• materias expulsables, si pueden expulsarse desde el sistema al entorno, • materias incorporables, si pueden incorporarse al sistema desde el entorno, • materias ilimitadas, si son a la vez expulsables e incorporables,
• materias limitadas, si no son ni expulsables ni incorporables. Un gráfico servirá para aclarar la exposición
La frontera del sistema es para las materias expulsables permeable sólo para la salida, para las incorporables permeable sólo para la entrada, para las ilimitadas permeable en ambas direcciones y para las limitadas impermeable69. Por lo tanto el tipo de materia depende de si la materia puede franquear o no la frontera del sistema y de la dirección en la que puede hacerlo. Tenemos pues que el sistema, o si se prefiere el metabolismo, incorpora materias desde su entorno, las transforma en su interior y expulsa materias a su entorno.
Definiremos los comportamientos simples como aquellos en los que la materia no cambia de tipo con el tiempo, o que como las recetas cambia de forma periódica. Supondremos que el entorno puede proveer sin cota de las materias incorporables al sistema y que el entorno puede absorber las materias expulsables también sin límite70.
69 Hablamos de membranas o paredes permeables en una dirección como una abstracción, ya que éste es
un concepto que debe tratarse con cuidado si no queremos caer en imposibles desde un punto de vista físico, como ya señaló Szilárd. Una membrana permeable en una dirección (sin necesidad de la aplicación de trabajo para su funcionamiento) sería un “demonio de Maxwell” que podría generar un gradiente que podría usarse como fuente de trabajo. Una membrana permeable en una dirección implica también que la dinámica del sistema depende de la dirección temporal.
70 Por supuesto es obvio que ningún entorno real, tampoco el planeta Tierra, puede proveer o absorber
materias sin cota y que este hecho tiene consecuencias muy importantes a la hora de estudiar la dinámica de los sistemas. Un sistema que crece geométricamente acabará siendo relativamente grande para cualquier entorno, como sabían perfectamente Ricardo y los clásicos o Jevons (ya hicimos una breve referencia a esto al tratar los “rendimientos decrecientes” en el capítulo 9). Por ejemplo, la población que estudiamos en §7.1, que crece con un factor de 1.047 por quinquenio equivalente a una tasa menor del 1%
sistema
entorno
frontera
ilimitadas
limitadas
incorporables
sistema
eliminablesentorno
frontera
ilimitadas
limitadas
incorporables
11 TIPOS DE PROCESOS Y MATERIAS
Además en nuestros modelos supondremos que el tipo de cada materia es un dato conocido.
En nuestras ecuaciones podemos tratar los diferentes tipos de materias escribiendo las condiciones de balance material para cada tipo con signos diferentes71 según corresponda:
• materias expulsables, balance material ≥ 0, • materias incorporables, balance material ≤ 0, • materias ilimitadas, balance material 0, • materias limitadas, balance material = 0.
Por lo tanto la manera en la que la materia pueda franquear o no la frontera del sistema determina el signo de la condición de balance material correspondiente.
11.2 Tipos de procesos
Además los procesos operan de forma definida por el signo de su intensidad. Apuntaremos brevemente este aspecto, que en otro trabajo desarrollaremos con más detalle. Dependiendo del sentido en el que opere, podemos tratar los diferentes tipos de procesos escribiendo las intensidades con signos diferentes
• procesos directos, intensidad ≥ 0, • procesos inversos, intensidad ≤ 0, • procesos mixtos, intensidad 0, • procesos imposibles, intensidad = 0.
Por ejemplo, si tenemos las recetas escritas con las matrices A y B, y éstas son no-
negativas, los procesos directos consumirán una serie de materias en el momento t y producirán otras en el momento t+1, los procesos inversos producirán en t y consumirán en t+1, los procesos mixtos pueden operar tanto de forma directa como inversa y los procesos imposibles no pueden operar de ninguna manera.
anual, se duplicaría cada 75 años; un sistema que creciera con una tasa anual del 8% se duplicaría cada 9 años, se decuplicaría cada 30 y se centuplicaría cada 60. Un crecimiento geométrico acabará pues chocando con las limitaciones que le impone el entorno, y esto es clave para entender aspectos fundamentales de las economías, por ejemplo las “crisis periódicas”, como veremos en otro trabajo. Por lo tanto con nuestros modelos sólo pretendemos estudiar algunas propiedades de la realidad y para ello abstraemos otras circunstancias. No obstante, si el sistema es relativamente pequeño con respecto al entorno, suponer que éste puede proveer o absorber determinadas materias sin límite no es demasiado irreal, sobre todo teniendo en cuenta que siempre podemos definir como limitadas las materias para las que esto no puede aceptarse. De todas formas más adelante plantearemos otras ecuaciones que no necesitan de estos supuestos y que por ello sí pueden tratar con entornos más realistas.
SEGUNDA PARTE. DESARROLLO DE LOS MODELOS
126 11.3 Forma estándar
Nosotros planteamos nuestros sistemas originariamente escribiendo las condiciones de balance material con signo =, lo que equivale a suponer que todas las materias son limitadas, y las intensidades de los procesos con signo ≥, que equivale a suponer que los procesos son directos72. Hicimos esto para facilitar la comprensión, pero también porque con estos supuestos podemos abarcar el resto de los casos, como veremos. Los sistemas de ecuaciones escritos bajo estos supuestos diremos que están en forma
estándar, mientras que si los balances materiales están escritos con desigualdades
diremos que están en forma general.
11.3.1 Tipos de materias definidas con procesos añadidos
Para tratar los tipos de materias podemos añadir una serie de procesos de incorporación o eliminación gratuita según corresponda, manteniendo las condiciones de balance material escritas con igualdades (y ya hicimos esto mismo en algún ejemplo anterior). Por supuesto recordemos que estos procesos no significan en ningún caso que las materias puedan crearse o destruirse, sino que son trasladadas desde o hasta el entorno73. Así para cada materia, dependiendo de su tipo, procederemos:
• materias expulsables, añadimos un proceso de eliminación gratuita, • materias incorporables, añadimos un proceso de incorporación gratuita,
• materias ilimitadas, añadimos un proceso de eliminación gratuita y otro de incorporación gratuita,
• materias limitadas, no añadimos ningún proceso.
Los procesos de eliminación gratuita podemos escribirlos como procesos que consumen la materia sin producir ninguna otra. Si la materia correspondiente fuera la primera, con los procesos escritos con las recetas A y B, tendríamos
A = [1, 0, 0, ..., 0] B = [0, 0, 0, ..., 0]
Para los procesos escritos con las matrices de flujos netos fr
f0 = [–1, 0, 0, ..., 0] f1 = [0, 0, 0, ..., 0] f2 = [0, 0, 0, ..., 0] ...
72 En cambio en el artículo original John von Neumann supone “que los factores de producción naturales,
incluyendo el trabajo, están disponibles ilimitadamente” y escribe las condiciones de balance material para el resto de materias con desigualdades. Esto equivale a suponer implícitamente que la tierra, los humanos y demás “factores de producción naturales” serían materias ilimitadas y el resto materias expulsables.
73 De hecho hubiéramos podido tratar los flujos a través de la frontera del sistema como un caso particular
de transporte espacial, en donde la materia es transportada desde el entorno al sistema o al revés y en donde se abstrae el entorno. Pero estos aspectos tienen la suficiente importancia como para que resulte preferible dedicarles una atención específica.
11 TIPOS DE PROCESOS Y MATERIAS
Para los procesos escritos con las funciones de flujos netos f(r), y usando la delta de
Dirac,
f(r) = [–δ(r–0), 0, 0, …, 0]
Para los procesos escritos con funciones de producción fi(X) podemos añadir un insumo
más de la materia correspondiente que no es argumento de ninguna función de producción.
Los procesos de incorporación gratuita podemos escribirlos como procesos que producen la materia sin consumir ninguna otra. Con las recetas A y B podemos escribir74
A = [–1, 0, 0, ..., 0] B = [0, 0, 0, ..., 0]
Para los procesos escritos con las matrices fr nos queda
f0 = [1, 0, 0, ..., 0] f1 = [0, 0, 0, ..., 0] f2 = [0, 0, 0, ..., 0] ...
Para los procesos escritos con f(r) tenemos f(r) = [δ(r–0), 0, 0, …, 0]
Para los procesos escritos con funciones de producción fi(X) podemos reescribir la
función, que sería la antigua más una variable que puede tomar valores no negativos.
Tenemos que añadiendo procesos de eliminación e incorporación gratuita podemos tratar todas las materias como si fueran limitadas y por ello tratar todos los tipos de materias escribiendo las condiciones de balance material con igualdades.
11.3.2 Tipos de procesos definidos cambiando los signos de las recetas
Para tratar los tipos de procesos podemos cambiar el signo de sus flujos netos, para poder escribir el problema manteniendo las intensidades escritas con signo ≥. Así para cada proceso, dependiendo de su tipo, procederemos:
• procesos directos, escribimos el proceso tal cual,
• procesos inversos, escribimos el proceso cambiando el signo de sus flujos netos, • procesos mixtos, escribimos el proceso tal cual y además añadimos otro con el
signo de sus flujos netos cambiados,
• procesos imposibles, no escribimos el proceso.
74 A veces nos interesa que todos los coeficientes sean no-negativos, pero entonces podemos retrasar la
incorporación un paso temporal y escribir
A = [0, 0, 0, ..., 0] B = [1, 0, 0, ..., 0]
No obstante entonces debemos tener en cuenta el retraso a la hora de analizar la solución de VN, aunque no en la de TE porque entonces la solución no depende del tiempo.
SEGUNDA PARTE. DESARROLLO DE LOS MODELOS
128
Si, una vez resuelto VN o TE, queremos convertir las intensidades a la forma general debemos cambiar el signo de las intensidades de los procesos inversos, debemos tomar como intensidad de los procesos mixtos la del proceso correspondiente escrito tal cual menos la del proceso con el signo cambiado y debemos atribuir una intensidad 0 a los procesos imposibles.
11.4 Forma canónica
Además de la forma estándar a veces es útil, por ejemplo en algunos algoritmos, plantear los problemas de manera que tanto a las intensidades como a los balances materiales les corresponda el signo ≥. Los problemas escritos de esta manera diremos que están en forma canónica.
11.4.1 Tipos de materias definidas cambiando los signos
Para tratar los tipos de materias procederemos:
• materias expulsables, escribimos la materia tal cual,
• materias incorporables, escribimos la materia cambiando su signo, • materias ilimitadas, no escribimos la materia,
• materias limitadas, escribimos la materia tal cual y añadimos otra igual pero con el signo cambiado.
El problema de esta manera de tratar las materias es que tenemos que alejarnos de un planteamiento físico de las recetas, de manera que por ejemplo en el caso de las limitadas tenemos que incluir dos veces la misma materia, aunque con el signo cambiado. Esto supone un inconveniente al estudiar la Física de los sistemas y por eso preferiremos la forma estándar o la general. Una vez resueltas las ecuaciones en la forma canónica, para pasar a la forma general debemos cambiar el signo del valor de las materias incorporables, tomar como 0 el valor de las ilimitadas y atribuir un valor a las limitadas igual al multiplicador de la materia escrita tal cual menos el de la materia escrita con signo cambiado.
11.4.2 Tipos de procesos definidos cambiando los signos
Procederemos como ya señalamos en §11.3.2. 11.5 Tipo de materia y valor
El tipo de materia determina el signo del multiplicador de Lagrange correspondiente en nuestros modelos, como se evidencia transcribiendo las recetas a la forma estándar. En efecto, para las materias expulsables las condiciones de máximo de los procesos de eliminación gratuita quedan
11 TIPOS DE PROCESOS Y MATERIAS – yi ≤ 0
y si estos procesos operan se aplica =. Por lo tanto una materia expulsable tiene valor no-negativo y si el proceso de eliminación opera valor nulo, como ya señalamos en §4.4.
Para las materias incorporables las condiciones de máximo de los procesos de incorporación gratuita quedan
yi ≤ 0
y si estos procesos operan se aplica =. En consecuencia una materia incorporable tiene valor no-positivo, y si el proceso de incorporación opera valor nulo.
Para las materias ilimitadas las condiciones de máximo de los procesos de eliminación gratuita quedan
– yi ≤ 0
y las de los procesos de incorporación gratuita resultan
yi ≤ 0
Por lo tanto una materia ilimitada tiene siempre valor nulo.
Para las materias limitadas no necesitamos añadir ningún proceso, por lo que pueden mostrar valores de cualquier signo.
En resumen, los valores (los precios en VN y los valores-trabajo en TE) nos quedan según el tipo de materia:
• materias expulsables, balance material ≥ 0, valor ≥ 0, • materias incorporables, balance material ≤ 0, valor ≤ 0, • materias ilimitadas, balance material 0, valor = 0, • materias limitadas, balance material = 0, valor 0,
y si alguna materia es realmente expulsada o incorporada entonces su valor es nulo, lo que podemos anotar
balance material · valor = 0.
A todas estas relaciones las llamaremos reglas del signo del balance material y el valor.
Estas propiedades también podrían haberse deducido si en vez de transcribir las recetas a la forma estándar hubiéramos escrito las condiciones de balance material con los
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