8. Extensi´ on de la simetr´ıa Dif (M ) y gravitaci´ on
8.3. Invariancia bajo Dif 1 (M ): Teleparalelismo
mo
El siguiente paso es la construcci´on de una teor´ıa gravitacional que sea equivalente a la teor´ıa de Einstein. Para ello recurriremos a aquellas simetr´ıas en Dif f1(M ) que no son extensiones jet de Dif f (M ). En otras palabras,
extenderemos la simetr´ıa de difeomorfismos a˜nadiendo nuevos generadores actuando sobre el fibrado tangente a M , T (M ), y dando cuenta s´olo de la componente puramente jet, i.e.
Xl1 ≡ l σ ν (x)ξ µ σ ∂ ∂ξνµ (8.23) donde lµν son los correspondientes par´ametros infinitesimales, que no son de-
rivadas de ning´un difeomorfismo infinitesimal, y satisfacen4l
µν(x) = −lνµ(x) 4La antisimetr´ıa de l
µν sugiere establecer alguna relaci´on con el grupo de Lorentz local,
cuya realizaci´on espacio-temporal
ω(µν)(x)X(µν)= ω(µν)(x)(δµσηνρ− δσνηµρ)xρ
∂ ∂xσ
admite el levantado (de tipo extensi´on jet) ω(µν)(x)X (µν)= ω(µν)(x)X(µν)− ω(µν)(x)δθρ+∂ω (µν) ∂xθ x ρ (δσµηνρ− δνσηµρ)ξσκ ∂ ∂ξκ θ = ω(µν)X(µν)+ ∂ω(µν) ∂xθ x ρ(δσ µηνρ− δνσηµρ)ξκσ ∂ ∂ξκ θ . Como consecuencia, se puede observar que una vez que el t´ermino ω(µν)X
(µν) es a˜nadido a
X1
l, el campo de vectores resultante puede identificarse como ω
(µν)(x)(= l ν
σ (x)ησµ) veces
8.3. INVARIANCIA BAJO DIF1(M ): TELEPARALELISMO 121 and l σ
ν ≡ ησµlνµ. N´otese asimismo las diferentes reglas de transformaci´on de
los dos ´ındices de ξµ ν.
La forma precisa de la densidad Lagrangiana L ser´a determinada en dos pasos. En primer lugar, impondremos la invariancia global de ˆL ≡ ΛL(Tσ
µν)
bajo X1
l(global) (es decir, con l
0s constantes) y, a continuaci´on, se exigir´a la
semi-invariancia (i.e. invariancia de la densidad Lagrangiana salvo una di- vergencia) bajo el generador con par´ametros locales Xl1.
La combinaci´on m´as simple en Tσ
µν que satisface la condici´on de inva-
riancia r´ıgida5 ¯ Xl(global)1 L = Λlˆ σ ν ξ µ σ ∂L ∂ξνµ + ξσ,ρµ ∂L ∂ξν,ρµ ! = 0 (8.24) es la siguiente combinaci´on cuadr´atica con coeficientes constantes arbitrarios
L(Tσ
µν) = LT2 ≡ ATσµνTσµν + BTσµνTνµσ+ CTσσµTννµ, (8.25)
donde la contracci´on de ´ındices est´a hecha con la m´etrica de Minkowski.6
Ahora determinaremos los coeficientes A, B, C con ayuda del requisito de semi-invariancia de ΛLT2 bajo el generador local Xl1. Esta condici´on implica
la ecuaci´on: ¯ Xl1(ΛLT2) = Λ∂σlνρξµρ ∂LT2 ∂ξν,σµ = divλl , (8.26)
que puede reescribirse de la manera siguiente Λ(4A − 2B)ξθµTνµρ∂θlρν− 2BΛξ θ µT µρ ν ∂θlνρ− 2CΛξ θ µT νρ ν ∂θlρµ= divλl .(8.27)
Definiendo los vectores (no-holon´omicos) ˜∂µ ≡ ξµν∂ν, se llega a
Λ(4A − 2B)Tνµρ∂˜µlρν − 2BΛT µρ ν ∂˜µlρν− 2CΛT νρ ν ∂˜µlρµ= divλl . (8.28) Teniendo en cuenta Λξν,µµ ∂˜σlσν + ξνµ(∂µΛ) ˜∂σlσν = −ΛTµνµ∂˜σlσν (8.29) 5N´otese que ¯X1 lΛ = 0, asi ¯X 1 l(global)L = Λ ¯ˆ X 1 l(global)L(T σ µν).
6El motivo por el que se le dota al espacio-tiempo con una estructura Lorentziana
caracterizada por un tensor m´etrico gµν ≡ ζµσζ ρ
νησρ es consecuencia de la invariancia
bajo el generador r´ıgido Xl. Usando un subgrupo diferente del grupo de los 1-jets de
los difeomorfismos ser´ıa posible construir tensores m´etricos no Lorentzianos, e.g. m´etricas Eucl´ıdeas gµν = ζµσζνρδσρ. Entonces, en el presente contexto, la evoluci´on de ξνµpermitir´ıa,
de modo natural, la posibilidad de cambios en la signatura de la m´etrica, un propiedad que no se describe de modo satisfactorio en Relatividad General y que, de hecho, se suele asociar con situaciones singulares.
122CAP´ITULO 8. EXTENSI ´ON DE LA SIMETR´IA DIF (M ) Y GRAVITACI ´ON y el conmutador [ ˜∂µ, ˜∂ν] = Tσµν∂˜σ, (8.30) se sigue ∂µ(Λξνµ∂σlσν) = −Λ 1 2T µ νσ∂˜µlνσ + Tµνµ∂˜σlσν . (8.31) Usando esta ´ultima expresi´on la ecuaci´on (8.26) puede reescribirse en la forma
(4A − 2B)2ΛTµνσ∂˜νlσµ− (4A + 2C)ΛTµνσ∂˜µlσν − 4C∂µ(Λξνµ∂σlσν)
= divλl , (8.32)
que se cumple para elecciones de A, B, C tales que A = B
2 B = −C
2
λµl = −4CΛξνµ∂σlσν . (8.33)
La familia de Lagrangianos resultante da cuenta de la llamada descripci´on del teleparalelismo de la gravedad. Para C = −1, la densidad Lagrangiana
ˆ L toma la forma ˆ L = Lteleparalelismo= ΛTµνσT ρ ξθ 1 4η ξνησθη µρ+ 1 2η θ µη νξησ ρ − η σ µη θ ρη νξ, (8.34)
que es equivalente (salvo una derivada total) a la densidad Lagrangiana de Hilbert-Einstein asociada con la m´etrica gµν ≡ ζµσζνρησρ.
8.4.
Observaciones
I. A la luz de los resultados se puede afirmar que las funciones coordenadas puramente jet ξσ
µ desempe˜nan el papel de las t´etradas kσµ de la teor´ıa gauge
de grupos de simetr´ıas espacio-temporales.
II. El inter´es principal de considerar Dif f1(M ) como una simetr´ıa din´amica
(o fundamental) de la Gravedad no estriba s´olo en que la imposici´on de esta simetr´ıa fija la forma precisa del Lagrangiano gravitacional L0 (como
8.4. OBSERVACIONES 123 de L0) sino que tambi´en permite la obtenci´on de un conjunto infinito de
invariantes Noether no nulos (no gauge) lo cual se debe a que la expresi´on de estos invariantes incluye las derivadas de los par´ametros de la simetr´ıa local a trav´es del t´ermino −4Λξµ
ν∂σlσν(x) asociado a la semi-invariancia de
la densidad Lagrangiana ΛLT2 (para C = −1) bajo la nueva simetr´ıa7. Una
situaci´on semejante es la semi-invariancia bajo boosts de la part´ıcula libre Galileana. Este conjunto de invariantes Noether eventualmente podr´ıa usarse para parametrizar la variedad de soluciones, lo cual es de gran importancia en el proceso de cuantizaci´on de la gravedad.
III. Otra de las ventajas de este enfoque es, por ejemplo, que la invariancia bajo extensiones (centrales o no) del grupo de los jets de los difeomorfismos podr´ıa considerarse como un principio presente tanto en la gravedad no trivial de Polyakov en (1+1)D como en la versi´on realista de Einstein en (3+1)D. De hecho, en dos dimensiones Dif f1(S1) podr´ıa emplearse para describir la
teor´ıa de cuerdas, que de hecho es una teor´ıa de gravedad cu´antica [112]. IV. M´as a´un, la usual acci´on semidirecta del grupo de Virasoro sobre un grupo de Kac-Moody en teor´ıa de campos conforme en (1+1)D se puede generalizar ahora a
Γ(J1(Dif (M ) ⊗sG(M ))) ≡ {M → J1(Dif (M ) ⊗sG(M ))} , (8.35)
que implica, como se coment´o anteriormente, una mezcla particular de la gravedad y de la interacci´on interna asociada con el grupo de gauge G(M ) como resultado de la acci´on natural de Dif (M ) sobre los argumentos de los elementos de G(M ). N´otese que
n XfLif t = fµ ∂ ∂xµ + ∂ρf µξρ ν ∂ ∂ξµν , XG(M ) ≡ f(a)(x)X(a) o (8.36) (satisfaciendo X(a) el ´algebra de Lie G del grupo de Lie global G) generan el
producto semidirecto de grupos Dif (M ) ⊗sG(M ).
7Recu´erdese que dada la acci´on S =R L(xµ, ψα, ψα
,µ)d4x estrictamente invariante bajo
un grupo de Lie G con generadores X = Xµ ∂ ∂xµ+X
α ∂
∂ψα, las corrientes Noether conserva-
das Jµse escriben en la forma Jµ= (Xνψα ,ν− Xα)
∂L ∂ψα
,µ− X
µL. Si la densidad Lagrangiana
es semi-invariante, esto es, LX¯(Ld4x) = ∂µλµ, la expresi´on de las corrientes Noether se
Cap´ıtulo 9
Conclusiones
Las conclusiones m´as relevantes de la presente memoria se resumen a continuaci´on:
1. -Se ha reformulado de modo n´ıtido la generalizaci´on del Teorema de Uti- yama para grupos de Lie arbitrarios de simetr´ıa espacio-temporal, usando para ello el formalismo Lagrangiano est´andar sobre fibrados jets. Se ha de- terminado la forma precisa que toma la densidad Lagrangiana de los campos compensadores libres as´ı como la densidad Lagrangiana que describe la inter- acci´on de tales campos con la materia, lo cual ha supuesto la generalizaci´on de nociones tales como la de derivada covariante y tensor de intensidad de los campos compensadores para el caso de simetr´ıas externas. El problema de la generalizaci´on de la teor´ıa de Utiyama al caso de grupos de simetr´ıa que mue- ven el espacio-tiempo data de 1956, por lo que no se trata en manera alguna de una cuesti´on nueva en la literatura. Sin embargo, nuestra presentaci´on, aparte de la generalidad, pues se puede aplicar a un grupo de Lie arbitra- rio, ofrece ciertas ventajas, o en su caso matizaciones necesarias, frente a las aproximaciones usuales. Por un lado, queda claro en nuestro contexto el uso de los ´ındices locales de grupo en los campos compensadores h(a)µ
νρ frente a
la postura est´andar de la distinci´on de notaci´on en los ´ındices de los cam- pos tetr´adicos kν
µ. Asimismo, nuestra formulaci´on permite la introducci´on de
campos compensadores asociados a los generadores de translaciones locales a´un cuando su realizaci´on sobre los campos de materia es trivial.
2. -El m´etodo general mencionado se ha aplicado, en particular, para la revi- si´on de las teor´ıas gauge de gravedad asociadas a los grupos de translaciones espacio-temporales, Poincar´e y Weyl, prestando especial atenci´on a la inter- pretaci´on geom´etrica y a las condiciones bajo las que se recupera la teor´ıa de Einstein.
126 CAP´ITULO 9. CONCLUSIONES