Interpretación e ilustración de las reglas de excepción

Sean A, B, C y A∩B los subconjuntos de individuos de E que verifican las variables a, b, c y (a y b), respectivamente. En la situación aquí mostrada, las

Las partes rayadas corresponden a los contraejemplos observados o aleatorio de a → b B(n_b) A(n_a) Y(n _b) a X(n ) E

variables son binarias, pero el ASI permite considerar de igual modo otros tipos de variables (Gras 2005).

3.1

Dos enfoques para la caracterización de las reglas de excepción

Supongamos la situación prototípica de las reglas de excepción: a→ c, b→ c y (a y b) → c (mientras que (a y b) → c es de peor calidad). Ésta se expresa, en términos conjuntistas, por una cuasi-inclusión de los conjuntos de individuos, a saber: A y B están mayoritariamente incluidos en C, pero A∩B está, sobre todo, contenido en el complementario C. La ilustración siguiente muestra la situación conjuntista.

Fig. 2: Aparición de una regla de excepción conjuntista

En el marco del ASI, dos enfoques podrían permitirnos destacar esta situación.

El primer enfoque se basa en el análisis de la intensidad de implicaciónϕ(a,b) según la teoría presentada en la Sección §2. Éste nos permite decidir el rechazo de (a y b) → c y, por contra, hace aparecer una intensidad, nada despreciable en ocasiones, de (a y b) → c que justifica que se tenga en cuenta como regla de excepción. Una representación gráfica de las relaciones implicativas entre las reglas elementales anteriores se ilustrará en la Sección § 3.2.

El segundo enfoque se basa en la extensión, que hemos propuesto, de reglas a R-reglas (reglas de reglas) del tipo R→ R’, donde R y R’ son a su vez reglas (Gras y Kuntz, 2005). Intuitivamente, estas reglas son comparables a las que aparecen en matemáticas, donde un teorema R tiene por consecuencia otro teorema R’ o se continua con un corolario R’. Evidentemente, sólo se trata de una metáfora, pues en ASI se consideran reglas parciales, no estrictas, y que por tanto no siguen la lógica

formal más que en casos excepcionales. Éstas se construyen según un algoritmo recursivo utilizando un índice llamado « cohesión ». Éste informa de la calidad de las relaciones implicativas de las variables de la regla R con las variables de la regla R’.

Recordemos que, en lógica formal, la regla generalizada, regla de regla, o R- regla, a⇒(b⇒c), compuesta por las reglas R1 = (b⇒c) y R2 = (a⇒R1), es cierta

si y sólo si lo es la regla (a y b) ⇒c - son lógicamente equivalentes - donde las variables a, b y c pueden ser a su vez reglas (Gras y Kuntz, 2005). Ahora bien, hemos observado, en el examen de las reglas elementales de la forma α → β, que (a y b)→ c, regla de excepción, está, normalmente, en contradicción semántica con (a→ c y b→ c) y que esta conjunción es más bien compatible formalmente con (a y b)→ c.

Del mismo modo, la R-regla a→ (b→ c) está en contradicción formal con (a y b) → c. Pero al estar en el marco del ASI, donde las reglas son parciales, esta última regla puede aparecer aunque sea inesperada. Diremos en ese caso, como anteriormente, que (a y b) → c es una regla de excepción de la R-regla a→ (b→ c). Un árbol jerárquico ilustra en el párrafo siguiente este enfoque por R- reglas.

3.2

Ejemplo numérico

Hemos creado un fichero ficticio de 200 individuos (cf. una tabla parcial del mismo se muestra en el Anexo), individuos sobre los que observamos las variables binarias: a, b, a∧b, c y c. Los valores asociados de las intensidades de implicación se muestran en TAB 1. Se han obtenido con el programa CHIC

(Couturier y Gras, 2005), el cual permite los cálculos y representaciones gráficas de conjuntos de reglas obtenidos de los datos,

a b c c a∧b a 0.00 0.79 0.89 0.08 0.89 b 0.79 0.00 0.84 0.10 0.88 c 0.68 0.67 0.00 0.00 0.36 c 0.32 0.33 0.00 0.00 0.64 a∧b 1.00 1.00 0.03 0.97 0.00

Señalemos las frecuencias de aparición de las variables: na= nb = 12; na∧b= 7;

nc= 50. Las intensidades de implicación asociadas son:

ϕ(a,c) = 0.89; ϕ(b,c)= .84, ϕ((a y b), c) = 0.03,

mientras que ϕ((a y b),c) = 0.97; lo que confirma la presencia de una regla de excepción.

a) Bajo el primer enfoque de reglas elementales, un análisis de la tabla completa mediante CHIC produce el gráfico implicativo (Figura 3.a) y se constata la buena calidad de implicación de a y de b sobre c. Se constata igualmente que se tiene a→ c y b→ c. Dado que CHIC permite conjunciones de variables, se obtiene esta vez el fenómeno relacionado a la existencia de una regla de excepción (Figura 3.b).

3.a- Reglas simples 3.b- Aparición de la regla de

excepción

Fig. 3: Grafo implicativo con las reglas simples y con conjunción

De manera general en ASI, nos parece que las tres condiciones siguientes son favorables a la aparición de una regla de excepción de a∧b sobre no c:

Una cierta calidad de implicación de a y de b sobre c; esta condición de sentido común conduce a que la regla (a∧b) → c sea la esperada, y no la regla (a∧b) → c, que lo va a ser a la postre;

Una mala calidad de parecido entre (a ∧ b) y c (n_a∧b∧c es un valor bajo); Una buena calidad de parecido entre a y b cuando la referencia es c (n_a∧b∧c

es un valor alto, relativo a na∧b).

b) Bajo el segundo enfoque, relativo a este ejemplo numérico, a→ b, débilmente (.81), y a→ c y b → c un poco más fuertemente (.85 y .89). Por consiguiente, la R-regla a→ (b→ c) queda confirmada según el ASI y expresada

a b

c _{a b c}

por medio del programa CHIC. Los siguiente árboles ilustran respectivamente, por una parte, la regla generalizada a→(b→ c), donde se observa que a y b no tienen relación implicativa alguna con no c, y por otra, que la regla de excepción (a y b) → c se obtiene en cuanto se hace la conjunción de a y b.

Fig. 4: Representación jerárquica de la R-regla a→(b→ c)

Fig. 5: Representación jerárquica de la R-regla de excepción (a y b)→c

Dicho de otro modo, la ausencia de coherencia entre el árbol obtenido de los datos (Figura 4) y el árbol creado tras la conjunción de las variables (Figura 5) testifica la aparición de la regla de excepción. Ésta ha podido ser observada de modo análogo gracias a la falta de coherencia entre las dos representaciones de los grafos implicativos.

Así pues, al igual que con el enfoque gráfico recién presentado, la doble construcción de la jerarquía implicativa: variables elementales (Figura 3a) y

posteriormente conjunciones de variables (Figura 3b), permite, tras el examen de la