2.6 Compet` encies matem` atiques, habilitats i projectes
2.6.5 Instrument d’an` alisi de la compet` encia en pensament i raonament matem` atic
raonament matem`atic
No hi ha la mateixa tradici´o d’estudiar la compet`encia en pensament i raonament matem`atic com la d’estudiar la compet`encia modelitzadora que s’acaba de veure. Farem una aproxi- maci´o per a la seva definici´o. Basant-nos en les idees de Niss i de Mason considerem el pensament i raonament matem`atic competent ve caracteritzat prrincipalment pels proces- sos de: identificaci´o, reconeixement, formulaci´o de q¨uestions, distinci´o, selecci´o, establiment de relacions, establiment d’hip`ootesis i conjectures, interpretacions, valoracions, comprensi´o, elaboraci´o d’arguments.
Tenint en compte l’experi`encia acumulada en els darrers anys que hem realitzat aques- tes activitats s’ha elaborat el seg¨uent llistat de compet`encies i indicadors d’assoliment que caracteritzen el pensament i raonament matem`atic en el treball de projectes.
Taula 2.11Compet`encies en pensament i raonament matem`atic i indicadors d’assoliment.
Compet`encies Indicadors d’assoliment
1. Plantejar q¨uestions
matem`atiques
11.- Ser capa¸c de q¨uestionar-se matem`aticament el treball.
12.- Identificar propietats rellevants matem`atiques en el decurs del
treball.
2. Compr´en i manipula les limita-
cions i l’abast de conceptes donats.
21 .- Identificar rangs de validesa de propietats.
22.- Recon`eixer conceptes matem`atics en situacions reals i les rela-
cions que puguin donar-se entre ells.
23.- Recon`eixer varables rellevants per la construcci´o del model.
24.- Saber fer raonadament suposicions sobre les condicions del pro- blema o fixar valors de variables que intervenen o restringir-los en
funci´o de la naturalesa del problema real plantejat.
25.- Recon`eixer l’abast i aprofundiment del problema plantejat.
26.- Recon`eixer limitacions vinculades a les propietats matem`atiques
dels conceptes implicats.(precisi´o matem`atica)
Contninuaci´o de la taula 2.11
Compet`encias Indicadors d’assoliment
3.- Extensi´o de l’abast d’un con-
cepte per abstracci´o d’algunes de
les seves propietats; generalitzaci´o
de resultats al major nombre de classes d’objectes.
31.- Reconeixement i ´us de propietats matem`atiques necess`aries per
a resoldre la situaci´o.
32.- Reconeixement i ´us de formes de resoldre per mitj`a de genera-
litzacions.
33.- Fa servir un contingut nou per deducci´o o abstracci´o d’algunes
de les relacions observades.
4.- Distinci´o entre diferents tipus
d’estaments matem`atics
41.- Saber justificar les matem`atiques que fa servir.
42.- Distinguir entre processos anal´ıtics, geom`etrics, etc.-
5.-Comprendre i avaluar argu-
ments encadenats posats per al- tres.
51.- Identificar informacions matem`atiques necess`aries.
52.- Establir argumentacions sobre els elements matem`atics del pro-
blema.
6.- Saber el que ´es una com-
provaci´o matem`atica i en que es
diferencia d’altres tipus de rao-
naments matem`atics per exemple
heur´ıstics.
61.- Realitzar comprovacions.
62.- Identificar processos de prova deductiva. 63.- Identificar processos d’assaig/millora.
7.- Recon`eixer les idees b`asiques
d’una linia argumental donada, distingint les idees principals dels detalls, les idees dels tecnicismes.
71.- Explicitar de forma distingida elements matem`atics emprats.
72.- Representar argumentadament per mitj`a d’expresions
matem`atiques.
8.-Inventar arguments matem`atics
formals i informals, i transformant arguments heur´ıstics en proves
v`alides
81.- Evidenciar arguments heur´ıstics. 82.- Introduir raonaments informals. 83.- Realitzar proves.
A la columna de l’esquerra estan les compet`encies que integren aquest bloc i a la dreta estan els indicadors d’assoliment que ens han de permetre fer l’an`alisi dels nivells competencials dels alumnes en la realitzaci´o de projectes.
Al seg¨uent apartat es mostren les compet`encies i indicadors d’assoliment del bloc de co- municaci´o d’idees matem`atiques.
2.6.6
Instrument d’an`alisi de la compet`encia en comunicaci´o
d’idees matem`atiques
Per a definir les compet`encies que integren aquest bloc, aix´ı com els seus corresponents in- dicadors d’assoliment, ens trobem amb problemes similars als del bloc anterior de les com- pet`encies de pensament i raonament matem`atic.
El que es far`a ´es combinar els elements que s´on propis de la comunicaci´o matem`atica que considera Niss (2003) amb el que es considera que s´on els bons elements de la comunicaci´o (Haines et al., 1996a) El resultat ´es la taula 2.12
Taula 2.12: Subcompet`encies i indicadors d’assoliment
Subcompet`encia Indicadors d’assoliment
1.- Ser capa¸c de fer ´us expl´ıcit de representacions d’objectes matem`atics i la seva interpretaci´o en el model.
11.- Captar l’atenci´o de l’auditori en els objectes matem`atics i en la seva interpretaci´o associats a l’activitat.
12.- Mostrar indicis de reflectir i interpretar amb claredat els objectes matem`atics que apareixen al model.
13.- Representar i interpretar amb un cert grau de precisi´o les variables que intervenen en el model i les seves relacions.
14.- Mostrar de forma adient, un bon sistema de relacions entre objectes matem`atics associats al model.
15.- Representar de forma precisa les relacions entre realitat i objectes matem`atics associats al llarg de tot el treball.
16.- Manifestar judicis adients per a mostrar informacions rellevants del model.
2.- Ser capa¸c de des- codificar formalismes mi- jant¸cant l’´us de sistemes de signes matem´atics adi- ents.
21.- Mostrar i exemplificar expl´ıcitament els processos realitzats, i els objectius de manera comprensible i emp`atica.
22.- Explicitar i assumir les accions de descodificaci´o en el model, trans- metent aquest proc´es de manera coherent.
23.- Descodificar amb precisi´o i correcci´o interpretativa, fent servir els sistemes de signes adients.
24.- Mostrar exemples de manera sistem´atica en els moments de desco- dificaci´o.
25.- Separar amb coher`encia els objectius del problema, i justificar el proc´es de descodificaci´o de manera adient. Si ´es possible, m´es enll´a de identificar els instruments matem´atics emprats.
26.- Expressar amb fidelidat i precisi´o els elements de descodificaci´o relle- vants per a captar el model. En la mesura del possible saber explicitar la distinci´o entre particularitzaci´o i generalitzaci´o a la comprensi´o del model.
Continuaci´o de la taula 2.12
Subcompet`encia Indicadors d’assoliment
3.- Ser capa¸c de fer servir registres diferenciats a les
explicitacions del proc´es de
modelitzaci´o
31.- Fer servir diferents registres comunicatius per a expressar les fases que
componen el proc´es de modelitzaci´o adoptat.
32.- Recon`eixer argumentacions associades als registres utilitzats, de manera
que expliquin de manera comprensiva moments (al menys un d’ells) claus del model.
33.- Fer servir registres diferents de manera adient, amb esfor¸c per a esgotar
les possibilitats de fer-ho. En especial, fer servir els registres simb´olics de
manera adient.
34.- Fer servir registres diferents per posar en evidencia l’organitzaci´o del
treball realitzat per tal d’explicar millor el model.
35.- Expressar amb claredat l’estructura del proc´es realitzat relacionant els
registres corresponents. M´es especialment, en l’explicitaci´o dels objetius i
conclusions.
36.- Fer servir registres diferents associats als diferents moments del proc´es
de modelitzaci´o. Expressar el seu significat i valor
4.- Ser capa¸c d’aplicar
t´ecniques i principis adients
i explicitar-los de manera correcta.
41.- Mostrar de manera coherent les t`ecniques matem`atiques emprades en
el proc´es de matematitzaci´on vertical en el model.
42.- Explicitar els procediments matem`atics i el seu inter`es per a la descripci´o
del model.
43.- Fer servir operacions, c`alculs, i principis correctes i variats per a la
justificaci´o del model.
44.-Explicitar amb precisi´o la finalidat de certas t`ecniques que s’han fet
servir en un moment determinat.
45.- Incorporar a les explicacions del proc´es, les t´ecniques utilitzades a cada
una de las fases, y sempre que sigui possible introduir exemples adients que
mostrin la relaci´o particular-general pr`opia del model.
46.- Introduir explicacions que mostrin la rellev`ancia de certes t´ecniques
emprades en el model, per damunt d’altres menys rellevants.
5.- Explicitar el model em- prat al llarg del treball fent servir argumentacions
matem`atiques adients.
51.- Comunicar el treball realitzat, reconeixent el valor social i de descobri- ment emprant arguments convincents.
52.- Descriure les parts importants del proc´es fent servir arguments concisos
i fonamentant-se amb exemples particulars.
53.- Fer servir argumentacions inferencials i comparatives per a expressar i
justificar els elements del proc´es que es descriuen.
54.- Explicitar les principals idees del proc´es mitjan¸cant recursos comuni-
catius estructurats.
55- Expressar argumentacions adequades que permetin visualitzar el conjunt
del proc´es realitzat i distingir-lo dels elements que l’integren.
56.- Exposar arguments que posin en evid`encia els elements claus del proc´es
realitzat.
6.- Exposar el treball de
modelitzaci´o fent servir
eines i recursos adients.
61.- Mostrar aspectes del treball realitzat, si pot ser els m´es rellevants,
mitjan¸cant recursos comunicatius atractius.
62.- Utilitzar eines visuals diverses a la presentaci´on, oral o escrita, del
treball, de manera que fa veure m´es enll`a del que estrictament s’ha presentat.
63.- Fer servir eines per aconseguir exactitut i precisi´o en els c´alculs i figures.
64.-
65.- Mostrar generalitat i variabilitat mitjan¸cant recursos adients als mo- ments oportuns del treball.
66.- Expresar t´ecnicamente la variabilitat del fen`omen, m´es enll´a del dossier
o ppt, per a mostrar la seva import`ancia. Mostrar les generalitzacions amb
L’estructura de la taula ´es similar a les anteriors. A la columna de l’esquerra estan les compet`encies que integren aquest bloc i a la dreta estan els indicadors d’assoliment que ens han de permetre fer l’an`alisi dels nivells competencials dels alumnes en la realitzaci´o de projectes. Aix´ı doncs aquest ser`a l’instrument d’an`alisi que es far`a servir a la recerca.
2.7
Resum
La decisi´o de centrar la recerca en les compet`encies dels alumnes amb dificultats en la rea- litzaci´o de projectes ens obliga a plantejar-nos i respondre una serie de q¨uestions com quina concepci´o tenim de les matem`atiques, qu`e pretenem aconseguir amb els projectes, de quina manera, etc`etera que s´on les pr`opies del disseny curricular. Per aix`o s’ha fet una revisi´o de les ´ultimes tend`encies en els curr´ıculums per veure que l’anomenat enfoc cultural ´es el que millor s’adapta als nostres plantejaments. Es veuen les matem`atiques com una creaci´o dels homes per a resoldre els problemes que se’ls plantejaven a la vida. Aix´ı es reconeix a les matem`atiques un paper important en el desenvolupament de la societat. A partir d’aqu´ı els aspectes culturals i socials de l’aprenentatge tenen import`ancia. Des d’aquesta perspectiva s’ha hagut de donar resposta a problemes sobre l’ensenyament i aprenentatge de les matem`atiques. Els referents que s’han fet servir procedeixen de la teoria de l’Educaci´o Matem`atica Real´ıstica (EMR). Aquesta teoria parteix d’una determinada manera d’entendre les matem`atiques i el seu ensenyament i aprenentatge que s´on coherents amb les nostres creences i prop`osits.
S’ha abordat el problema de definicions dels conceptes que intervenen a la recerca ja que, en general, s´on habituals a l’educaci´o matem`atica per`o no s´on de significat un´ıvocs. Aix´ı s’ha expressat el que s’ent´en per alumnes heterogenis i quines s´on les millors estrat`egies d’ensenyament i d’aprenentatge.
S’ha fet una caracteritzaci´o del que entenem per les activitats de projectes matem`atics real´ıstics. S’ha mostrat que es tracta d’una activitat innovadora que va m´es enll`a de la idea cl`assica de projecte de Dewey, m´es enll`a de la resoluci´o de problemes, m´es enll`a dels superproblemes en el sentit de Friedlander. Bona part de l’activitat ´es la modelitzaci´o de situacions reals per`o va m´es enll`a. Molts investigadors i professors reconeixen la especial import`ancia de les activitats de modelitzaci´o en l’educaci´o matem`atica. Ens hem ocupat tamb´e de definir com treballen professors i alumnes en aquests tipus d’activitats. Sobre el tema de modelitzaci´o i aplicacions hi ha una gran tradici´o en investigaci´o des dels anys 60 per`o que recentment s’ha vist incrementar molt. Al llarg d’aquests anys s’han fet aven¸cos importants que hem tingut en compte, tamb´e hem procurat recollir les aportacions m´es recents que procedeixen dels pa¨ısos anglosaxons, n`ordics, Alemania i Jap´o. Al final d’aquest apartat s’ha donat la definici´o dels projectes matem`atics real´ıstics.
Finalment hem abordat el tema de les compet`encies a l’educaci´o. S’ha justificat la seva pres`encia i s’han donat algunes definicions que permeten justificar els tres blocs competencials, el de modelitzaci´o, el de comunicaci´o d’idees matem`atiques i el de pensament i raonament matem`atics que es consideren a la recerca. Sobre l’an`alisi de les compet`encies matem`atiques
no existeixen massa investigacions. Recentment s´ı que se n’han fet referides a les com- pet`encies modelitzadores, per`o no s´on conegudes sobre comunicaci´o i pensament i raonament matem`atics. En base a aquestes recerques realitzades i a l’experi`encia acumulada en els anys que hem realitzat els projectes amb els alumnes, hem dissenyat uns instruments d’an`alisi dels nivells competencials que hauran de ser ´utils per aplicar-los m´es endavant a la recerca.
Metodologia
3.1 Introducci´o