Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical

fracaso»28. Y en el último manuscrito conservado de Frege leemos: «Me he visto obligado a abandonar la opinión de que la aritmética sea una rama de la lógica y por tanto que todo en la' aritmética pueda ser probado lógicamente»29. No solo acabó el viejo Frege renunciando a la tesis logidsta, sino que también fue consciente de que el fracaso de su construcción se debía al uso de la noción de

extensión de un concep­

to,

equivalente a la de dase o conjunto. Induso llegó a sostener que no hay objeto alguno que sea la extensión de un concepto. La expresión ‘la extensión dd concepto P’ —escribe Frege en otro de sus últimos manuscritos— «parece designar un objeto a causa dd artículo deter­ minado; pero no hay objeto alguno al que así pudiéramos designar co­ rrectamente. De aquí han surgido las paradojas de la teoría de conjun­ tos que han aniquilado esa teoría. Y tratando de fundamentar lógicamente los números, yo mismo he caído en esa trampa, al querer considerarlos números como conjuntos...»30.

La filosofía de la matemática posterior no ha dejado de dar vudtas al problema de cómo salir de la trampa en que cayeron Cantor y Frege, y aunque se han encontrado diversas soludones técnicas, aún estamos lejos de haber alcanzado una daridad filosófica sufidente. Una cosa, sin embargo, parece derta: la tesis logicista (es decir, la tesis fregeana de que la matemática es redudble a la lógica) es insostenible o trivial. Si se induye la teoría de conjuntos en la lógica, entonces la tesis es tri­ vial. Si no se induye, entonces es falsa.

Ló g icafilo só ficay filo so fía d e llenguaje

Además de haber hecho contribudones decisivas a la lógica y a la filosofía de la matemática, Frege introdujo las distindones semánticas (por ejemplo, entre sentido y referencia) que lo convertirían en d fun­ dador indirecto de la actual filosofía del lenguaje y de la filosofía ana-

J* Gottlob Frege, Nacbgelassene Schriften (ed. por Hermes, Kambartel y Kaul- bach), Hamburg, 1969, pág. 282.

19 Ibíd., pág. 298. 30 IbtíL, págs. 288-289.

lírica en general. Es sin duda el primer clásico del pensamiento filosó­ fico contemporáneo.

En' el esfuerzo por desarrollar su lógica y el programa logidsta, Frege se había enfrentado con el problema de la imprecisión y la con­ fusión que rodeaba a varias nociones clave relacionadas con el análisis semántico del lenguaje aritmético y, por extensión, del lenguaje en ge­ neral. Había que distinguir entre el signo y el significado, y, ya dentro del significado, entre el sentido y la referencia. Había que precisar lo que era un objeto y un concepto, una propiedad y una característica, etc. Frege trató de todas estas cuestiones en una serie de hoy famosos artículos publicados en 1891 y 1892: «Funktion und Begriff» (Función y concepto), «Über Sinn und Bedeutung» (Sobre sentido y referencia) y «Über Begriff und Gegenstand» (Sobre concepto y objeto). En 1904 apareció «Was ist eine Funktion?» (¿Qué es una fundón?). Las distin- dones y diluddadones de Frege en estos artículos y otros textos relado- nados lo convierten en el fundador de lo que luego se ha llamado (según los autores) lógica filosófica, semántica lógica o filosofía del lenguaje.

Las dos categorías fundamentales de la ontología fregeana son las de objeto y fundón. Las categorías, como nodones últimas que son, no pueden ser definidas. Frege ha de contentarse con apuntar, sugerir, po­ ner ejemplos y esperar que el lector capte la diferencia.

Según Frege, todo lo que hay, todo acerca de lo que hablamos, o es objeto o es fundón. Hay objetos y hay fundones. No hay nada más. Fundón es todo lo que no es objeto; objeto es todo lo que no es fun­ dón. Un objeto es algo completo o saturado —

gesättigt

—. Uña fun­ dón es algo incompleto o no saturado —

ungesättigt

—. Al añadir un objeto (el argumento) a una fundón (monaria), la completamos o satu­ ramos, obteniendo así otro objeto, que es el valor de esa fundón para d primer objeto. Frege exigía que una fundón estuviese determinada o definida para todos los objetos sin excepción, es decir, que asignase un valor a cada uno de ellos.

Los árboles, los humanes y los planetas son objetos. También son objetos los puntos espadotemporales, los números naturales, los con­ juntos e induso los valores veritativos (la verdad y la falsedad, o, en jerga fregeana, lo verdadero y lo falso).

La adición, multiplicación o exponenciación de números naturales son funciones, funciones cuyos argumentos son números naturales y cuyos valores son también números naturales. Igualmente son funcio­ nes, según Frege, los conceptos —

B'egriffe

— y las relaciones —

Be-

ziehungen

—. Los conceptos son funciones monarias (es decir, de un argumento) cuyos valores son siempre valores veritativos. Así, el con­ cepto de ciudad de más de un millón de habitantes es' una función que, por ejemplo, tiene como valor lo verdadero para los argumentos París y Londres, y lo falso para los argumentos Granada, 25, Napoleón Bo- naparte y el sol. Las relaciones (binarias) son funciones de dos argu­ mentos cuyos valores son siempre valores veritativos. Así como la adi­ ción asigna a cada par de números naturales otro número natural (su suma), la relación ‘... gira en torno a ...’ asigna a cada dos objetos un valor veritatívo, que, por ejemplo, será lo verdadero en el caso de la Luna y la Tierra, o dé la Tierra y el Sol, y lo falso, si se trata de la Tie­ rra y Marte, o del número

%

y el río Amazonas.

Un nombre —

Ñame

— o expresión nominal es una expresión lin­ güística que designa algún objeto determinado. Un mismo objeto pue­ de ser designado por diversos nombres. Un funttor o expresión func- torial es una expresión lingüística que designa alguna función determinada. Todas las expresiones lingüísticas son nombres o functo- res, expresiones nominales o functoriales. Los nombres son completos o saturados, y designan un objeto. Los functores son incompletos o no saturados, y designan una función.

Hasta 1890, Frege se había contentado con distinguir entre el sig­ no —

Zeichen

— o expresión lingüística, por un lado, y el contenido significativo —

betirteilbarer Inbalt

— del signo o expresión lingüísti­ ca, por otro. A partir de 1891, Frege introdujo una estructura en el contenido significativo, distinguiendo claramente entre la referencia

—Bedeutung

— y el sentido —

Sinn

— del signo o expresión; (General­ mente, la palabra alemana

Bedeutung

equivale a la castellana

significa­

do

, pero Frege usa

Bedeutung

en un sentido técnico especial, que no puede traducirse por significado, sino solo por referencia o denotación o designación; el-significado es más bien lo "que Frege llama

Sinn

, sen­ tido.)

El objeto al que una expresión se refiere es sü referencia; su pecu­ liar manera de referirse a él es su sentido. Así, las expresiones ‘la capi­ tal de España’, ‘la villa del oso y del madroño’ y ‘la ciudad natal de José Ortega y Gasset’ tienen la misma referencia —Madrid—, pero

distinto sentido. Así, también las expresiones

y

S d

tienen la misma referencia —el número real

e

—, pero distinto sentido. Frege no se conformaba con distinguir entre el sentido y la referen­ cia de las expresiones nominales, sino que trataba de extender esta dis­ tinción a todo tipo de expresiones lingüísticas.

Según Frege, un enunciado (o sentencia) tiene como referencia su valor vcritativo y como sentido el pensamiento objetivo —

Gedanke

— por él expresado, que no hay que confundir con la representación sub­ jetiva —

Vorstellung

— que se pueda formar en la mente de quien use el enunciado. Puesto que los valores veritativos son objetos, los enuncia­ dos son nombres de los objetos (lo verdadero o lo falso) a los que se refieren. Todos los enunciados verdaderos son nombres de lo verdade­ ro y todos los enunciados falsos son nombres de lo falso.

La mayor parte del artículo «Über Sinn und Bedeutung» está dedi­ cado a analizar las dificultades que esta teoría del sentido y la referen­ cia de los enunciados presenta en el caso de las citas, el estilo indirecto y las oraciones subordinadas. En este contexto aparece también la pri­ mera teoría de las descripciones.

En el artículo «Ausfiihrungen über Sinn und Bedeutung» (Conside­ raciones sobre sentido y referencia), publicado póstumamente31, Frege extiende su distinción entre sentido y referencia a las expresiones func- toriales y, en especial, a las expresiones de conceptos. La referencia de una expresión conceptual no es la extensión del concepto —como én Camap—, sino el concepto mismo. Y su sentido es algo distinto, aun­ que no queda daro en qué consista.

31 Gottlob Frege, Nachgelassene Schriften (ed. por Hermes, Kambartel y Kaul- bach), Hamburg, 1969, pägs. 128-136.

Frege acabó con muchas confusiones tradicionales relativas a los conceptos mediante una serié de sutiles distinciones. Según Frege, un concepto es una función cuyos valores son valores veritativos. Decimos que un objeto cae o no cae bajo un concepto según que ese concepto le asigne como valor lo verdadero o lo falso. Decimos que un concepto está subordinado a otro concepto si todos los objetos que caen bajo el primer concepto caen también bajo el segundo. Esta distinción fregea- na entre caer bajo un concepto

—unter einen Begrifffallen

— y estar su­ bordinado a otro concepto

—einem anderen Begriff untergeordnet

sein

— corresponde a la distinción extensional entre ser elemento de una clase y estar incluido en otra clase.

Otra famosa distinción de Frege es la establecida entre propiedad —

Bigenscbaft

— y característica —

Merkmal

—. Un objeto tiene una propiedad si cae bajo el correspondiente concepto. Pero un concepto es una característica de otro concepto si entra en su definición y, por tanto, el primer concepto es una propiedad de todos los objetos que caen bajo el segundo. Así pues, el ser animal es una característica del (concepto de) humán, no una propiedad suya. El ser animal es una propiedad de objetos individuales como Sócrates o Tony Blair, no de conceptos.

Especialmente importante es la distinción de órdenes o niveles —

Stufen

— de conceptos. Bajo un concepto normal (o de. primer or­ den) caen o no caen objetos. Pero, a su vez, un concepto normal puede no solo estar subordinado a otro concepto de primer orden, sino tam­ bién caer él mismo bajo otro concepto, que, esta vez, será un concepto de segundo orden. Así, el ser médico o el ser abogado son conceptos de primer orden, pero el ser una categoría profesional es un concepto de se-’ gundo orden. El ser hidrógeno o carbono es un concepto de primer orden, pero el ser un elemento químico es un concepto de segundo or­ den. Y los números naturales, por ejemplo el tres 9 el cuatro (el tener

tres o cuatro objetos), también son, según Frege, conceptos de segun­ do orden.

En estos artículos aparece de vez en cuando la problemática noción de recorrido —

Wertverlauf

— de una función, que es la noción menos precisa de todas las introducidas por Frege. A veces parece indicar la

extensión de un concepto en su sentido habitual y, por tanto, una parte de su dominio (la antiimagen de lo verdadero). Otras veces parece más bien referirse a su contradominio (o recorrido, en su sentido actual). En la mayoría de los casos, finalmente, más bien parece indicar la fun­ dón entera, extensionalmente concebida, como dase de diadas o pares ordenados. Esta nodón confusa de recorrido fue la escotilla por la que la contradicdón descubierta por Russell se coló en el sistema de Frege, según ya vimos anteriormente.

En sus artículos semánticos, Frege introdujo tina serie de distindo- nes y nodones que han sido determinantes para d desarrollo posterior de la lógica filosófica y la semántica lógica. -Quizás induso han sido de­ masiado determinantes, pues la insisténcia de Frege en buscar para cada expresión lingüística una referenda en un mundo objetivo y ex­ tralingüístico, pero curiosamente isomorfo al lenguaje en que de d se habla, ha señalado a la posterior investigadón semántica un camino que quizá resulte ser un callejón sin salida.

H

ilbert

y F

kegesobreelmétodoaxiomático

David Hilbert (1862-1943) fue pronto reconocido como d más grande matemático viviente por la comunidad dentífica intemadonaL En 1895 obtuvo una cátedra de matemáticas en la Universidad de Gót- tingen, en la que permanedó hasta su muerte. Si esa universidad ya era prestigiosa antes, con su presencia se convirtió en d prindpal foco de la investigadón matemática. El papd estelar de Hilbert en d I Congre­ so Mundial de Matemáticos, cdebrado en París en 1900, en d que propuso su célebre lista de 23 problemas por resolver en d siglo XX, contribuyó a afianzar su enorme prestigio.

Hada 1900, Hilbert era ya un matemático de fama mundial, coronado por d éxito profesional y la admiradón de sus colegas. Frege, por d contra­ rio, a pesar de su mayor edad —tenía catorce años más que Hilbert—, era un oscuro docente de la Universidad de Jena, que nunca llegaría a alcanzar la posidón de profesor ordinario y cuya obra —intrínsecamente impor­ tante—no había logrado d reconocimiento ni la difusión que merecía.

Hilbert hizo contribuciones importantes a la teoría de invariantes, a la teoría de números, a la de ideales y a la de variedades algebraicas. En 1899 presentó la primera axiomatización satisfactoria de la geome­ tría euclídea en

Grundlagen der Geometrie.

En 1904-1910 hizo aporta­ ciones decisivas al análisis, desarrollando la teoría de las ecuaciones in­ tegrales. No menos espectaculares fueron sus contribuciones a la física teórica, tanto a la teoría cinética de gases, como a la teoría general de la relatividad (en cuya formulación correcta casi se adelantó a Einstein) e incluso indirectamente a la mecánica cuántica, formalizada por von Neumann sobre la base de los espacios de Hilbert, un subproducto de sus investigaciones sobre las ecuaciones integrales. En los años veinte se interesó profundamente por los fundamentos de la matemática, for­ mulando su famoso ‘programa de Hilbert’ y propugnando el formalis­ mo y la teoría de la prueba. En 1928 publicó (junto con Ackermann) el primer libro de texto moderno de lógica, que incluía un cálculo com­ pleto para la lógica de primer orden, y en 1934 publicó (junto con Ber- nays) los dos tomos de los

Grundlagen derMatbematik

, suma delame- tamatemática de su tiempo.

En 1895, Hilbert y Frege se encontraron en lá reunión de la Unión Alemana de Científicos y médicos en Lübeck, donde Frege había pre­ sentado una ponencia sobre las ventajas, de su escritura conceptual frente al lenguaje ordinario y al simbolismo de Peano. Tras la confe­ rencia, Hilbert y Frege tuvieron un breve cambio de opiniones sobre el papel de los signos en la matemática, seguido de una carta de Frege a Hilbert y una respuesta de este sobre el mismo tema. En el semestre de invierno 1898-1899, Hilbert dio un curso sobre los fundamentos de la geometría euclídea, entre cuyos oyentes se encontraba Heinrich Lieb- mann, que envió una copia de los apuntes del curso a Frege, que era amigo de su padre. La reacción de Frege ante las novedades metodoló­ gicas de Hilbert, manifestada en dos cartas a Liebmann, fue negativa, impresión que se confirmó tras la atenta lectura por Frege de

Grundla­

gen der Geometrie

, publicado poco después y que constituía una ver­ sión ampliada del curso de Góttingen que Frege ya conocía. El 27 de diciembre de 1899, Frege escribió directamente a Hilbert una larga carta, en la que sometía su libro a una crítica dura y algo pedante, acu­

sándole de falta de rigor. Hilbert debió de sentirse irritado, pero apre­ ciaba a Frege y, armándose de paciencia, le contestó dos días después (¡qué bien funcionaba él servicio de correos 1) con otra larga carta, ex­ plicando algunos aspectos esenciales del nuevo método axiomático. El 6 de enero de 1900, Frege volvió a la carga con otra prolija misiva, lú­ cida y agresivamente polémica, llena de críticas y discusiones de las te­ sis de Hilbert. Pero esta vez Hilbert se limitó a acusar recibo con una postal, por falta de tiempo para otra cosa.'Hilbert se expresaba con ex­ cesiva falta de precisión para el gusto del lógico genial y pedantemente preciso que era Frege. Y Frege, que tan aguda y lúcidamente criticaba la desafortunada terminología hilbertiana, era incapaz de ver, más allá de los árboles de sus críticas de detalle, el bosque del nuevo método que Hilbert había descubierto y que iba a revolucionar la matemática. La suerte de la polémica estaba echada.

Al pasar los meses sin recibir cabal contestación de Hilbert, el 16 de noviembre, Frege volvió a insistir con otra carta, a la que Hilbert volvió a responder escuetamente, por falta de tiempo. Y ahí se inte­ rrumpió la polémica epistolar32. En respuesta al envío del tomo II de sus

Grundgesetze,

Hilbert escribió a Frege el 7 de noviembre de 1903, dándole las gracias y lamentando no haberlo encontrado en las últimas reuniones de matemáticos. Hilbert le indicaba que en Gottingen ya co­ nocían la contradicción encontrada por Russell, y se ocupaban de ella, y añadía: «Ya es hora de que usted venga de una vez a Gottingen. Te­ niendo en cuenta lo cómodos que son hoy en día los viajes en tren, la comunicación oral es preferible a la escrita. Para esta última me falta desgraciadamente el tiempo. Y aquí hay varios jóvenes interesados en la axiomatdzación de la lógica». Frege ya no contestó, ni fue a Gottin­ gen. Estaba interesado en el contacto epistolar, pero no en el personal. Frege propuso a Hilbert la publicación de su intercambio epistolar, pero Hilbert prefería no hacerlo. Por ello Frege publicó sus objeciones en 1903 en el Anuario de la Unión Alemana de Matemáticos en forma

In document Los Lógicos - Jesús Mosterín (página 56-64)