ronales tipo Hopfield
II.1 Inversi´ on tipo Occam para MT en 2-D.
Como se vio en el cap´ıtulo anterior, la conductividad aparenteσa se puede representar
como funci´on de la impedancia compleja Z como σa(x, ω) = ωµ0|Z(x, ω)|−2 donde x
representa la distancia horizontal en el sistema de coordenadasx-zcuyo ejezrepresenta la profundidad. σa(x, ω) representa los datos a una cierta distancia en alg´un modelo 2-
D con topograf´ıa plana para una frecuencia angular dada ω. Los datos son usualmente presentados como curvas de sondeos individuales como se puede ver en la figura 11. Dichos sondeos son a su vez, funci´on del periodo T = 2ωπ para diferentes distancias x, o en una pseudo-secci´on con un formato de valores de contornoσa graficados sobre las
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Figura 11. Los datos son usualmente presentados como curvas de sondeos individuales, que a su vez son funci´on del periodo T = 2π
ω para diferentes
distancias x.
σa(x, ω) representa la informaci´on que est´a disponible y lo que se requiere esσ(x, z),
la distribuci´on de la conductividad en el subsuelo. La figura 12 muestra esquematica- mente el proceso de inversi´on requerido para inferir las propiedades de subsuelo en 2-D a partir de las mediciones en la superficie. La forma de efectuar dicha inversi´on es igual que con el caso de 1-D. Esto es, mediante la soluci´on del problema de m´ınimos cuadra- dos que minimiza la funci´on objetivo, descrita por la suma de diferencias cuadradas de los datos y las respuestas del modelo 2-D propuesto.
Figura 12. Proceso de inversi´on 2-D mediante el cual se trata de reducir la suma de diferencias cuadradasC entre los datos medidos en la superficie y las respuestas provenientes del modelado te´orico.
La forma en que se resuelve el problema es igual que para el caso de 1-D, se establece una relaci´on entre los dos dominios por medio del sistema de ecuaciones del tipoσa =
Aσ y se procede a resolver el problema de m´ınimos cuadrados como se explica en el Ap´endice A.
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Figura 13. Representaci´on del proceso de regularizaci´on descrito para el caso 2-D. En este caso se minimiza el desajuste tradicional conjuntamente con una condici´on global que considera al modelo completo en 2-D.
Como en general el sistema de ecuaciones tiene m´as inc´ognitas que ecuaciones, lo que se hace es agregar a la funci´on objetivo C un t´ermino regularizador que depende de la condici´on global del modelo, mas espec´ıficamente un t´ermino de la forma:
∂ ∂xσ(x, z) 2 + ∂ ∂z σ(x, z) 2 dx dz . (14)
Se minimiza la funci´on objetivo mediante alg´un algoritmo iterativo y se evoluciona hacia un m´ınimo local en el espacio de soluciones.
Una desventaja de este tipo de inversi´on, es el hecho de que genera soluciones que son muy “suaves” o modelos demasiado planos, que tienden a extenderse a profundidades mayores que los modelos de prueba, sobre todo cuando hay pocos datos o cuando se utilizan aproximaciones. Por ejemplo, esto se evidencia cuando se efect´uan inversiones con la aproximaci´on Niblett-Bostick 2-D sobre datos reales COPROD2 (Jones, 1993a), como se puede apreciar en la figura 14. Se realiz´o inversi´on tipo Occam en 2D sobre datos reales utilizan la aproximaci´on y se compar´o con resultados obtenidos utilizando inversi´on alineal “exacta” mediante el programa de Rodi y Mackie (2001) debida a Romo et al, (2005). Cuando se establezca la equivalencia entre derivadas espaciales y promedios espaciales, en el pr´oximo cap´ıtulo, se ver´a que m´etodos basados en derivadas espaciales, equivalen a utilizar promedios con ventanas o filtros demasiado grandes.
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Figura 14. Inversi´on de datos reales COPROD2 (Jones, 1993a), mediante: a) Inversi´on aproximada tipo Occam en 2D en datos reales. b) Soluci´on uti- lizando inversi´on alineal “exacta” mediante el programa de Rodi y Mackie (2001) (gr´afica tomada de Romo et al, 2005).
II.2 La Aproximaci´on Niblett-Bostick en 2-D.
Una relaci´on general entre σa(x, T) y σ(x, z), para el problema en 2-D es la ecuaci´on
(7), como se vi´o en el cap´ıtulo I, es (G´omez-Trevi˜no, 1987a):
σa(x, y, T) = 1 1−m R F[x, y,r, σ(r), T]σ(r)dxdydz,
donde:
m= dlogσa
dlogT ,
La relaci´on (7) es general, por lo que se hace una aproximaci´on a 2-D, como lo muestra la figura 15.
Figura 15. En esta figura se muestran dos aproximaciones de Esparza y G´omez-Trevi˜no (1996), del funcional que describe el problema general (G´omez- Trevi˜no, 1987a). Fh corresponde a la derivada de Fr´echet de un semi-espacio
37 En la cual se substituye la ecuaci´on (7), por la relaci´on
σa(x, T) =
R
Fh[x, x, z, σa, T]σ(x, z)dxdz, (15)
donde Fh[x, x, z, σa, T] representa la derivada de Fr´echet de σa(x, T) con respecto
a un semi-espacio homog´eneo. La integraci´on est´a definida sobre todo el semi-espacio inferior. La recuperaci´on de σ(x, z) a partir de σa(x, T) es ahora un problema lineal.
Esparza y G´omez-Trevi˜no (1996), mostraron trabajando con el problema de 1-D que
F(σ, T, z)≈(1−m)Fh[x, x, σa, T, z], (16)
dondeF[x, x, σ, T, z] en el lado izquierdo de la ecuaci´on es la derivada de Fr´echet para una distribuci´on arbitraria de la conductividad, y Fh(z, σa, T) en el lado derecho de
la ecuaci´on representa la derivada de Fr´echet para el semi-espacio homog´eneo, cuya conductividad se conoce y es igual a la conductividad aparente medida en la superfi- cie. Por analog´ıa, con el caso de 1-D y haciendo el mismo tipo de consideraciones y aproximaciones en 2-D, la ecuaci´on (15) se puede escribir como lo muestra la figura 16.
Figura 16. Esta figura muestra c´omo se forman los elementos de la matriz
A, siguiendo la misma metodolog´ıa que con respecto a 1-D se realiz´o en el cap´ıtulo I. Pero ahora, como funci´on de sus correspondientes valores en 2-D, que se derivan en los Ap´endices C y D.
Las expresiones anal´ıticas equivalentes para Fh en el caso 2-D se derivan en el
Ap´endice B para los modos tradicionales TE y TM , respectivamente. Estas expre- siones a su vez, son usadas en el Ap´endice D para derivar las expresiones correspondi- entes para las conductividades aparentes Serie y Paralelo.
La forma en que se construye la ecuaci´on (15) en forma de sistema de ecuaciones lineales en el caso 2-D, el semi-espacio se divide en un n´umero grande de elementos rect- angulares como lo muestra la figura 17, la integraci´on sobre los elementos se elabora anal´ıticamente, como se describe en el Ap´endice C, esto es particularmente ´util para manejar las singularidades en los puntos de medici´on y tambi´en para los rect´angulos finales a los lados y al fondo del modelo. Es importante remarcar que cada uno de los elementos de σa es un promedio ponderado de todos los valores de la conductividad
39 por lo que en virtud de la ecuaci´on σa = Aσ los elementos de matriz A son adimen-
sionales, mas a´un, la suma de los elementos de cada rengl´on deA es igual a la unidad, lo que resulta una propiedad ´util, para verificar la precisi´on de los c´omputos involu- crados. Note que aunque la ecuaci´on (15) se puede representar como un sistema de ecuaciones lineales, el modelo que representa es de hecho alineal, porqueAdepende de la distribuci´on de inc´ognitasσ a trav´es de los diferentes valores en σa.
Figura 17. Modelo gen´erico en el que se muestra la forma en que se sub- divide el semi-espacio en un n´umero grande de elementos rectangulares o sub- regiones. Las respuestas est´an formadas por el efecto colaborativo de cada subdivisi´on. Los rect´angulos grandes en representan los tama˜nos de ventana sobre los que se puede efectuar el promedio espacial.