Anα+1 = {k : sup
h∈H| < pα+1(k), h > − < p
α(k), h > | ≤
1
donde An
1 = φ. Entonces cada Anα+1 es cerrado, Aα ⊂ An+1α+1 ⊂ Anα+1 ⊂ Aα+1
y ∩n∈ Anα+1 = Aα, para probar la ´ultima igualdad basta probar la inclusi´on
⊂, si a ∈ ∩n∈ Anα+1, entonces por un lado a ∈ Aα+1, con lo cual pα+1(a) = a.
Por otro lado para todo entero positivo n se cumple sup
h∈H| < pα+1(a), h > − < pα(a), h > | ≤
1 n y utilizando la observaci´on anterior, en realidad se tiene
sup
h∈H| < a, h > − < p
α(a), h > | ≤
1 n
para cada n ∈ N,con lo cual a = pα(a) ∈ Aα. Adem´as hay que fijarse que,
por (3.4), fijado n y k se cumple pα+1(k) 6∈ Anα+1 para, como mucho, una
cantidad finita de α0s.
Sea Cα = f (Aα), y definimos rα : Z −→ Cα como rα(f (k)) = f (pα(k)),
por la propiedad (v) de la sucesi´on de los pares conjugados esta funci´on est´a bien definida, adem´as rα es una retracci´on continua. Definimos tambi´en
Cn
α+1 = f (Anα+1), entonces se cumple:
Cα⊂ Cα+1n+1 ⊂ Cα+1n ⊂ Cα+1 y tambi´en ∩n∈ Cα+1n = Cα (3.5)
Ahora, utilizando la propiedad (iv) y la hip´otesis de inducci´on, se tiene que Cα = f (Aα) es un compacto de Eberlein, tambi´en como w(Cα) ≤ w(Aα) < m
y la aplicaci´on cociente: πα+1
n : Cα+1 −→ Cα+1/Cα+1n es continua y sobre-
yectiva, tambi´en por la hip´otesis de inducci´on Cα+1/Cα+1n = πnα+1(Cα+1) es
tambi´en compacto de Eberlein para cada α < µ y cada n ∈ N. Entonces fijado n entero positivo y α < µ existe un emparejamiento
< , >n,α: Cα+1/Cα+1n × W n α+1 −→ [0, 1 n] donde Wn
α+1 es un compacto. Consideramos tambi´en la aplicaci´on continua
sn
α+1 = πα+1n ◦ rα+1: Z −→ Cα+1 −→ Cα+1/Cα+1n
Considero ahora W = ∪disjuntan∈ ,α<µWα+1n , que es Hausdorff y localmente com-
pacto. Entonces puedo denotar por W+ su compactificaci´on por un punto,
e.d., W+ = W ∪{∞} es un compacto. Pr´acticamente hemos acabado porque
vamos a definir una aplicaci´on:
veremos que es un emparejamiento y habremos terminado. Para z ∈ Z y w ∈ W+ definimos: < z, w >1= ( 0 si w = ∞, < sn α+1(z), w >n,α − < [Cα+1n ], w >n,α si w ∈ Wα+1n .
hay que aclarar que [Cn
α+1] es la clase de Cα+1n en el cociente Cα+1/Cα+1n .
Si nos fijamos, | < z, w >1 | ≤ 1n para cada w ∈ Wα+1n y z ∈ Z, adem´as fijado
w la aplicaci´on z −→< z, w >1 es continua. Veamos que tambi´en lo es en la
otra variable. Fijamos z ∈ Z, la aplicaci´on w −→< z, w >1 es continua al
restringirnos a cada Wn
α+1, probemos que tambi´en lo es para w = ∞. Dado
> 0, veamos que hay un entorno de ∞ en W+tal que | < z, w >
1 | ≤ en ese
entorno, sea k ∈ K tal que z = f(k), si tenemos un w con | < z, w >1 | > ,
entonces para alg´un n se verifica; < n1 y sn
α+1(z) 6= [Cα+1n ],con lo cual, para
alg´un n se cumple; n < 1
y rα+1(z) = f (pα+1(k)) 6∈ C n
α+1, con lo cual, para
alg´un n se verifica; n < 1
y pα+1(k) 6∈ A n
α+1, y la ´ultima afirmaci´on es cierta
s´olo para una cantidad finita de α0s y n0s. Entonces habr´a una cantidad
finita de w tal que | < z, w >1 | > , por lo que hay un complementario de
un compacto en W+ tal que | < z, w >
1 | ≤ .
Para acabar de probar que Z es compacto de Eberlein falta demostrar que W+ separa puntos de Z a trav´es de <, >
1. Sean z, z0 ∈ Z tal que <
z, w >1=< z0, w >1 para cada w ∈ W+, veamos que z = z0. De la suposici´on
que hemos hecho obtenemos que
snα+1(z) = snα+1(z0)
para cada α < µ y cada n entero positivo. Esto significa que: rα+1(z) = rα+1(z0) , o bien {rα+1(z), rα+1(z0)} ⊂ Cα
para cada α < µ (en la segunda opci´on hemos utilizado la ´ultima igualdad de (3.5)). Probemos por inducci´on que rα(z) = rα(z0) para cada α < µ. Una
vez visto esto, como existen k, k0 ∈ K tal que z = f(k) y z0 = f (k0), entonces
podremos escribir:
z = f (k) = lim
α<µf (pα(k)) = limα<µrα(z) = limα<µrα(z
0) = z0 (3.6)
donde la segunda igualdad viene dada por la propiedad (ii) de la sucesi´on de emparejamientos.
Como C0 = φ, entonces r0(z) = r0(z0). Supongamos ahora que rα(z) = rα(z0)
para cada α < β < µ. Si β es un ordinal l´ımite, entonces por la definici´on de rα y las propiedades de las retracciones se cumple que:
rβ(z) = lim
α<βrα(z) = limα<βrα(z 0) = r
β(z0)
En cambio, si β = α + 1, se verifica que:
rβ(z) = rα+1(z) = rα+1(z0) = rβ(z0) , o bien, {rβ(z), rβ(z0)} ⊂ Cα
Pero claro, si rβ(z) ∈ Cα, entonces se cumple la igualdad (3.7) siguiente
rβ(z) = (3.7)
rα(rβ(z)) = (3.8)
f (pαpα+1(k)) = (3.9)
f (pα(k)) =
= rα(z)
donde (3.8) se verifica por definici´on de rα y (3.9) se cumple por el lema de
compatibilidad de retracciones. Por tanto el hecho de que {rβ(z), rβ(z0)} ⊂
Cα implica, utilizando la hip´otesis de inducci´on, que se cumpla: rβ(z) =
rα(z) = rα(z0) = rβ(z0) y hemos acabado.
Corolario 3.2.13. La uni´on finita de compactos de Eberlein es compacto de Eberlein.
3.3
Inmersi´on en c
0(Γ)
El lema de inmersi´on (ver [K] para los detalles) asegura que cualquier espacio topol´ogico K compacto y Hausdorff puede verse, a trav´es de un homeomorfis- mo, como un subespacio topol´ogico de un cubo de la forma [0, 1]Γ, para alg´un conjunto de ´ındices Γ. Vamos a ver que para los compactos de Eberlein ese cubo puede ser especial, vamos a introducir cualquier compacto de Eberlein K a trav´es de un homeomorfismo como un subconjunto d´ebil compacto de un c0(Γ0) para un cierto conjunto de ´ındices Γ0. Este es el llamado teorema
Teorema 3.3.1. Sea K un compacto de Eberlein, entonces existe un con- junto Γ y una aplicaci´on lineal, continua e inyectiva:
T : (C(K), k k∞) −→ (c0(Γ), k k∞)
que es tambi´en continua para las topolog´ıas de convergencia puntual.
Demostraci´on. Vamos a probar el teorema por inducci´on sobre w(K) = m ≥ χ0.
Si m = χ0, podemos encontrar una sucesi´on (kn)n∈ densa en K y definimos
la aplicaci´on T : C(K) −→ c0 dada por T (f )(n) = 1nf (kn), se observa que
T es lineal, inyectiva y acotada. Tambien se cumple que si consideramos las topolog´ıas puntuales en los dos espacios la aplicaci´on T sigue siendo continua. Por lo tanto asumimos que w(K) = m > χ0 y que el teorema se cumple para
compactos de Eberlein cuyos pesos son menores que m. Sea µ el ordinal m´as peque˜no tal que |µ| = m. Podemos encontrar entonces un subconjunto denso {kα : α < µ} ⊂ K, y por el el teorema 3.2.10 existe una familia
{(Aα, Bα) : 1 ≤ α < µ} de pares conjugados satisfaciendo las condiciones
(i),(ii), (iii) y (iv). Por hip´otesis de inducci´on, para cada α < µ, existe una aplicaci´on Tα : C(Aα) −→ c0(Γα) inyectiva, lineal y continua que es
tambi´en continua con la topolog´ıa puntual, y se puede suponer que k Tα k≤ 1.
Definimos Γ = Sµα=0Γα+1 considerando la uni´on disjunta y pα la retracci´on
can´onica de K en Aα. Definimos entonces T : C(K) −→ l∞(Γ) como sigue,
para cada f ∈ C(K)
T (f )|Γ1 = T1(f |A1)
T (f )|Γα+1 = Tα+1((f − f ◦ pα)|Aα+1) para α > 0
Obtenemos entonces una funci´on que es lineal, acotada y continua para la topolog´ıa puntual por la hip´otesis de inducci´on. Falta probar:
(a)T (f ) ∈ c0(Γ) para cada f ∈ C(K).
(b)T es inyectiva.
(a) Dado que k Tα k≤ 1 es suficiente probar que para cada > 0, el conjunto
{α :k (f −f ◦pα)|Aα+1 k> } es finito. Supongamos que esto no es cierto, existe
entonces una sucesi´on de ordinales α1 < α2 < · · · < µ tales que, para cada i,
existe un ki ∈ Aαi+1 ⊂ Aαi+1 satisfaciendo que |f(ki) −f(pαi(ki))| > . Como
K es compacto podemos suponer que la sucesi´on ki converge a un punto
k ∈ ∪∞
i=1Aαi y lo mismo para pαi(ki) que converge a un punto y ∈ ∪
∞ i=1Aαi.
Tomando l´ımite en j, vemos que pαi(y) = pαi(k) para cada i. Por lo tanto, por
el teorema 3.2.9 tenemos que ¯p(k) = ¯p(y), donde ¯p es la retracci´on can´onica sobre S∞i=1Aαi. Pero k, y ∈
S∞
i=1Aαi, por tanto k = ¯p(k) = ¯p(y) = y, por
otro lado, |f(ki) − f(pαi(ki))| > para cada i, con lo cual |f(k) − f(y)| ≥ ,
lo que es absurdo si k e y son iguales.
(b) Supongamos T f = 0, entonces se cumple que f |A1 = 0 y (f −f◦pα)|Aα+1 =
0 para cada α > 0. Vamos a probar, por inducci´on sobre α, que f |Aα = 0.
Esto es cierto para α = 1, supongamos que tambi´en lo es para f |Aβ = 0
siempre que β < α < µ, hay que probar que tambi´en se cumple para α. Si α es un ordinal l´ımite, sabemos que f se anula sobre Sβ<αAβ el cual es
denso en Aα, entonces por la continuidad de f, f |Aα = 0. Si α = β + 1
entonces de (f − f ◦ pβ)|Aβ+1 = 0, obtenemos que f |Aβ+1 = f ◦ pβ|Aβ+1 = 0 ya
que pβ(Aβ+1) ⊂ Aβ. La afirmaci´on est´a probada, por tanto f | α<µAα = 0.
Entonces por (ii) de 3.2.10 tenemos que f (kα) = 0 para cada α y, finalmente
f = 0 ya que (kα) es denso en K.
Teorema 3.3.2 (Amir-Lindenstrauss). Sea K un compacto de Eberlein, entonces K es homeomorfo a un subconjunto d´ebil compacto de c0(Γ) para
alg´un conjunto Γ.
Demostraci´on. Al ser K un compacto de Eberlein, est´a emparejado con otro compacto H, entonces H es tambin compacto de Eberlein y existe una apli- caci´on lineal, acotada e inyectiva T : C(H) −→ c0(Γ) para alg´un conjunto
Γ, donde T es tambin continua con las topolog´ıas puntuales. Consideramos la aplicaci´on Φ : K −→ Cp(H) de la prueba de 3.1.2 que es un homeomor-
fismo en su imagen, entonces K es homeomorfo a T (Φ(K)) que adem´as es puntualmente compacto, y como es acotado, tambi´en es d´ebil compacto.
El poder ver un compacto de Eberlein a trav´es de un homeomorfismo como subconjunto de c0(Γ) nos permite probar que es tambi´en compacto de
Preiss-Simon, [Ar].
Definici´on 3.3.3. Sea X un espacio topol´ogico, una sucesi´on de subconjun- tos {An : n ∈ N} se dice que converge a un punto x ∈ X si cada entorno de
x contiene todos los An a partir de un n suficientemente grande.
Definici´on 3.3.4. Un espacio topol´ogico X se dice que es un espacio de Preiss-Simon si para cada subconjunto cerrado C ⊂ X, y para cada punto c ∈ C existe una sucesi´on de abiertos no vacios {Un : n ∈ N} de C convergente
Teorema 3.3.5 (Preiss-Simon). Todo compacto de Eberlein es compacto de Preiss-Simon.
Demostraci´on. Sea K un compacto de Eberlein, ya que cada subconjunto cerrado H ⊂ K es tambien un compacto de Eberlein, es suficiente probar el teorema para H = K. Sea pues k ∈ K, como podemos suponer que k ∈ K ⊂ c0(Γ), vamos a demostrar primero el teorema para k(α) = 0 para
cada α ∈ Γ. La siguiente afirmaci´on juega un papel crucial:
Afirmaci´on 3.3.6. Para cada entorno abierto U de k en K y cada > 0 podemos encontrar un conjunto finito B0 ⊂ Γ y un conjunto abierto no vacio
V de K con V ⊂ U y tal que |x(α)| ≤ para cada α ∈ Γ \ B0 y todo
x = (x(α))α∈Γ ∈ V .
Demostraci´on. Fijamos un entorno abierto U de k en K y un > 0, hay que observar que cada elemento x de U ⊂ K ⊂ c0(Γ) tiene un n´umero
finito de coordenadas B = {γ1, . . . , γk} ⊂ Γ donde |x(γj)| > . Considero
la colecci´on Ω de esos subconjuntos finitos de Γ, probaremos que tiene un elemento maximal B0 ⊂ Ω y entonces
V = {x ∈ U : |x(α)| > para cada α ∈ B0}
es el abierto buscado. Considero pues una cadena creciente de elementos de Ω:
B1 ⊂ B2 ⊂ · · · ⊂ Bn ⊂ . . .
vamos a probar que B = ∪+∞i=1Bi es una cota superior de la cadena en Ω. Si
pruebo que B es finito, significar´a que llega un momento que la cadena se estabilizar´a en alg´un Bky entonces hay un elemento x de U tal que |x(α)| >
para α ∈ Bk = B, por lo que B ∈ Ω. Supongamos pues que B es infinito,
entonces no es restrictivo suponer que la cadena es estrictamente creciente. Considerando B1, elijo un elemento x1 ∈ U tal que |x1(α)| > para α ∈
B1. Considerando B2, elijo un elemento x2 ∈ U tal que |x2(α)| > para
α ∈ B2 ⊃ B1. Se puede hacer esto para cada n, y obtenemos una sucesi´on
(xn)
n∈ ⊂ U ⊂ K tal que |xn(α)| > para α ∈ Bn ⊃ Bn−1 ⊃ · · · ⊃ B1. Al
ser K puntualmente compacto, esa sucesi´on tiene un punto de aglomeraci´on y ∈ K ⊂ c0(Γ). Pero esto no puede ser porque por la construcci´on de la
sucesi´on (xn)
n∈ , se cumple que y tiene una cantidad infinita de coordenadas
Volviendo a la demostraci´on del teorema, vamos a buscar una sucesi´on de conjuntos abiertos {Vn : n ∈ N} convergente hacia k ∈ K. La idea es
construir cada Vnde manera que todos sus elementos tengan las coordenadas
menor o igual que 1
n salvo para una cantidad finita de coordenadas que llamo
Bn. Defino entonces Vn+1 de tal manera que en las coordenadas Bn sean
menores que 1
n+1 y en el resto son menores o iguales que 1
n+1 salvo para
una cantidad finita que llamo Bn+1, y as´ı sucesivamente. La construcci´on la
hacemos por inducci´on:
Tomamos U1 = K y B1 = φ, sea n > 1 y supongamos definidos Bn−1 ⊂ Γ
finito y Un−1 ⊂ K abierto, definimos el abierto de K:
Un = {x ∈ Un−1 : |x(α)| <
1
n para todo α ∈ Bn−1} Utilizando la afirmaci´on anterior, para = 1
n podemos elegir un conjunto
abierto Vn ⊂ K y un conjunto finito Bn0 ⊂ Γ tal que Vn ⊂ Un y |x(α)| ≤ n1
para todo α ∈ Γ\B0
ny para todo x ∈ Vn. Tomemos pues Bn= Bn−1∪Bn0 ⊂ Γ
como conjunto finito. Los conjuntos Un, Vny Bnya est´an definidos y cumplen
que Vn+1 ⊂ Un+1 ⊂ Un y Bn ⊂ Bn+1. Probemos que {Vn : n ∈ N} es la
familia de abiertos que converge al punto k. Considero un entorno de k U (0; α1, . . . , αm; ) = {x ∈ K : |x(αi)| < : i = 1, . . . , m}
Defino C = {α1, . . . , αm} ⊂ Γ y fijo n0 ∈ N tal que C ∩ (∪+∞i=1Bi) = C ∩ Bn
para todo n > n0, no es restrictivo suponer que n1 < para todo n > n0.
Estamos en disposici´on de probar que Vn ⊂ U para todo n > n0 + 1. Sea
x ∈ Vn, entonces |x(α)| ≤ 1n < para todo α ∈ Γ \ Bn. Supongamos entonces
que α ∈ Bn∩ C, por la construcci´on anterior se tiene que x ∈ Vn ⊂ Un y
entonces |x(α)| < n1 < para cada α ∈ Bn−1, pero como C ∩ Bn−1 = C ∩ Bn
para todo n > n0+ 1 hemos acabado.
Si elegimos ahora otro punto 0 6= k ∈ K ⊂ c0(Γ), la familia {Vn+ k : n ∈ N}
es una familia de abiertos que converge a k, donde los Vn son los anteriores
que convergen a 0.
3.4
Inmersi´on en un espacio de Banach refle-
xivo
Vemos ahora que todo compacto de Eberlein puede verse, salvo homeomor- fismo, como subespacio d´ebil compacto de un espacio de Banach reflexivo.
Se utiliza la t´ecnica de Davis, Figiel, Johnson y Pelczynski en [Da-Fi-J-Pe], aunque las pruebas se siguen de [D1].
Lema 3.4.1 (Grothendieck). Sea X un espacio de Banach, K ⊂ X un d´ebil cerrado y supongamos que para cada > 0 existe un d´ebil compacto K ⊂ X tal que K ⊂ K+ BX. Entonces K es d´ebil compacto.
Demostraci´on. Sea Kw
∗
el cierre de K en (X∗∗, w∗), si probamos que Kw∗ ⊂
X habremos acabado porque Kw
∗ ⊂ K1+ BX w∗ ⊂ K1 w∗ +BX w∗ = K1+BX∗∗
que es w∗-compacto por el teorema de Alaoglu y donde la ´ultima igualdad
se debe al teorema de Goldstine. Por tanto Kw ser´ıa d´ebil compacto, pero como K es d´ebil cerrado se tendr´ıa que K = Kw y por tanto d´ebil compacto. Fijamos pues > 0, como K
w∗
= K ya que cada K es d´ebil compacto, se
tiene: Kw ∗ ⊂ K+ BX w∗ ⊂ K w∗ + BX w∗ = K+ BX∗∗ y as´ı: Kw ∗ ⊂ ∩>0(K+ BX∗∗) ⊂ ∩>0(X + BX∗∗) = X k·k∗∗ = X donde k k∗∗ es la norma del bidual.
Para un espacio de Banach X en ocasiones es m´as c´omodo utilizar σ(X, X∗)
como s´ımbolo para indicar la topolog´ıa d´ebil. Esto ocurre en la prueba del siguiente teorema.
Teorema 3.4.2 (Inmersi´on en un reflexivo). Sea X un espacio de Banach tal que K ⊂ X es d´ebil compacto. Entonces existe un subconjunto C ⊂ X absolutamente convexo y d´ebil compacto tal que K ⊂ C, K ⊂ XC es
tambi´en d´ebil compacto y el espacio de Banach XC es reflexivo.
Demostraci´on. Por el teorema de Krein-Smulian podemos suponer que K es absolutamente convexo. Para cada n ∈ N considero Bn = 2nK + 21nBX que
es absolutamente convexo, d´ebil cerrado, acotado y 0 ∈ Interior(Bn) 6= φ
(ya que 1
2nBX ⊂ Bn). Por todo esto, si consideramos k kn el funcional de
Minkowski asociado a cada Bn, y tenemos que cada k kn es una norma en
X cuya bola unidad es Bn para cada n ∈ N y dicha norma es equivalente a
la que hab´ıa (ya que 1
2nBX ⊂ Bn⊂ 2n+1BX). Definimos C := {x ∈ X : ∞ X n=1 k x k2 n≤ 1}
que es cerrado, acotado y absolutamente convexo (C = ∩n{x ∈ X :
Pn k=1 k
x k2
n≤ 1}) y su funcional de Minkowski k kC coincide con k x kC= (P∞n=1 k
x k2 n)
1
2, adem´as XC es un espacio de Banach. Observemos lo siguiente:
1) K ⊂ C, ya que si k ∈ K ⇒ 2nk ∈ 2nK ⇒ 2nk ∈ B n ⇒k k k2n≤ (21n)2 ⇒ P∞ n=1 k k k2n≤ P∞ n=1( 1 2n)2 < 1
2) C es d´ebil compacto en X, esto se sigue del lema de Grothendieck ya que C ⊂ 2nK + 2−nB
X para n ∈ N.
3) En C coinciden las topolog´ıas σ(X, X∗) y σ(X
C, XC∗).
Para ello observemos que la aplicaci´on T : XC −→ (
P
n(X, k kn))l2 dada
por T (x) = (x, x, x, . . . ) es una inmersi´on isom´etrica, adem´as se tiene que (Pn(X, k kn))∗l2 es isom´etrico a (
P
n(X∗, k k∗n))l2 y en este espacio las
sucesiones con n´umero finito de coordenadas no nulas, (Pn(X∗, k k∗ n))ϕ,
es denso. As´ı en el acotado C coinciden la topolog´ıa σ(XC, XC∗) y la de
convergencia puntual sobre (Pn(X∗, k k∗
n))ϕ y esta ´ultima topolog´ıa no es
mas que la σ(X, X∗) sobre C. En efecto, la acci´on sobre T (x) = (x, x, . . . )
de (x∗ 1, x∗2, . . . , x∗n, 0, 0, . . . ) es Pn i=1x∗i(x). Como BXC = C que es σ(XC, X ∗
C)-compacto se concluye que XC es reflexivo.
Se observa que un compacto de Eberlein puede verse, salvo homeomor- fismo, dentro de un espacio de Banach reflexivo. Antes de ver otra caracte- rizaci´on para los compactos de Eberlein ([H-H-Z]), hay que ver un resultado previo que es consecuencia inmediata de la prueba del teorema anterior. Corolario 3.4.3. Sea X un espacio de Banach y K ⊂ X un d´ebil compacto. Entonces existe un espacio de Banach reflexivo Y y un operador lineal y acotado T : Y −→ X tal que K ⊂ T (BY).
Demostraci´on. Situ´andonos en el marco de la prueba anterior consideramos la inclusi´on i : (XC, k kC) −→ (X, k k) si llamamos T := i, tenemos
que el operador T es lineal, para ver que es acotado basta darse cuenta que k T (x) k=k x k≤ 2√3 k x kC, probemos la desigualdad:
Al ser K acotado, podemos suponer K ⊂ BX (o al menos para alguna ho-
motecia, y la desigualdad quedar´a igual salvo la constante de la homotecia). Entonces podemos escribir Bn= 2nK + 21nBX ⊂ 2n+1BX, por lo que:
⇒ 212 k x k 2 ∞ X n=1 1 22n ≤ ∞ X n=1 k x k2n⇒ ⇒k x k2 121 ≤k x k2C⇒ ⇒k x k≤ 2√3 k x kC
Ahora, si consideramos Y := XC como ya tenemos probado que es reflexivo,
s´olo nos queda ver que K ⊂ T (BY) pero esto sigue de:
K ⊂ C = BXC = i(BXC) = T (BXC) = T (BY)
Corolario 3.4.4. Sea K un espacio topol´ogico compacto, son equivalentes: (i) K es compacto de Eberlein.
(ii) Existe un espacio de Banach reflexivo Y y un operador lineal y acotado T : Y −→ C(K) tal que T (Y ) = C(K).
Demostraci´on.
(i) ⇒ (ii) Sea K es compacto de Eberlein, utilizando el teorema 3.1.14 existe otro compacto de Eberlein H tal que C(K) = span{H}. Utilizando el resul- tado anterior, existe un espacio de Banach reflexivo Y y un operador lineal y acotado T : Y −→ C(K) tal que H ⊂ T (BY). Utilizando esto podemos
escribir:
span{H} ⊂ span{T (BY)} = T (span{BY})
por lo que
C(K) = span{H} ⊂ T (span{BY}) ⊂ T (Y ) ⊂ C(K)
y queda probado que C(K) = T (Y ). (ii) ⇒ (i) Tenemos que:
span{T (BY)} = T (Y ) = C(K)
como Y es reflexivo se tiene que BY ⊂ Y es d´ebil compacto, adem´as como
T : Y −→ C(K) es lineal y acotado, tambi´en es d´ebil-d´ebil-continuo, como consecuencia T (BY) ⊂ C(K) es d´ebil compacto, por lo que C(K) es d´ebil
compactamente generado por lo tanto K es compacto de Eberlein.
Esta ´ultima caracterizaci´on se puede ver como la caracterizaci´on del teore- ma 3.1.13 pero describiendo el d´ebil compacto que genera al correspondiente C(K), que en este caso es T (BY).