un solo grupo de cada orden 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 15; dos grupos no isomorfos de órdenes 4, 6, 9, 10, 14; cinco grupos no isomorfos de órdenes 8 y 12.
Demostración. El único grupo de orden 1 es el grupo trivial 1. Un grupo de orden primo es necesariamente cíclico, por el teorema de Lagrange. Luego, en los casos |G| = p con
p∈ {2, 3, 5, 7, 11, 13}, hay un isomorfismo G ' Cp.
En los otros órdenes, m ∈ {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15}, existe un grupo cíclico Cm. Es
posible formar grupos abelianos que son productos directos de grupos cíclicos, pero tales grupos a veces no son nuevos. Del Ejemplo 1.91 se obtiene isomorfismos
C2× C3' C6, C2× C5' C10, C3× C4' C12, C2× C7' C14, C3× C5 ' C15. Luego C6, C10, C14y C15son los únicos grupos abelianos de estos órdenes.
Hay otros grupos abelianos de bajo orden:
C2× C2' V, C2× C2× C2, C2× C4, C3× C3, C2× C2× C3' C2× C6.
Los exponentes de estos grupos son respectivamente 2, 2, 4, 3 y 6. Por lo tanto, no son cíclicos (el grupo cíclico Cm es de exponente m).
É Pasando a ejemplos no abelianos, hay una lista de grupos diedrales:
D3' S3, D4, D5, D6, D7,
de los órdenes respectivos m= 6, 8, 10, 12, 14.
El grupo de cuaterniones Q, de orden 8, es un grupo no abeliano pero Q 6' D4. De
hecho, Q posee un solo elemento de período 2 mientras D4 contiene cinco.
El grupo alternante A4 es un grupo no abeliano de orden 12, pero A4 6' D6. Esto es
evidente por cuanto D6 contiene elementos de período 6 (la rotaciónρπ/3, por ejemplo)
mientras A4 no los tiene.
24Para la lista de los grupos finitos de órdenes
|G| ¶ 16, se puede consultar la página de la red 〈http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Grupos_finitos_de_orden_bajo〉.
MA–561: Grupos y Anillos 1.9. Generadores y relaciones para un grupo El último grupo no abeliano de orden 12 es un producto semidirecto T := C3oαC4
donde α: C4 → Aut(C3) está determinado por αt: s ↔ s2, al escribir C3 = {1, s, s2} y
C4 = {1, t, t2, t3}. Fíjese que αt2 = (αt)2 = 1C
3 yαt3 = αt; de hecho, como Aut(C3) ' C2, esteα es el único homomorfismo no trivial de C4en Aut(C3). El elemento (s, t) ∈ T tiene período 4, así que T 6' A4 y T 6' D6, porque ni A4 ni D6 tiene elementos de período 4.
É Falta mostrar que la lista de grupos ya mencionados es exhaustiva. Si|G| = p ∈ {2, 3, 5, 7, 11, 13, 15}, ya se sabe que G ' Cp.
Si|G| = p2= 4 ó 9, entonces G es un p-grupo con Z(G) 6= 1, por la Proposición 1.79.
Si G no fuera abeliano, sería|Z(G)| = p y cada elemento a ∈ G \ Z(G) tendría un central- izador ZG(a) tal que Z(G) < ZG(a) < G, con lo cual |ZG(a)| = pkcon 1< k < 2, imposible:
se concluye que G es abeliano. Entonces, o bien G es cíclico, G ' Cp2; o bien G = 〈a, b〉 es generado por dos elementos de período p que conmutan, así que G' Cp× Cp.
Si |G| = 2p = 6 ó 10 ó 14 y G es abeliano, entonces G es el producto directo de su
p-subgrupo de Sylow y su 2-subgrupo de Sylow, que son cíclicos; luego G' Cp×C2' C2p.
El mismo argumento muestra que un grupo abeliano de orden 15 es isomorfo a C15.
Si |G| = 8 y G es abeliano (véase el Ejemplo 1.92), hay tres posibilidades: (a) G es cíclico, G' C8; o bien (b) G = 〈a, b〉 con un elemento a de período 4 y otro elemento b
de período 2, b 6= a2, en cuyo caso G =' C4× C2; o bien (c) G no posee elementos de
período 8 ni 4, así que G = 〈a, b, c〉 donde a, b, c son elementos distintos de período 2 y por tanto G' C2× C2× C2.
Si |G| = 12 y G es abeliano, entonces G es el producto directo de su 2-subgrupo de Sylow y su 3-subgrupo de Sylow. Luego G ' C4× C3' C12o bien G ' (C2× C2) × C3'
C2× C6.
É No hay más grupos abelianos de orden ¶ 15. Supóngase ahora que G no es abeliano. Si|G| = 2p = 6 ó 10 ó 14, el número de p-subgrupos de Sylow es (1 + kp) y divide 2, luego es 1: G posee un p-subgrupo de Sylow normal P = 〈a〉. Sea Q = {1, b} algún 2-subgrupo de Sylow. Entonces ba b = bab−1 ∈ P, así que bab = am con m6≡ 1 mod p.
Ahora a = b2a b2 = bamb = (bab)m = am2, con lo cual m2 ≡ 1 mod p; se concluye que
m≡ −1 mod p, así que bab = a−1. De ahí se ve que a b= b−1a−1 = (ab)−1 y por ende (ab)2= 1. Se ha mostrado que
G' 〈a, b : ap= b2= (ab)2= 1〉
así que G ' Dp (véase el Ejemplo 1.113). Para los órdenes 6, 10 y 14, los únicos grupos
no abelianos son D3' S3, D5 y D7 respectivamente.
Si |G| = 8, G no contiene un elemento de período 8 y debe tener un elemento con período mayor que 2. Luego hay a ∈ G de período 4. El subgrupo N = 〈a〉 es normal
porque [G : N] = 2. Luego G = 〈a, b〉 donde b /∈ N, b2 ∈ N porque [G : N ] = 2 y
ba b−1∈ N porque N Ã G. El elemento bab−1 tiene período 4 y ba b−1 6= a ya que G no
es abeliano. Por lo tanto, vale ba b−1 = a3= a−1. Como b no es de período 8, se ve que
b26= a y b26= a3. Si b2 = 1, entonces G ' D
4 del Ejemplo 1.113. En cambio, si b2= a2,
el Ejemplo 1.114 muestra que G ' Q.
É El último paso es la identificación de los grupos no abelianos de orden 12.
Si|G| = 12 y G no es abeliano, sea P un 3-subgrupo de Sylow de G. El grupo G actúa sobre el conjunto de coclases G/P por ϕg(hP) := ghP, permutando así las 4 coclases
de P; esta acción define un homomorfismoϕ : G → S4. Si g∈ ker ϕ, entonces g P = P, es decir, g∈ P; por lo tanto, ker ϕ = P o bien ker ϕ = 1.
Si kerϕ = 1, entonces G ' ϕ(G) ¶ S4. Resulta que el único subgrupo de S4 de
orden 12 es el grupo alternante A4. Por lo tanto, en este caso G' A4.
En cambio, si kerϕ = P, entonces P Å G. Del Teorema 1.81 (de Sylow), se deduce que P es el único 3-subgrupo de Sylow de G. Además, por el mismo teorema hay tres 2- subgrupos de Sylow (si hubiera un único 2-subgrupo de Sylow Q, sería G' P×Q ' C3×C4
o bien C3× V , abeliano).
Al escribir P= {1, c, c2}, los únicos elementos de período 3 en G son c y c2. La clase
conjugada de c es entonces {c} o bien {c, c2}. En vista del Ejemplo 1.73 y la Proposi- ción 1.67, esto implica que[G : ZG(c)] = 1 ó 2.
Si ZG(c) = G, hay un elemento d ∈ G de período 2, en algún 2-subgrupo de Sylow. Si
|ZG(c)| = 6, de nuevo hay un elemento d ∈ ZG(c) de período 2, ya que ZG(c) ' C6 ó S3.
En los dos casos, a := cd = dc es un elemento de G de período 6.
Sea N := 〈a〉, donde |N| = 6 y [G : N] = 2. Del Lema 1.32 se ve que N Ã G. Luego hay b ∈ G \ N con G = 〈a, b〉, b2 = ak y ba b−1 = am para algunos k, m ∈ {0, 1, . . . , 5}.
Ahora m6= 1 porque G no es abeliano. Como am= bab−1 tiene el mismo período que a
(es decir, 6), se obtiene m= 5 y por ende bab−1= a5= a−1.
Si el período de b fuera 6, quedarían sólo cinco elementos de períodos 2 ó 4 repartidos entre los tres 2-subgrupos de Sylow. Esto implica que b26= a2 y b26= a4. El período de b
tampoco es 12 ya que G no es cíclico; luego b26= a y b26= a5.
Si b2 = 1, entonces bab = a−1 y por tanto(ab)2 = 1. Del Ejemplo 1.113 se obtiene un isomorfismo G' D6.
En cambio, si b2 = a3, de modo que b tenga período 4, es fácil comprobar que la
MA–561: Grupos y Anillos
2
Grupoides y Categorías
La ley de asociatividad es la propiedad más importante de los grupos. Un monoide es aso- ciativo aunque no todos sus elementos tienen inversos; un semigrupo es asociativo aunque se prescinde de tener un elemento neutro. Sin embargo, los monoides y semigrupos no constituyen la única manera de generalizar el concepto de grupo. Otra posibilidad, in- troducida por Brandt1 y de creciente importancia en años recientes, es el concepto de
grupoide, donde se conserva la asociatividad y la existencia de inversos pero se permite una pluralidad de elementos neutros. Si se conserva asociatividad y se permiten varios elementos neutros pero no se exige la existencia de inversos, se llega al concepto de cat-
egoría, que hoy en día forma una estructura organizadora de toda la matemática. En este capítulo se hace un breve bosquejo introductorio de estas estructuras.
2.1
Grupoides
El concepto de grupoide involucra dos conjuntos, una “base” X y una “cubierta” G: la cubierta generaliza el conjunto subyacente a un grupo, la base sirve como conjunto índice para las unidades. La definición formal es la siguiente.