la distribución de frecuencias de los procedimientos.
Para resolver la tarea en modo inverso, los niños utilizan mayor variedad de procedimientos que en la de modo directo. El procedimiento más utilizado, in- Gráfica 3 Relación entre logro y procedimiento para los argumentos
que tienen en cuenta los dos atributos (categoría (4))
5 χ2
dependientemente del logro, es el procedimiento alternativo. Recordemos que, en el modo directo, éste es el procedimiento con el porcentaje más bajo de utiliza-