Isometr´ıas - Espacios afines eucl´ ıdeos

TEMA 6. Espacios afines eucl´ ıdeos

6.3 Isometr´ıas

d(H1,H2) = | b1−b2| √ a2₁+· · ·+a2 n .

Como ⃗a = (a1, . . . , an) son las componentes de un vector perpendicular a

ambos hiperplanos, la recta L = O+{g⃗a}, interseca a cada hiperplano en un solo punto, sean P1 =O+λ1⃗a ∈H1, P2 =O+λ2⃗a ∈ H2. As´ı:

−−−→

P1P2 ∈L= H⊥1 =H2⊥ y d(H1,H2) = d(P1, P2).

Sustituyendo las coordenadas de los puntos P1 y P2 en los respectivos hiperplanos que los contienen, resulta λ1⃗a·⃗a =b1 y λ2⃗a·⃗a = b2. Luego,

−−−→ P1P2 =−−→P1O +−−→OP2 = b2−b1 ∥⃗a∥2 ⃗a ⇒ d(H1,H2) = |b1−b2| ∥⃗a∥ .

6.3 Isometr´ıas

Estudiamos a continuación las aplicaciones entre espacios eucl´ıdeos que con- servan las distancias; ellas son necesariamente aplicaciones afines, con aplicaciones lineales asociadas ortogonales (inyectivas). Esto significa que dichas aplicaciones son compatibles tanto con las estructuras afines como con las eucl´ıdeas de los espacios entre las que están definidas.

Existen diferentes denominaciones a la hora de nombrar a estas aplicaciones en general, también cuando son biyectivas (lo que ocurre si los espacios son de la misma dimensión, finita) y cuando el espacio de partida y el de llegada coinciden. Nosotros adoptaremos, para nombrarlas, las que nos parecen que figuran con más asiduidad en la literatura al respecto.

Definici´on y caracterizaciones

6.34 Definición.- Se llama aplicación isométrica a una aplicación af´ın

f:A →A, entre espacios eucl´ıdeos que conserva las distancias, es decir, tal que para todo P, Q ∈A

d(f(P), f(Q)) =d(P, Q).

Cuando A y A, son de la misma dimensión (finita), la aplicación isométrica se dice que es una isometr´ıa. Si los espacio coinciden se le da el nombre de movimiento r´ıgido (o simplemente, movimiento). Se ha denotado la función distancia en los dos espacios eucl´ıdeos con la misma letra d, sin embargo, ello no crear´a confusión si se tiene en cuenta en qué espacio están los puntos a los que se les está aplicando la función distancia. El siguiente resultado da una caracterización para las aplicaciones afines que son isométricas.

6.35 Proposici´on.- Sean (A,

E

) y (A,,

E

,) espacios eucl´ıdeos y f:A → A,

una aplicaci´on af´ın de aplicaci´on lineal asociadaf˜, entonces los siguien- tes apartados son equivalentes:

1) f es una aplicaci´on isom´etrica (es decir, f conserva la distancia).

2) ∀⃗v ∈

E

, ∥f˜(⃗v)∥ = ∥⃗v∥ ( es decir, f˜ conserva el m´odulo de vec- tores).

3) ∀⃗u, ⃗v ∈

E

, f˜(⃗u)·f˜(⃗v) = ⃗u·⃗v (es decir, f˜es una isometr´ıa lineal, conserva el producto escalar).

Demostraci´on.-

(1 ⇒2) Para un vector⃗v ∈

E

, sean P, Q∈ A tales que⃗v = −−→P Q, entonces ∥_f(⃗˜_v)_∥₌_∥_f(˜−−→_{P Q)}_∥₌_∥_f−−−−−−−→_(P_)f_(Q)_∥ ₌_d(f(P_{), f}_{(Q)) =}_{d(P, Q) =} _∥_⃗_v_∥_. (2 ⇒3) Para⃗u, ⃗v ∈

E

, ∥⃗u−⃗v∥2 = ⃗u·⃗u+⃗v·⃗v−2⃗u·⃗v.

Por otro lado, como ˜f conserva los m´odulos de los vectores y es lineal: ∥⃗u−⃗v∥2 = ∥f(⃗˜u−⃗v)∥2 = ∥f(⃗˜u)−f˜(⃗v)∥2 =

= ˜f(⃗u)·f˜(⃗u) + ˜f(⃗v)·f(⃗˜v)−2 ˜f(⃗u)·f(⃗˜v) == ⃗u·⃗u+⃗v·⃗v−2 ˜f(⃗u)·f(⃗˜v). Comparando esta dos ´ultimas relaciones obtenidas, se tiene que

⃗u·⃗v= ˜f(⃗u)·f(⃗˜v). (3 ⇒1) Sean P, Q∈ A,

d(f(P), f(Q))2 =∥−−−−−−−→f(P)f(Q)∥2 = ∥f˜(−−→P Q)∥2 = = ˜f(−−→P Q)·f˜(−−→P Q) = −−→P Q·−−→P Q= ∥−−→P Q∥2 = d(P, Q)2.

Como consecuencia de estas caracterizaciones de las aplicaciones afines que son movimientos y de que las isometr´ıas lineales son biyectivas (Definición5.69), se tiene que:

6.36 Proposici´on.- Los movimientos son afinidades.

En la definición de aplicación isométrica que hemos dado exigimos, de an- temano, que la aplicación sea af´ın; no obstante, este requisito no es necesario, pues una aplicación f:A→ A, que conserva la distancia es de hecho una apli- cación af´ın, como establecemos a continuación.

6.37 Proposici´on.- Sean (A,

E

) y (A,,

E

,) espacios eucl´ıdeos y f:A → A

una aplicación ⇒ (f conserva la distancia ⇔ f es una aplicación af´ın y su aplicación lineal asociada conserva el producto escalar).

Demostraci´on.- (⇒) Supongamos que f conserva la distancia; ﬁjado un punto P ∈ A, para cada vector⃗u∈

E

, existe un único X ∈ Atal que ⃗u= −−→P X. Definimos la aplicación

E

→

E

, ⃗u =−−→P Q 7→ f(⃗ˆu) =−−−−−−−→f(P)f(X).

Probemos que ˆf conserva el producto escalar. Tomemos dos vectores ⃗u = −−→

P X y ⃗v = −−→P Y y expresemos separadamente d(X, Y) y d(f(X), f(Y)) en t´erminos de ⃗u y ⃗v.

6.3 Isometr´ıas 139

= d(X, P)2+d(P, Y)2−2⃗u·⃗v. As´ı mismo,

d(f(X), f(Y))2 =d(f(X), f(P))2+d(f(P), f(Y))2−2−−−−−−−→f(P)f(X)·−−−−−−−→f(P)f(Y). De la igualdad de los primeros miembros, se sigue que:

⃗

u·⃗v = −−−−−−−→f(P)f(X)·−−−−−−−→f(P)f(Y) = ˆf(⃗u)·fˆ(⃗v).

Es decir, ˆf conserva el producto escalar y, por tanto (p´ag.113), es lineal. Nos falta ver que es la aplicaci´on lineal asociada a f. En efecto, ˆ

f(−−→XY ) = ˆf(−−→P Y − −−−→P X ) = ˆf(−−→P Y )−fˆ(−−−→P X ) =−−−−−−−−→f(P)f(Y) − −−−−−−−−→f(P)f(X) =−−−−−−−−→f(X)f(Y) .

(⇐) Sea f una aplicaci´on af´ın cuya aplicaci´on lineal asociada ˜f conserva el producto escalar, entonces, para puntos X, Y ∈A:

d(f(X), f(Y)) =∥−−−−−−−→f(X)f(Y)∥= ∥f(˜−−→XY)∥ =∥−−→XY∥=d(X, Y).

Se concluye que f es una aplicaci´on isom´etrica.

6.38 Ejemplo.- Las traslaciones y las simetr´ıas ortogonales son movimien- tos.

— Una traslación es una aplicación af´ın con aplicación lineal asociada la identidad, que obviamente es una isometr´ıa lineal. O bien, directamente a partir de la definición, ∥−−−−−−−−→_t⃗_v(P)_t⃗_v(Q)∥= ∥−−−−−−−−−→(P+⃗v)(Q+⃗v)∥=∥−−→P Q∥.

— Sis_F es la simetr´ıa ortogonal con respecto a F, se tiene que su aplicaci´on lineal asociada es la simetr´ıa sF respecto a

F

en la direcci´on de

F

⊥. Entonces, para⃗v ∈

E

⃗v= pF(⃗v) +pF⊥(⃗v), sF(⃗v) = pF(⃗v)−pF⊥(⃗v).

ComopF(⃗v)·pF⊥(⃗v) = 0 y por la propiedad6) de la norma (Proposici´on5.21), se tiene que

∥sF(⃗v)∥=∥(⃗v)∥.

Es decir,sFconserva la norma de vectores y, por tanto,sF es un movimiento. Con el objetivo de profundizar en el estudio de las isometr´ıas, es importante investigar los puntos ﬁjos de las aplicaciones aﬁnes.

En la siguiente proposición se establece que todo movimiento es la com- posición (conmutativa) de una traslación con un movimiento con algún punto fijo. Este resultado puede ser visto como una generalización del teorema de Chasles (3) sobre los movimientos r´ıgidos en IR3.

6.39 Proposici´on.- Sea una espacio eucl´ıdeos (A,

E

) de dimension n. Para todo movimiento f:A → A existe una único movimiento g:A → A y una única traslación _t⃗_w, con f˜(w⃗) = w, tal que los puntos fijos de⃗ g,

G = {X ∈ A/g(X) = X}, es una variedad lineal no vac´ıa de A de subespacio director

G

= Ker( ˜f −1E) y verific´andose que

f =_t⃗_w◦_g ₌ _g◦_t⃗

(3) _{Teorema de Chasles: Un desplazamiento espacial de un cuerpo r´ıgido puede ser definido}

por una rotaci´on alrededor de una recta y una traslaci´on a lo largo de la misma recta, llamado ”desplazamiento del tornillo” o ”movimiento helicoidal”.

Adem´as, se verifican las siguientes propiedades adicionales: 1) f = g y w⃗ =⃗₀⇔ F ₌{_X ∈A/_f₍_X_{) =} _X} ̸₌ ∅_.

2) F ={X ∈A/f(X) = X}= ∅⇒ dim

G

≥ 1.

N´otese que la condici´on ˜f(⃗w)=⃗wnos dice quew⃗ ∈Ker( ˜f−1_E) (subespacio de vectores propios correspondiente al valor propio 1IR de ˜f) y tambi´en que, para

cualquier X ∈ A,−−−−−−−−−−→f(X)f(X+w) =⃗ w. Adem´⃗ as, la dirección de la traslación t⃗w es paralela a la variedad lineal de los puntos fijos del movimiento g.

Demostración.- El vector w, que define la traslaci´⃗ on única a buscar, está determinado por un puntoP ∈Ay su imagenf(P), es decir w⃗ =−−−−→P f(P). Para hallar el puntoP, tomemos un puntoQ ∈Aque no sea fijo paraf (f(Q)̸= Q); como, por la Proposición 5.76,

E

= Ker( ˜f −1E)⊕Im( ˜f −1E), el vector −−−−→Qf(Q) se descompone en forma ´unica:

−−−−→

Qf(Q) =w⃗ + ( ˜f(⃗v)−⃗v), donde w⃗ ∈ Ker( ˜f−1E) es ´unico y⃗v ∈A.

El vectorw⃗ no depende del puntoQ tomado, pues para cualquier otro punto

X ∈A: _{−−−−→}

Xf(X)= −−→XQ+−−−−→Qf(Q) +−−−−−−−→f(Q)f(X) = =−−→XQ+w⃗ + ˜f(⃗v)−⃗v+ ˜f(−−→QX) =w⃗ + ( ˜f −1E)(⃗v+

−−→ QX).

Luego, −−−−→Xf(X) se descompone en forma única en la suma del vector w⃗ ∈ Ker( ˜f−1E) más un vector de Im( ˜f−1E), y esto se verifica para todoX ∈A (4).

Tomando P ∈ A tal que −−→QP =−⃗v (es decir, P = Q−⃗v) se tiene ⃗

w =−−−−→P f(P).

Obsérvese que aunque w⃗ es único, el punto P encontrado no es único; pues puede tomarse otro⃗v, tal que ˜f(⃗v)−⃗v = ˜f(⃗v,)−⃗v,.

Determinado el vector w, deﬁnimos ahora⃗ g:A→ A por: g =t₋_w_⃗ ◦_f.

Se veriﬁcan todas las aﬁrmaciones del enunciado:

— Como composici´on de movimientos, g es un movimiento. — Como w⃗ ∈ Ker( ˜f−1E), ˜f(⃗w) = w.⃗

(4) _{Es importante hacer notar que si} _f _{tiene alg´}_{un punto fijo, sea}_{R, entonces}

⃗

0E=−−−−→Rf(R) =w⃗ + ( ˜f−1E)(⃗v+−−→QR ),

y, debido a que Ker( ˜f −1_E)⊕Im( ˜f −1_E) =

E

, esta descomposici´on es ´unica, con lo que ⃗

6.3 Isometr´ıas 141 — Las aplicaciones lineales asociadas de f y g coinciden, es decir, ˜f = ˜g. En efecto, para todo X ∈ A se tiene:

g(X) =g(P)+˜g(−−→P X) = P+˜g(−−→P X), f(X)−w⃗ = f(P)+ ˜f(−−→P X)−w⃗ = P+ ˜f(−−→P X). Al ser los primeros miembros de estas relaciones iguales, tambi´en lo son los ´

ultimos miembros de ellas. Por lo que, ˜f = ˜g.

— Como g(P) = f(P)−w⃗ = f(P) +−−−−→f(P)P = P, ocurre que el conjunto de puntos ﬁjos de g, G = {X ∈ A/g(X) = X} ̸= ∅ y por la Proposici´on 4.7, G es una variedad lineal con subespacio director Ker(˜g −1_E) = Ker( ˜f − 1_E) (subespacio vectorial de vectores propio correspondiente al valor propio 1IR de

˜ f).

— Claramente f = _t⃗_w◦_g. — _t⃗_w◦_g ₌_g◦_t⃗

w; en efecto, para cualquier X ∈ A: (g◦_t⃗

w)(X) = g(X +w) =⃗ g(X) + ˜g(⃗w) =f(X)−w⃗ + ˜f(⃗w) = f(X). — Unicidad de la descomposici´on.

El procedimiento que hemos seguido nos ha permitido obtener sin am- bigüedad un vector w⃗ y un movimiento que nos permite descomponer f = t⃗w◦g, verific´andose las propiedades requeridas. En el supuesto que existiera otra forma de obtener tal descomposición de f, f = _t⃗_w, ◦_g,_{, se debe verificar} que w⃗, =w⃗ y g =g,. Basta con demostrar que los vectores coinciden.

Usaremos que f y g, tiene la misma aplicaci´on lineal asociada, ˜f = ˜g,, que ⃗

w, ∈ Ker( ˜f −1E) y que g ,

tiene puntos fijos; sea S un punto fijo de g,. f(S) =g,(S) +w⃗, = S+w⃗, ⇒ −−−−→Sf(S) =w⃗, ∈Ker( ˜f −1E). ⃗ w−w⃗, = −−−−→P f(P)−−−−−→Sf(S) =P S−−→+−−−−→Sf(P) −−−−−→Sf(P) −−−−−−−−→f(P)f(S) = =−−→P S −f˜(−−→P S) = −(f−1E)( −−→ P S)∈Im(f −1E). ⃗ w−w⃗, ∈ Ker(f−1E)∩Im(f −1E) ={0E}. Propiedades adicionales: — 1) f =g y w⃗ =⃗₀ ⇔F ₌ {_X ∈ A/_f(X_{) =}_X} ̸₌∅_. Si f = g y w⃗ =⃗₀_{, la descomposici´}_{on ´}_{unica de} _f _es _f ₌ _t ⃗₀◦g = g; adem´as, el conjunto de puntos fijos de g(=f) es no vac´ıo.

La demostración de la otra implicación figura en la nota al pie de la página140. — 2) F= {X ∈ A/f(X) =X}=∅ ⇒ dim

G

≥1.

Es equivalente a demostrar: dim

G

< 1 ⇒ F = {X ∈ A/f(X) = X} ̸= ∅. Pero esto está establecido en la Proposición 4.7: f tienen único punto fijo

6.4 Movimientos en espacios eucl´ıdeos de dimensiones

In document Geometría Afín y Euclídea (página 145-150)