Como se ha mencionado brevemente en el apartado 1.4, el modelado por regresiones múltiples es un tipo de análisis estadístico destinado a estimar las relaciones entre varias variables. En el modelado se utiliza una gran variedad de técnicas para analizar distintas variables, pero centrándose siempre en la relación de estas con la variable dependiente. En concreto, el análisis por regresiones permite comprender cómo varia el valor típico de la variable dependiente cuando se modifica el valor de cualquiera de las variables explicativas, manteniendo el valor del resto de las variables. El objetivo final es conseguir una función de las variables explicativas conocida como función de regresión. En ocasiones, también se puede conseguir como resultado del análisis la caracterización de la variación de la variable dependiente en torno a esta función mediante una distribución de probabilidad [25].
Dado que el objetivo que se persigue es ajustar una función a un conjunto de puntos conocidos previamente, las técnicas para encontrar la función varían de acuerdo a cómo se defina el error entre los puntos conocidos y las predicciones obtenidas de dicha función. En este trabajo nos centraremos en la optimización mediante mínimos cuadrados.
La técnica de mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico que optimiza una función de acuerdo al criterio de mínimo error cuadrático medio [33], es decir, esta metodología se centra en minimizar la suma de los cuadrados de las distancias entre las muestras reales y las predicciones de la función.
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ÉRMINOS Y PARÁMETROS UTILIZADOS EN EL ANÁLISIS POR REGRESIONES.
Al realizar un análisis de regresión, obtenemos una serie de valores y estadísticos que definen el modelo obtenido mediante el análisis y su calidad. A continuación, se explican los diferentes parámetros que se presentan como resultado del análisis realizado.
Antes de explicar los demás parámetros, es importante definir lo que se conoce como residuos. En estadística los residuos son una medida de la desviación de una observación de su valor teórico. En concreto, un residuo (𝜀𝑖) es la diferencia entre el valor real de la variable dependiente
(𝑦𝑖) y el valor predicho para ella (𝑦̂𝑖) [33]. Es decir:
𝜀𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑦̂𝑖
Tras realizar un análisis por regresión, los primeros parámetros que se obtienen son las estimaciones de los coeficientes del modelo. Estas estimaciones de los coeficientes corresponden a los términos 𝛽̂ de la función que describe el modelo de regresión y que se presenta a continuación [33].
𝑦̂ = 𝛽̂0+ 𝛽̂1𝑥1+ 𝛽̂2𝑥2+ ⋯ + 𝛽̂𝑛𝑥𝑛
Para cada variable incluida en el modelo se obtiene un valor de βi que hace referencia al peso relativo que tiene la variable en el cálculo de la variable dependiente (𝑦̂). Además de estos coeficientes, se calcula un 𝛽̂0 que hace referencia al termino constante de la función. Para cada
uno de estos coeficientes 𝛽̂ 𝑛se calculan tres estadisticos diferentes: el error estandar, el t-value
y Pr(>|t|).
El error estándar (𝑠𝛽̂𝑛) mide la cantidad promedio que las estimaciones de los coeficientes (𝛽̂𝑛)
45 para calcular un intervalo de confianza entorno a la función de regresión. Para crear un modelo fiable se desea que estos errores estándar sean lo más pequeños posibles en relación al coeficiente al que hacen referencia. Este error se calcula como [35]:
𝑠𝛽 𝑛 ̂ = √ 1 𝑛 − 2 ∑𝑛𝑖=1𝜀̂𝑖2 ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖− 𝑥̅)2 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥̅ = 1 𝑛 ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1
El t-value es una medida de cuántas veces la desviación estándar se desvía nuestra estimación de cero. Cuanto más lejano esté este valor del cero mayor es la probabilidad de que podamos rechazar la hipótesis nula, es decir, de que podamos deducir una relación entre las variables explicativas y la dependiente. Para calcular el t-value recurrimos a la siguiente formula [36]:
𝑡 = 𝛽̂ − 𝛽 𝑠𝛽̂
Por último, el Pr(>|t|) se corresponde con la probabilidad de observar un valor igual o mayor que |t|. Si en el caso del t-value deseábamos valores alejados del cero para inferir una relación entre variables, en este caso queremos que el valor se acerque al cero. Esto se debe a que si el valor de Pr(>|t|) es muy bajo, la probabilidad de encontrar un t-value igual o mayor de manera casual es muy poco probable. Por lo tanto, si el valor de Pr(>|t|) obtenido es bajo, podemos descartar la hipótesis nula.
Además de estos tres parámetros, que hacen referencia a características de los coeficientes, al generar cada modelo también obtenemos estadísticos que hacen referencia al modelo completo. Estos estadísticos son: el error estándar residual, el valor de 𝑅2 y de 𝑅2 ajustada al
número de variables, el valor de F-statistic, y el p-value.
El error estándar residual es una medida de cómo se ajusta la regresión a las muestras utilizadas y, por tanto, de la calidad del modelo. Hace referencia a la media de la desviación entre las muestras de la variable dependiente y la predicción obtenida mediante el modelo de regresión. Su valor se expresa como [37]:
𝑅𝑆𝐸 (𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑑 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟) = √ 1
𝑛 − 2∑ 𝜀𝑖
2 𝑛
𝑖=1
El estadístico 𝑅2, tambien conocido como coeficiente de determinación, permite medir como de bien se ajusta el modelo a los datos reales. En concreto, es una medida de qué proporción de la varianza en los datos es capaz de explicar el modelo creado. Existen varias formas de calcular este coeficiente, pero el que se usará en este trabajo es el siguiente [38]:
𝑅2= 1 − ∑ 𝜀𝑖
2 𝑛 𝑖=1
∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖− 𝑦̅)
Además del valor de 𝑅2, se proporciona el valor de 𝑅2 ajustado al numero de variables. Este
valor es interesante debido a que al añadir variables explicativas a un modelo, el valor de 𝑅2
46 cuenta el número de variables. Esto permite comparar 𝑅2 de modelos diferentes con números
de variables desiguales. Para obtener su valor se utiliza la siguiente expresión [38]:
𝑅𝑎𝑑𝑗2 = 1 −(1 − 𝑅
2) (𝑚 − 1)
𝑚 − 𝑛 − 1
Siendo m el número de muestras y n el número de variables explicativas. El indicador F-statistic es una medida de cómo es de buena la regresión en comparación con una predicción al azar. Esto se expresa en relación a la unidad. Si el valor es inferior a uno la predicción es peor que la alternativa aleatoria. Si es mayor que la unidad la predicción es mejor, y cuanto más se aleje de este número mejor es el modelo en la predicción (permitiendo así desechar la hipótesis nula). Para calcularla comparamos la raíz de la suma de los cuadrados de los residuos (RSS) de nuestro modelo con el RSS de un modelo generado utilizando la distribución Fisher–Sendecho como hipótesis nula.
El ultimo parámetro que obtenemos del modelo es el p-value. Este valor es el equivalente del Pr(>|t|) que se obtiene para cada coeficiente, pero para todo el modelo. Cuanto más pequeño es este valor mejor explica el modelo las muestras proporcionadas.
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IPOS DE VARIABLES UTILIZADAS.
La última aclaración necesaria antes de presentar la metodología empleada es la diferenciación entre los dos tipos de variables empleados en este trabajo.
En general, en este trabajo todas las variables representan medidas en una escala continua (duración de la licencia, frecuencia del espectro que se asigna, PIB del país que ofrece la licencia...) o bien representan información categórica, es decir, que hace referencia a una característica con opciones discretas que no tienen que presentar ningún orden entre ellas (país en que se asigna la frecuencia, si el canal es dúplex o presenta interferencias...).
Es importante tener claras estas diferencias, ya que mientras que en una variable de tipo continuo se pueden calcular operaciones básicas como la suma o el cálculo de distancias entre muestras de manera trivial, no ocurre lo mismo cuando la variable es de tipo categórico. Encontramos la misma problemática a la hora de representarlas en una gráfica.
Es por ello que para tratar estas variables se ha recurrido al uso de variables ficticias (dummy
variables). Estas variables son indicadores que toman el valor 0 o el valor 1 en función de si una
categoría presenta un valor categórico concreto. Por ejemplo, en el caso de la variable que hace referencia al país de la licencia se crean ocho variables ficticias que toman todas el valor cero a excepción a aquella que referencia al país concreto.