2. Análisis estadístico de una muestra de tráfico autosimilar
3.5 Influencia del tráfico UGS sobre la autosimilaridad
Es posible en WiMAX contratar un servicio de bitrate constante similar al CBR (Constant Bit Rate) de ATM. Este scheduling service, que se denomina UGS (Unsolicited Grant Service) fue concebido para soportar flujos que transportan paquetes de tamaño fijo en forma periódica, tal como la T1/E1 y VoIP sin supresión de silencios (1).
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A continuación se analizará la influencia del agregado de un tráfico UGS sobre la autosimilaridad de un tráfico de referencia. Para llevar a cabo estos análisis se superpondrá un tráfico de paquetes con velocidad constante a la muestra LBL-PKT-4.
Al tráfico total de la muestra LBL-PKT-4, la cual tiene 896689 paquetes en 3600s, para exagerar el efecto, se le superpuso un tráfico constante con un período de 3ms, esto incrementa el número de paquetes en un 234%. En la Fig. 3-4 se grafican los LD con y sin trafico UGS. Nótese que ambas curvas tiene prácticamente el mismo andar. El coeficiente de Hurst H =1+0,69
2 = 0,845 no se ha alterado por la adición de un tráfico UGS. Hay un aumento en el througput pero no hay cambio en la autosimilaridad, cuantificada por el coeficiente de Hurst.
Fig. 3-4: LD tráfico total y LD tráfico total más un tráfico constante UGS con período 3ms.
Desde un punto de vista matemático, este último resultado no sorprende (7). Una importante propiedad de la wavelet madre (ψ0) contra la no estacionaridad es que si esta tiene un número
� 1 de vanishing moments ���
0 � ��= 0, donde k=0,..,N-1, permite eliminar
cualquier tendencia polinomial hasta de grado N-1. En los LDs graficados en este trabajo siempre se ha usado wavelets Daubechies con N=3, lo cual suprime hasta un polinomio de grado 2 adicionado a la señal, y lógicamente suprime el efecto de un tráfico constante que corresponde a un polinomio de grado 0.
Los LDs de la Fig. 3-4, manifiestan una diferencia muy importante en los valores absolutos de los Y(j), con y sin trafico UGS agregado. Entendemos que esta observación
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 Octava j Y(j)
LD trafico total - LD trafico total + UGS
Trafico total + UGS Trafico total
Pen 0.69
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debería dar motivo suficiente para investigar el efecto de los valores absolutos de los Y(j) de los LD, la cantidad de muestras y su relación con el tráfico constante (UGS) agregado al tráfico autosimilar.
El resultado de este análisis origina nuevos interrogantes relativo a las consecuencias sobre las colas. Algunos referentes proponen que el dimensionamiento de las colas se base únicamente en el througput y el coeficiente de Hurst, suponiendo un tráfico autosimilar, y una probabilidad de pérdida de paquetes por rebasamiento de la cola dada.
Está claro que el coeficiente de Hurst calculado por el método LD no se modifica sensiblemente a pesar que la cantidad de paquetes se multiplicado por 2,34. Analicemos una hipótesis extrema, se agrega un tráfico UGS con un período mucho más pequeño por ejemplo 0,3ms, esto corresponde a 3600s/0,3ms=12 millones de paquete en una hora, el resultado será que el througput, se multiplica por más de 13 veces respecto al original, 896689 paquetes en 3600s. El tráfico original al ser minoritario ya no gravita, se tiene el mismo H, pero con un tráfico con velocidad de paquetes prácticamente constante. Si se calcula el tamaño de la cola con los parámetros: troughput y coeficiente de Hurst, suponiendo tráfico autosimilar e ignorando la existencia de tráfico con tiempo interarribo constante superpuesto, el resultado originaría un sobredimensionamiento en el tamaño de la cola, ya que el tráfico con comportamiento autosimilar es solo un pequeño porcentaje del tráfico total.
Bajo la sospecha de que el método LD como estimador de H, dada su dependencia con la cantidad de vanishing moments de la wavelet madre, pudiera no funcionar apropiadamente con el agregado de tráfico UGS. Se usará otro estimador para determinar el coeficiente de Hurst de los mismos tráficos que se corresponde con la Fig. 3-4, la pendiente de la variancia de las muestras agregadas.
El estimador variancia-agregación, se basa en la propiedad de los procesos autosimilares de que las variancias de los promedios de las muestras converge más lentamente a cero que m-1 (15)
Var X m ~cm donde c > 0, 2 m n
2 , = 2H−2, 0 < < 1, n es la cantidad de muestras del proceso original. X(m) es el proceso obtenido por agregación del proceso original de la siguiente forma
Xi(m ) = 1
m Xim−m +1+ …+ Xim , i 1
tomando logaritmos queda log Var X m ~ log m + log(c), si se grafica log Var X m versus log m , la pendiente es β, y H = 1 +
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Fig. 3-5: Variancias de los procesos m-agregados para el cálculo del coeficiente de Hurst. Tráfico total de la muestra LBL-PKT-4 y de la misma más un tráfico UGS con tiempo interarribo de 3ms.
La Fig. 3-5 muestra el resultado de graficar el logaritmo de las variancias de los procesos agregados versus el logaritmo del nivel de agregación m para los dos casos, tráfico total y tráfico total más un tráfico constante (UGS), como las curvas son iguales solo se muestra una de ambas. � = 1−0,39
2 = 0,805, contra 0,845 por el método LD. En el Anexo 2 – Programas utilitarios en Matlab, se transcriben los programas en Matlab para el estimador variancia- agregación.
Este resultado, obtenido por un mecanismo más directo, pero menos eficiente, que la estimación por la pendiente LD (11), confirma que es correcta la estimación de H obtenida por el método LD. Las irregularidades al final de la curva se pueden atribuir a lo pequeña cantidad de muestras para calcular la variancia., cuando el nivel de agregación m es grande
Ya a la luz de este último resultado, es palmario indicar que las estadísticas de segundo orden como la variancia, y la autocovariancia, no pueden reflejar información sobre valores promedio, como el agregado de un tráfico constante al tráfico autosimilar.
Se concluye que para el dimensionamiento de las colas para un tráfico autosimilar se deberá tener en cuenta el porcentaje respecto al througput (estadística de primer orden) total al cual describe cualquier indicador de segundo orden, tal como el coeficiente de Hurst, la variancia de los procesos agregados o la autocovariancia.
0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 log(m) lo g (v a ri a n c ia s ) Pen -0.39 Tráfico total y Tráfico total + UGS
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