Integraci´ on en el tiempo

Como se dedujo en el Cap´ıtulo 2, Secci´on 2.3, la ecuaci´on de movimiento general corresponde a

M¨a+C ˙a+Ka=fext (4.2.1)

Esta representa un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden, y puede ser resuelto a trav´es de m´etodos de integraci´on directa. Como lo se˜nala Bathe (1996), los m´etodos de integraci´on directa est´an basados en dos ideas. En primer lugar, en vez de intentar resolver la ecuaci´on 4.2.1 para todo tiempo t, se busca satisfacer esta ecuaci´on solo cada ciertos intervalos de tiempo discretos ∆t. En segundo lugar, estos m´etodos suponen previamente la manera en que los desplazamientos, velocidades y aceleraciones variar´an al interior del intervalo ∆t. Este supuesto es el que determinar´a la exactitud, estabilidad y costo computacional de cada m´etodo.

El m´etodo de Newmark, propuesto en 1959, corresponde a la familia de algoritmos probablemente m´as utilizada en la integraci´on directa de la ecuaci´on de movimiento (Kontoe, 2006). Este est´a basado en una expansi´on de Taylor truncada para aproximar el desplazamiento y la velocidad en el tiempo t + ∆t, es decir, a(t + ∆t) = at+∆t

y ˙a(t+ ∆t) = ˙at+∆t_{, suponiendo que el desplazamiento, velocidad y aceleraci´on son}

conocidos en el tiempo t. De esta manera, partiendo de las series de Taylor

at+∆t=at+˙at∆t+¨at∆t 2 2 + ...at ∆t3 6 +... (4.2.2) ˙at+∆t = ˙at+a¨t∆t+ ...at∆t2 2 + ....at ∆t3 6 +... (4.2.3)

el m´etodo trunca estas ecuaciones y las expresa en la siguiente forma:

at+∆t =at+ ˙at∆t+ 1 2 −βN ¨ at+βN¨at+∆t ∆t2 (4.2.4) ˙at+∆t = ˙at+h(1−γN)¨at+γN¨at+∆t i ∆t (4.2.5)

donde los par´ametro γN y βN definen distintas implementaciones de la familia de

algoritmos de Newmark y controlan la precisi´on y estabilidad del m´etodo.

La estabilidad de un m´etodo se da cuando los errores debido a las aproximaciones no crecen a medida que se desarrolla el proceso de integraci´on (Bathe, 1996). Un algoritmo es incondicionalmente estable si la estabilidad se asegura independientemente del paso

de tiempo ∆t escogido. Para conseguir una formulaci´on incondicionalmente estable del m´etodo de Newmark se requiere cumplir:

γN ≥0,5; βN ≥0,25(0,5 +γN)2 (4.2.6)

Por otro lado, el algoritmo escondicionalmente establesi requiere de un paso de tiempo,

∆t, menor a un determinado valor cr´ıtico, ∆tcrit, para que este sea estable. En el caso

del m´etodo de Newmark, esta condici´on est´a dada por:

∆t≤∆tcrit= 1

π√1−4βN

Tmin (4.2.7)

donde Tmin corresponde al menor periodo natural del sistema. En el caso de un sis-

tema de m´ultiples grados de libertad, como ocurre en general en la modelaci´on de suelos, cumplir esta condici´on puede forzar la selecci´on de un paso de tiempo, ∆t, muy peque˜no, lo que resulta muy restrictivo desde el punto de vista del costo computacio- nal. En consecuencia, los algoritmos incondicionalmente estables son, por lo general, preferibles. En estos, el paso de tiempo ∆t seleccionado solo define la exactitud de la soluci´on (mientras m´as peque˜no sea escogido este, mayor exactitud tendr´a la soluci´on). Otra caracter´ıstica relevante de este tipo de algoritmos es la presencia de amortigua- miento num´erico. En general, debido a la discretizaci´on espacial del m´etodo de ele- mentos finitos, este no puede representar adecuadamente los modos asociados a las fre- cuencias altas, introduci´endose oscilaciones espurias en la respuesta. En consecuencia, una propiedad deseable de los algoritmos de integraci´on directa es el amortiguamien- to num´erico, cuyo prop´osito es filtrar estas oscilaciones espurias, preservando solo los modos importantes, asociados a las frecuencias bajas (especialmente en el caso s´ısmico).

¨ a(t) t t+ ∆t ¨ at ¨ at+∆t ¨a(t) t t+ ∆t ¨ at ¨at+∆t ¨ at+¨at+∆t 2 (a) (b)

¨a

+

δt

Figura 4.1: M´etodo de Newmark de (a) aceleraci´on lineal y (b) aceleraci´on promedio

constante.

Algunas de las formulaciones t´ıpicas del m´etodo de Newmark se describen a continua- ci´on:

γN = 1/2 y βN = 1/6: El m´etodo es llamado de aceleraci´on lineal, ya que

supone que la aceleraci´on var´ıa linealmente dentro del intervalo de tiempo ∆t (ver Figura 4.1 (a)). El m´etodo es condicionalmente estable, debi´endose cumplir ∆t≤0,55Tmin para asegurar estabilidad.

γN = 1/2 yβN = 1/4: El m´etodo se denomina de aceleraci´on promedio constan-

te (o regla trapezoidal), debido a que supone un valor uniforme de aceleraci´on durante el intervalo de tiempo ∆t (ver Figura 4.1 (b)). El m´etodo es incondi- cionalmente estable. Como lo prueba Dahlquist (1963, citado por Kontoe, 2006) esta es la formulaci´on incondicionalmente estable que posee mayor exactitud. Su desventaja es la ausencia de amortiguamiento num´erico.

γN = 0,6 y βN = 0,3025: El m´etodo incluye amortiguamiento num´erico. Es

incondicionalmente estable.

La ecuaci´on de movimiento para el tiempo t+ ∆t puede escribirse como

Reemplazando las ecuaciones 4.2.4 y 4.2.5 en 4.2.8, esta puede ser reescrita como: (c0M+c1C+K)at+∆t =fextt+∆t+M(c0at+c2˙at+c3¨at) +C(c1at+c4˙at+c5¨at)

(4.2.9) que tiene la estructura

ˆ

Kat+∆t=ˆf_extt+∆t (4.2.10)

donde

ˆ

K: Matriz global de rigidez din´amica. ˆ_ft+∆t

ext : Vector global de fuerza externa din´amica. y donde c0−c5 corresponden a distintas constantes:

c0 = 1 βN∆t2 (4.2.11) c1 = γN βN∆t (4.2.12) c2 = 1 βN∆t (4.2.13) c3 = 1 2βN −1 (4.2.14) c4 = γN βN −1 (4.2.15) c5 = ∆t 2 γN βN −2 ! (4.2.16) De esta manera, para el caso lineal-el´astico, el algoritmo se puede escribir como sigue.

1.1 Definir los valores iniciales:a0_{, ˙a}0 _{y a¨}0_.

1.2 Determinar la matriz global de rigidez din´amica:

ˆ

K=K+c0M+c1C (4.2.17)

y para cada paso de tiempo:

2.1 Determinar el vector global de fuerza externa din´amica en el tiempo t+ ∆t:

ˆ_ft+∆t

ext =fextt+∆t+M(c0at+c2˙at+c3¨at) +C(c1at+c4˙at+c5¨at) (4.2.18)

2.2 Determinar el desplazamiento en el tiempot+∆t,at+∆t_{, a partir de la ecuaci´on}

4.2.10.

2.3 Actualizar la aceleraci´on y velocidad en el tiempo t+ ∆t, de acuerdo a:

¨

at+∆t=c0(at+∆t−at)−c2˙at−c3¨at (4.2.19)

˙at+∆t= ˙at+c6a¨t+c7¨at+∆t (4.2.20)

dondec6 y c7 son constantes definidas seg´un

c6 = ∆t(1−γN) (4.2.21)

c7 =γN∆t (4.2.22)

En el caso no lineal, se requiere un proceso iterativo para resolver el paso 2.2. Utilizando el m´etodo de Newton-Raphson de rigidez inicial, la ecuaci´on 4.2.10 puede escribirse, para la iteraci´on j, como

ˆ

at+∆t,j =at+∆t,j−1+ ∆aj (4.2.24) donde ˆ_ft+∆t,j−1 int =fintt+∆t,j −1_{+ (} c0M+c1C)at+∆t,j−1 (4.2.25)

En consecuencia, el proceso iterativo para la resoluci´on del problema din´amico no lineal tiene la misma forma que para el caso est´atico (visto en el Cap´ıtulo 3), con la diferencia de que en el caso din´amico tanto la matriz de rigidez como los vectores de fuerza contienen la contribuci´on de la inercia y amortiguamiento del sistema. En general, para el caso din´amico se obtiene una convergencia m´as r´apida que para el caso est´atico y esta puede ser mejorada disminuyendo el tama˜no del paso de tiempo ∆t. Esto se debe a la contribuci´on de la matriz de masa en la matriz de rigidez din´amica, que se hace m´as dominante a medida que el tama˜no del paso de tiempo es menor (Bathe, 1996).