Investigaciones sobre los asistentes matemáticos en la enseñanza-aprendizaje de los conceptos matemáticos

Los asistentes matemáticos (AM), conocidos también como sistemas de matemática simbólica (Symbolic Mathematical Systems) o sistemas de cálculo algebraico (Computer Algebra Systems), hacen referencia a software para calculadoras o computadoras personales que llevan integradas tres capacidades manipulativas fundamentales: la capacidad numérica, la capacidad gráfica y la capacidad simbólica. La capacidad numérica posibilita trabajar con una aritmética exacta; la capacidad simbólica permite trabajar con objetos no numéricos y operar y realizar transformaciones con símbolos; la capacidad gráfica da la posibilidad de realizar representaciones gráficas en el plano y en el espacio. Dentro de estos se encuentran Maple, Mathematica, Mathcad, MuPAD, Derive, Matlab, Axiom y otros muchos.

El concepto de “resecuenciar”3 _{fue tratado inicialmente por Heid, (1988) y se considera que es el inicio}

de las investigaciones sobre los asistentes matemáticos en la Matemática Educativa. Este se relaciona estrechamente con la función de reorganizar la enseñanza. Heid demuestra que la integración de los asistentes matemáticos dentro de un curso de cálculo para estudiantes del primer año de la universidad posibilitó hacer el mismo desde un enfoque conceptual, donde primero los estudiantes se apropiaban de los conceptos a través de tareas con el asistente matemático, para después desarrollar los ejercicios de cálculo.

Otro aspecto muy discutido en los estudios sobre los asistentes matemáticos está relacionado con la caja blanca y la caja negra. Este tema está dirigido a discutir el rol que juegan los asistentes matemáticos en el proceso de enseñanza-aprendizaje y en particular la relación con las tareas de “lápiz y papel“. Por ejemplo, (Buchberger, 1990) argumentaba que mientras el estudiante estaba aprendiendo un nuevo concepto o técnica debía hacer las tareas a mano para mantener el control y la comprensión

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de lo que hacía. Luego que lo haya aprendido, puede utilizar los asistentes como caja negra para hacer las tareas triviales, posibilitándole centrarse en los nuevos aspectos sin distraerse en detalles que conocen.

Otra concepción opuesta a la primera es la de Berry y otros (1994). Estos sugieren un enfoque que se denomina “caja negra/caja blanca” que consiste en usar el asistente como generador de ejemplos y como herramienta de exploración para confrontar a los estudiantes con las nuevas situaciones. Este enfoque se sustenta en la función de amplificación anteriormente explicada.

Un tercer enfoque, denominado de la “caja gris” fue desarrollado por Macintyre y Forbes (2002). Este consiste en desarrollar paso a paso los procedimientos de solución de problemas utilizando para ello el asistente matemático, pero la estrategia de solución es determinada por el usuario.

La autora de la investigación considera el segundo enfoque (caja negra/caja blanca) como el más pertinente para el proceso de conceptualización. La generación de ejemplos posibilita a los estudiantes la determinación de los elementos esenciales que permitirán identificar el concepto, dando lugar entonces a la generalización.

La brecha existente entre los investigadores en asistentes matemáticos y los investigadores en Matemática Educativa ha ido cerrándose. Las investigaciones de Repo (1994) se basaron en el concepto de abstracción reflexiva. Implica el uso de asistentes matemáticos para el estudio de conceptos matemáticos, involucrando investigaciones en el área de Matemática Educativa con nuevos enfoques en el uso de asistentes matemáticos. Otros estudios que contribuyeron al acercamiento entre investigadores son los de Pozzi (1994). El aborda el razonamiento algebraico utilizando el asistente Derive, así como el proceso de la formación de conceptos.

En Francia, autores como Artigue (2002), han abordado el tema de la pseudo-transparencia y la doble referencia. La pseudo-transparencia significa que la técnica utilizada en los asistentes matemáticos es cercana a la técnica de lápiz y papel, pero no son iguales y algunas veces tienen diferencias muy sutiles. Esta diferencia provoca que cuando los estudiantes están trabajando con los asistentes, algunas veces

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no estén “descubriendo Matemática” como se prevé, sino que están descubriendo las particularidades del software. Esto es lo que denominan doble referencia, se refieren a las particularidades del software más que a los conceptos matemáticos. Otro estudio que reporta similares dificultades es el de Heid y otros. (1999). Este reporta que los estudiantes necesitan desarrollar la habilidad de reconocer las idiosincrasias típicas de los asistentes matemáticos relativas a fórmulas y expresiones para poder utilizar eficazmente los mismos.

Otro aspecto esencial abordado en las investigaciones es la compresión de conceptos. En esta dirección están los estudios de O’Callaghan (1998), Brown (1998), Graham y Thomas, (1999). Estas investigaciones mostraron que aprender Álgebra con asistentes matemáticos requieren de una idea de los contenidos notacionales, sintácticos y conceptuales y no es cuestión de dejar el trabajo a la computadora. Este trabajo técnico está relacionado con la comprensión conceptual.

También dirigido a la comprensión conceptual están las investigaciones de Chiappini y Reggiani (2003), en Italia, en las cuales abordan la idea de un laboratorio de Matemática soportado por TIC. En estos estudios el laboratorio de Matemática está concebido como una actividad de enseñanza-aprendizaje en el cual el objetivo es provocar un uso integrado de herramientas técnicas y psicológicas orientadas a la construcción de la base empírica que es necesitada para la apropiación de los conceptos matemáticos. La autora comparte esta visión del uso de los laboratorios de Matemática, sin embargo considera que es fundamental el rol que desempeña el profesor en las actividades de enseñanza-aprendizaje, debido a que le corresponde seleccionar las herramientas tecnológicas y las acciones a realizar con las mismas que permitan la formación de conceptos.

En España en las universidades de Valladolid y de Castilla-La Mancha se han realizados algunos estudios y aplicación de los asistentes matemáticos a la enseñanza de la Matemática destacando sus ventajas y desventajas. (Cabo y otros, 2001; Torre y Martín, 2006; González y otros, 2006). En Cuba, en el Instituto Superior Politécnico “José A. Echeverría”, se trabaja la parte práctica de las asignaturas de Matemática con ejercicios que se resuelven usando el asistente matemático Derive. (Delgado, 2006)

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En la actualidad subsisten muchas interrogantes no respondidas en torno al uso de los asistentes matemáticos en la enseñanza-aprendizaje del Álgebra. Estas están relacionadas, entre otras, con las características de los estudiantes, los conocimientos que estos deben poseer para trabajar con los asistentes matemáticos, el impacto de los asistentes en la formación conceptual y en la resolución de problemas, las actividades a desarrollar con los mismos para lograr la transferencia de registros semióticos, los tipos de soportes para los diferentes tipos de aprendizaje, los cambios curriculares, etc. En la investigación la autora abordó algunas de ellas como son las relativas a la formación conceptual y la transferencia de registros semióticos.

No obstante a los diferentes resultados obtenidos por los investigadores, casi todos los autores coinciden en que los asistentes matemáticos contribuyen al aprendizaje del Álgebra, al desarrollo de estrategias de solución de problemas y a la formación de conceptos matemáticos. La primera idea se fundamenta en las potencialidades de los recursos algebraicos que brindan los asistentes matemáticos. Las herramientas computacionales de Álgebra ofrecen un amplio rango de posibilidades algebraicas que hacen posible un enfoque sofisticado y flexible para la solución de problemas que no es posible en otros entornos tecnológicos. Por ejemplo, los estudiantes se sienten confiados cuando trabajan con los asistentes matemáticos debido a que los resultados y las notaciones son matemáticamente correctos. Pueden obtener soluciones exactas y pueden manipular expresiones. La posesión de un repertorio completo de procedimientos algebraicos posibilita explorar diferentes enfoques para la solución de problemas, a partir de los cuales pueden realizar generalizaciones. Además, se pueden vincular la representación y manipulación algebraica con la gráfica, estimulando así una visión integrada del concepto matemático.

La segunda idea está sustentada en las oportunidades que ofrecen los asistentes matemáticos para concentrarse en las estrategias de solución de problemas y formación de conceptos, al estar liberados de los cálculos algebraicos monótonos. Con el uso de los asistentes matemáticos los estudiantes

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pueden significar y ejecutar acciones sobre objetos matemáticos sin necesidad de hacer procedimientos a mano, lo cual redunda en la comprensión de los conceptos matemáticos.

1.4 Estado actual del proceso de enseñanza-aprendizaje del Álgebra básica en la Universidad