Intersección de sucesos y multiplicación de probabilidades

De la definición de probabilidad condicional obtenemos en forma inmediata que: P A∩B=P A/ B P B

Esto nos da por fin una forma de calcular probabilidades de intersecciones para los casos en que no conocemos la probabilidad de la unión y entonces no podemos usar:

P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

Si pensamos P(A ∩ B) como P(B ∩ A), con la probabilidad condicional obtenemos:

P A∩B =P A/ B P B=P B/ A P A

¿Qué sucede con la intersección de 3 sucesos?

La probabilidad de la intersección es P(A ∩ B ∩ C).

Asociando A y B, y usando probabilidad condicional, hacemos: P A∩B∩C =PC∩ A∩B=P



 A∩B 



Si ahora aplicamos que P(A ∩ B) = P(B/A) P(A) nos queda el siguiente resultado:

P A∩B∩C =P A P









Para n sucesos, podemos generalizar este resultado. Si llamamos A1, A2, ..., An a los n

sucesos, nos queda:

Pintersect i=1 n A_i=

∏





El 95% de los gatos de 3 colores son hembras. El 40% de los gatos son son hembras. Al tomar un gato al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea una hembra de 3 colores? Si el suceso A es que el gato elegido sea de 3 colores y el suceso B es que sea hembra, estamos buscando P(A ∩ B). Nos dieron de dato:

P(A/B) = 0.95 P(B) = 0.4

Usando probabilidad condicional calculamos: P(A ∩ B) = P(A/B) . P(B) = 0.95 . 0.4 = 0.38

Ejemplo

Se tienen en una caja 3 bolitas negras y 3 bolitas blancas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 bolitas y que resulten ser blancas?

Analicemos:

Como originalmente hay 3 bolitas negras y 3 blancas, la probabilidad de sacar una bolita blanca es 0.5. Sacamos una bolita y la dejamos afuera.

Supongamos que la bolita que sacamos resultó ser blanca. ¿Cuál es ahora la probabilidad de sacar una bolita blanca? Intuitivamente (por ahora) responderemos que 2_/

5, porque

quedan 2 bolitas blancas en las 5 que hay. Ahora le pondremos nombre a estos sucesos: A: que la primera bolita sacada sea blanca B: que la segunda bolita sacada sea blanca

Evidentemente lo que estamos buscando es P(A ∩ Β) Vimos que P(A ∩ Β) = P(A/B).P(B) = P(B/A).P(A)

Y según lo que analizamos recién, conocemos P(A) = 0.5, y también conocemos P(B/A), porque sabemos cuál es la probabilidad de que la segunda bolita sea blanca sabiendo que la primera lo fue. Habíamos determinado que era 2_/

5. Entonces calculamos P(A ∩ Β):

P(A ∩ Β) = P(A).P(B/A) = 2_/

5 . 0.5 = 1/5

Con lo cual podemos responder a la pregunta: la probabilidad de sacar 2 bolitas y que ambas sean blancas, es 1/5.

Antes comentamos que cuando aparecían probabilidades multiplicando eso indicaba

cambios de espacios muestrales. El P(B/A) que usamos es la probabilidad de que ocurra B referida al espacio muestral A. Es decir, luego de que sacamos una bolita blanca, cuando llega el momento de sacar la segunda bolita el espacio muestral ya no es el mismo que era antes de sacar la primera (porque la composición de las bolitas en la caja ya no es la

misma).

Ahora pensemos en un caso más complejo: ¿cuál es la probabilidad de sacar 3 bolitas, de modo tal que las dos primeras sean blancas, y la tercera sea negra?

Definimos un nuevo suceso:

C: que la tercera bolita sacada sea negra

Y entonces lo que estamos buscando es P(A ∩ Β ∩ C). Aplicando lo estudiado antes,

P A∩B∩C =P A P









P(A) es la probabilidad de que la primera bolita sea blanca, o sea 3/6

P(B/A) es la probabilidad de que la segunda bolita sea blanca, dado que la primera fue blanca. Como vimos antes, luego de sacar una bolita blanca queda 3 negras y 2 blancas, con lo cual P(B/A) = 2/5.

P(C / (A∩B)) es la probabilidad de que la tercera bolita sea negra, dado que de la caja original se sacaron dos blancas. Al momento de sacar la tercera bolita, quedan 3 negras y una blanca, con lo cual P(C / (A∩B)) = 3/4.

Luego la probabilidad buscada es: P A∩B∩C =3 6 2 5 3 4=0.15

Ahora veremos un diagrama que nos podrá ser de utilidad en estos casos: En este diagrama se muestra el estado original de la caja, las

probabilidades de sacar una bolita blanca y una bolita negra, y el estado de la caja luego de sacar ese tipo de bolita.

Naturalmente, el diagrama se puede expandir, y se puede volver a describir las probabilidades de sacar bolitas blancas y negras en cada caso (es decir, las

probabilidades de que la segunda bolita que se saque sea blanca o negra) y así sucesivamente. Esta lógica se puede seguir aplicando recursivamente mientras sigan quedando bolitas en la caja.

Si hiciéramos el diagrama de árbol para las primeras 3 bolitas que se extraen, el diagrama quedaría así:

Este gráfico es una versión ampliada del anterior. Para cada situación hipotética, se volvió a calcular la probabilidad de sacar una bolita blanca o negra, y se volvió a dibujar el

estado en que quedaría la caja si sucediera que se extrajera una bolita de ese color. A medida que vamos recorriendo los caminos va cambiando el dibujo de la cajita; esto lo que muestra es que va cambiando el espacio muestral a medida que vamos sacando bolitas. Es por eso que las probabilidades que aparecen en las flechas son condicionales, referidas al espacio muestral del que parte cada flecha.

Este diagrama nos proporciona muchísima información. Por ejemplo:

Podemos calcular fácilmente lo que habíamos calculado antes: la probabilidad de que las primeras 2 que se saquen sean blancas y la tercera negra. Simplemente hacemos el camino correspondiente, multiplicando, y obtenemos la probabilidad buscada:

0.5 . 2_/

5 . 3/4 = 0.15

Pero este es sólo uno de los 8 caminos posibles. Todos se pueden calcular de la misma forma.

No es solamente la probabilidad de los caminos de 3 bolitas la que podemos calcular. También podemos usar el diagrama para calcular las probabilidades de los caminos de 2 bolitas. Por ejemplo, la probabilidad de sacar primero 1 blanca y después 1 negra es: 0.5 . 3_/

5 = 3/10

Todos esos cálculos los podemos hacer porque las probabilidades que figuran en el diagrama son, en realidad, probabilidades condicionales. Por ejemplo, arriba a la derecha dice "P(negra) = 3_/

4". Si los sucesos A, B y C son como los definimos antes, esa

probabilidad que aparece en el gráfico no es sino P(C / (A∩B)). Es decir, el "P(negra) =

3_/

4" que aparece en el gráfico significa "la probabilidad de que la tercera bolita extraída

sea negra, dado que las dos primeras fueron blancas, es 3_/ 4".

Otro tipo de cálculo que nos podría interesar hacer es: "¿cuál es la probabilidad de que luego de sacar 3 bolitas, queden dentro de la caja 2 negras y 1 blanca?". Para calcular esta probabilidad, primero hay que buscar todos los caminos que nos conducen a esa

situación:

C1 = B, B, N C2 = B, N, B C3 = N, B, B

Luego, la probabilidad de terminar teniendo en la caja 2 negras y 1 blanca es la probabilidad de haber hecho el camino 1 ó el camino 2 ó el camino 3, es decir: P(C1∪ C2∪ C3)

Como los caminos son disjuntos (porque si se hace uno, es imposible que se hagan los otros), entonces la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades, con lo cual: P(C1∪ C2∪ C3) = P(C1) + P(C2) + P(C3)

Y usando el diagrama para calcular las probabilidades, obtenemos: P(C1) + P(C2) + P(C3) = 0.5 . 2/5 . 3/4 + 0.5 . 3/5 . 2/4 + 0.5 . 3/5 . 2/4 = 9/20

Además notemos que:

• en todas las bifurcaciones, P(blanca) + P(negra) = 1, porque si sacamos una bolita, tendrá necesariamente que ser blanca o negra. No hay ninguna otra posibilidad.

• si sumamos las probabilidades de efectuar cada uno de los 8 caminos que tenemos si sacamos 3 bolitas, esa suma debe dar 1, porque si sacamos 3 bolitas, tendremos necesariamente que emplear uno de los 8 caminos. No hay ninguna otra posibilidad. Esto también se cumple para los caminos que resultan de sacar 2 bolitas, y para los que resultan de sacar 1 bolita.

Por último, recordemos los gráficos sirven para mostrar, no para justificar. Si se nos pide una justificación, se requiere el tipo de análisis que hemos hecho "formalmente".