Capítulo II: Sistemas Argumentativos
2.5 Juegos argumentativos
Las extensiones pueden verse como la semántica de un sistema argumentativo, mientras que una teoría de prueba puede hacerse mediante la propuesta de juegos argumentativos. Los juegos argumentativos, a diferencia de las semánticas que se focalizan en las propiedades que un conjunto de argumentos debe satisfacer, son una teoría de prueba o la dimensión procedimental de la argumentación donde se pretende establecer el estado de un argumento individual. Diversas propuestas han sido realizadas (Vreeswijk, 1993b; Simari et al., 1994; Gordon, 1994, 1995; Prakken & Sartor, 1996b; Loui, 1998; Vreeswijk & Prakken, 2000; Amgoud et al., 2000; Prakken, 2005; Caminada & Wu, 2008; Modgil & Caminada, 2009; Prakken & Sartor, 2009; Prakken, 2011; Bodanza et al., 2012). La idea de este enfoque puede ser explicada en términos de un juego de diálogo entre dos jugadores, un proponente y un oponente.
61 Un juego argumentativo es un diálogo en tanto serie de movidas alternadas entre el proponente (P) y el oponente (O). El proponente comienza con un argumento, argumento que será testeado, cada movida siguiente consistirá en un argumento que derrota a la última movida de la contraparte. El argumento inicial podrá tener cierto status si P cuenta con una estrategia ganadora, i.e. si el proponente es capaz de lograr que el oponente se quede sin movimientos. Las reglas exactas del juego dependerán de la semántica que se intente capturar pero los roles de los jugadores pueden caracterizarse de manera general tal como se indica a continuación.
El rol de P es constructivo. Su función, mostrar que un argumento determinado, por caso A, pertenece a un extensión determinada. Para satisfacer el rol constructivo de P,
P cumple una función de contra-contra-argumentador. Si existen argumentos que derrotan a A, buscará argumentos que derroten los derrotadores de A (aceptabilidad). Si encuentra tales argumentos, estos deben ser consistentes con los argumentos previamente jugados (libre de conflicto) dado que cualquier semántica es al menos libre de conflicto. Como se puede observar, el rol de P es eminentemente defensivo. Sólo construye argumentos necesarios para defender a A. Además, es importante para
P mantener tal conjunto lo más pequeño que sea posible dado que mientras más grande sea, más difícil será de defender.
Por su parte, O asume un rol crítico. Su función consiste en proponer argumentos que derroten los argumentos propuestos por P.
Si P tiene éxito en su tarea, entonces O falla, y viceversa. Por ello, un juego argumentativo es un juego de suma cero. A su vez, es deseable que las jugadas entre P
Antes de brindar una definición formal se procederá a
ejemplos que permitirán discutir algunas nociones estratégicas en los juegos tal como ha sido sugerido por Vreeswijk y Prakken (2000).
Ejemplo 2.5.1: Sea
hay interés por conocer el status de
extensiones preferidas son conjuntos admisibles maximales, es suficiente para mostrar que A pertenece a un conjunto admisible.
simplemente consiste en colocar argumentos que defiendan a
Si A no puede ser criticado, i.e. no existen derrotadores de tiene éxito en mostrar que
Ante esta situación
para tal fin, P falla en su función de construir un conjunto admisible en torno modo que A no es admisible y en consecuencia,
Antes de brindar una definición formal se procederá a presentar una serie de ejemplos que permitirán discutir algunas nociones estratégicas en los juegos tal como
por Vreeswijk y Prakken (2000).
: Sea MA = 〈{A, B} {(B, A)}〉 un marco argumentativo. Supóngase que hay interés por conocer el status de A en base a la semántica preferida.
extensiones preferidas son conjuntos admisibles maximales, es suficiente para pertenece a un conjunto admisible. La primera acción de simplemente consiste en colocar A y el objetivo, construir un conjunto consistente de argumentos que defiendan a A de todos los posibles derrotadores
no puede ser criticado, i.e. no existen derrotadores de A tiene éxito en mostrar que A es preferido. Sin embargo B derrota a
Ante esta situación P debe defender a A de B, pero dado que no existe un argumento falla en su función de construir un conjunto admisible en torno
no es admisible y en consecuencia, A no es preferido.
62 presentar una serie de ejemplos que permitirán discutir algunas nociones estratégicas en los juegos tal como
un marco argumentativo. Supóngase que en base a la semántica preferida. Dado que las extensiones preferidas son conjuntos admisibles maximales, es suficiente para P
La primera acción de P
y el objetivo, construir un conjunto consistente de de todos los posibles derrotadores:
A, S={A} es admisible y P
derrota a A.
, pero dado que no existe un argumento falla en su función de construir un conjunto admisible en torno a A. De
Ejemplo 2.5.2: Sea
argumentativo. Suponga que de P es jugar C:
O derrota C con D:
P defiende esta derrota de
La derrota de O contra
Ahora, P defiende a
impedir que C sea considerado admisible,
: Sea MA = 〈{C, D, E, F, G} {(D, C), (E, D), (F
Suponga que P quiere demostrar que C es preferido. La primera acción
defiende esta derrota de C con E:
contra C mediante D ha fallado. O vuelve a atacar
defiende a C de F con G. Dado que O no cuenta con otro argumento capaz de sea considerado admisible, P puede cerrar el conjunto S:
63 F, C), (G, F)}〉 un marco es preferido. La primera acción
vuelve a atacar C pero ahora con F:
no cuenta con otro argumento capaz de puede cerrar el conjunto S:
Ejemplo 2.5.3: Sea
P quiere mostrar que
O derrota H con I
P defiende H de I con
O ataca el defensor de
Sea MA=〈{H, I, J, K} {(I, H), (J, I), (K, J), (J, K)}〉 un marco argumentativo. quiere mostrar que H es admisible, para ello propone H:
con J
ataca el defensor de H con K:
64 un marco argumentativo.
P defiende a J de K
proponer otro argumento, de modo que
Este ejemplo, muestra que tiene sentido que
al menos desde el punto de vista de la semántica crédu disputa.
Ejemplo 2.5.4: Sea
argumentativo. Supóngase que es poner M:
O ataca M con L
P defiende a M con P
K con J mismo, de modo que J se autodefiende.
proponer otro argumento, de modo que P gana y puede cerrar el conjunto S:
Este ejemplo, muestra que tiene sentido que P pueda repetir sus argumentos y al menos desde el punto de vista de la semántica crédula y en la misma línea de
: Sea MA=〈{M, L, P, K, H} {(L, M), (P, L), (H, P), (
argumentativo. Supóngase que P quiere probar que M es admisible. La primera acción
P
65 se autodefiende. O es incapaz de gana y puede cerrar el conjunto S:
repetir sus argumentos y O no, a y en la misma línea de
(K, L), (M, K)}〉 un marco es admisible. La primera acción
O ataca P con H
P vuelve la jugada e intenta defender de H
Sin embargo, O ataca
P es incapaz de cerrar S. De modo que que P no puede derrotar
para M y si lo hace, el conjunto no será libre de conflicto. Este ejemplo muestra que no puede repetir las jugadas de
tales repeticiones se puede revelar un conflic
Ejemplo 2.5.5: Sea
marco argumentativo. Supóngase que A con D, P defiende a
vuelve la jugada e intenta defender M con K de L puesto que no puede defender a
ataca K con M revelando inconsistencia en el conjunto defensor de
es incapaz de cerrar S. De modo que M no pertenece a un conjunto admisible. Note no puede derrotar M con L, dado que P debe construir un conjunto admisible
y si lo hace, el conjunto no será libre de conflicto. Este ejemplo muestra que no puede repetir las jugadas de O pero O puede repetir las jugadas de
tales repeticiones se puede revelar un conflicto en la posición de
MA=〈{A, B, C, D, E} {(C, A), (D, A), (E, D), (
marco argumentativo. Supóngase que P quiere mostrar la admisibilidad de defiende a A de D con E.
66 puesto que no puede defender a P
revelando inconsistencia en el conjunto defensor de M
no pertenece a un conjunto admisible. Note debe construir un conjunto admisible y si lo hace, el conjunto no será libre de conflicto. Este ejemplo muestra que P
puede repetir las jugadas de P dado que en to en la posición de P.
(B, C), (B, E), (E, B)}〉 un quiere mostrar la admisibilidad de A. O ataca
67 Si O ataca E con B, P puede defender E repitiendo E mismo. Sin embargo, O puede volver a atacar A, pero ahora con C, luego P sólo puede defender A con B, entonces O
puede repetir la jugada de P jugando E y revelando que la posición de P no es libre de conflicto.
Teniendo en cuenta los ejemplos considerados es posible preguntarse sobre la estrategia de repetición tanto para P como para O: ¿Tiene sentido para P (O) repetir sus propios argumentos?, ¿tiene sentido para P (O) repetir los argumentos de O (P)?
Las respuestas son dadas en los siguientes puntos:
• Si P repite sus propios argumentos, O puede fallar en encontrar o producir un argumento contra el argumento repetido. De modo que tiene sentido que P
repita sus propios argumentos.
• Si O repite sus propios argumentos, P siempre contará con una estrategia defensiva para los argumentos repetidos por O. De modo que la repetición para
O no tiene sentido. Aunque, claro está, que O puede repetir sus propios argumentos cuando la línea de argumentación sea distinta.
• Si O repite los argumentos de P, O puede poner en evidencia que el conjunto de argumentos de P no es libre de conflicto y en consecuencia tampoco admisible. De modo que la repetición de los argumentos de P por O tiene sentido.
• Si P repite los argumentos de O, P al jugarlos introduce un conflicto en la colección de sus propios argumentos, de modo que no tiene sentido para P
68 A continuación se presenta un proceso de justificación basado en juegos en el que se definen protocolos con vistas a establecer diversos criterios para determinar la justificación de un argumento. En concreto, será definido un modelo de diálogo general y protocolos específicos que capturarán diversas semánticas. Antes de continuar se introducirán los rasgos comunes o generales de los juegos, algunos ya enunciados anteriormente:
• En el juego hay dos partes: proponente, notado como P, cuya tarea consistirá en defender un argumento, y oponente, notado como O, cuyo objetivo será derrotar el argumento propuesto por P.
• El juego es un juego de suma cero, i.e. sólo un jugador gana.
• El juego es un juego finito, i.e. el número de argumentos jugados por P y O es finito.
Teniendo en cuenta los rasgos anteriores se procede a definir un juego argumentativo de la siguiente manera.
Definición 2.5.1 [Bodanza et al., 2012] (juego argumentativo)
Un juego argumentativo en un marco argumentativo MA=〈AR, derrota〉 es un juego extensivo de suma cero en el que:
1. Existen dos jugadores, i y –i, quienes juegan los roles de P y O respectivamente.
2. Una historia en el juego es cualquier secuencia A0, A1, A2,...,A2k,A2k+1,... de elecciones de argumentos en AR realizada por los jugadores en el juego. A2k corresponde a P y A2k+1 a O, para k = 0,1,…
69 4. En una historia las elecciones del jugador i en el nivel k > 0 son Ci(k) = {A
∈AR: ∃B∈C–i(k–1), (A,B) ∈derrota}.
5. Una historia de longitud finita K, A0,…,AK es terminal si AK corresponde al jugador j (j = i o j = –i) y C–j(k+1) = ∅.
6. Los pagos son determinados en las historias terminales: el pago para P en A0,…,AK es 1 (P gana) si K es par (i.e. O no puede responder al último argumento de P) sino –1 (P pierde). A su vez, el pago en A0,…,AK para O es 1 si K es impar caso contrario es –1.
□
Un juego en el que P intenta defender un argumento A pude entenderse como un árbol con raíz en el que A es la raíz. Cada nodo no terminal en el nivel l consiste de una historia A0,…,Al y sus hijos son todas las historias en A0,…,Al, Al+1. Los nodos terminales son las historias terminales.
Definición 2.5.2 [Bodanza et al., 2012] (estrategia)
Una estrategia para un jugador i es una función que asigna un elemento Al+1∈Ci(l), a cada historia no terminal A0,…,Al donde Al corresponde al jugador –i. Una estrategia del jugador i se denomina estrategia ganadora para i si para cada estrategia elegida por –i, la historia terminal produce un pago 1 para el jugador i.
□
Si P tiene una estrategia ganadora significa que su argumento inicial puede ser defendido en contra de cualquier posible derrota. De lo contrario, si O tiene una estrategia ganadora significa que el argumento inicialmente propuesto por P no puede ser defendido.
70 Nótese que la estrategia ganadora para P u O no puede garantizarse si el árbol es infinito. Aún siendo finito, un marco argumentativo que no esté libre de ciclos en las relaciones de derrota puede producir un árbol infinito. Ahora bien, los juegos argumentativos de acuerdo a la definición presentada no son necesariamente finitos. Dadas las reglas del juego, es claro que una posible fuente de no finitud del juego es la existencia de ciclos en la relación de derrota. Existen básicamente dos formas de evitar la infinitud en el marco con un número finitos de argumentos:
a. Restringir el juego a marcos argumentativos en el que la relación de derrota es acíclica.
b. Agregar reglas prohibiendo ya sea a ambos o a algunos de los jugadores repetir los argumentos de alguna manera específica.
La primera alternativa lleva a evitar casos interesantes. Así que es conveniente seguir la última atendiendo también a lo discutido previamente sobre la repetitibilidad como estrategia en un juego.
La semántica básica (grounded) propuesta por Dung (1995) sanciona una única extensión y consiste en el menor punto fijo de la función característica F(S) tal como se ha visto anteriormente. Para capturar tal semántica son necesarias las reglas 1 a 6 en adición con el protocolo 1 a fin de asegurar la finitud del juego tal como es propuesto en (Bodanza et al., 2012).
Protocolo 1: Rules 1 a 6 + 7. Donde 7 es la siguiente regla:
7. P no tiene permitido jugar un argumento que ha sido previamente jugado por cualquier jugador.
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Ejemplo 2.5.6 Sea MA = 〈{A, B, C} {(C, B), (B, C), (B, A)}〉 un marco argumentativo. Supóngase que P quiere probar que A es un argumento básico (grounded), entonces el juego consistirá en la siguiente secuencias de jugadas A(P) ← B(O) ←C(P) ←B(O).
Claramente P no cuenta con una estrategia ganadora para defender a A.
Ejemplo 2.5.7 Sea MA = 〈{A, B, C} {(C, B), (B, A), (A, B)}〉 un marco argumentativo. Supóngase que P quiere probar que A es básico (grounded). La secuencia de jugadas A(P) ← B(O) ←C(P) muestra que P tiene éxito, pues cuenta con una estrategia ganadora
para defender a A de B mediante C.
El siguiente protocolo captura la admisibilidad, también debida a (Bodanza et al., 2012).
Protocolo 2: Rules 1 a 6 + 7- 8. Donde 7 a 8 son las siguientes:
7. Ningún jugador tiene permitido avanzar un argumento que fue
previamente jugado por O.
8. Ningún jugador tiene permitido mover si el último argumento en la secuencia fue previamente jugado por P. (i.e., si la siguiente jugada corresponde a O y P ha repetido su jugada, O pierde; si la siguiente movida corresponde a P y O ha repetido un argumento jugado previamente por P, P
pierde).
Ejemplo 2.5.9 Sea MA=〈{A, B} {(A, B), (B, A)}〉 un marco argumentativo. Supóngase que P quiere probar que A es admisible. El siguiente juego A(P) ← B(O) ← A(P) prueba
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Ejemplo 2.5.10 Sea MA=〈{A, B, C} {(B, A), (C, B), (A, C)}〉 un marco argumentativo. Supóngase que P quiere probar que A es admisible. El siguiente juego A(P)← B(O) ← C(P)
← A(o) prueba que A noes admisible.