La conjetura de Vizing en subclases de grafos

Dado un grafo G decimos que G satisface la conjetura de Vizing o bien que la conjetura es v´alida para G si se verifica que γ(GH) ≥ γ(G)γ(H) para cualquier grafo H.

Con los resultados anteriores podemos obtener algunas clases de grafos para los cuales vale la conjetura de Vizing.

Proposici´on 3.24. Si G es un grafo con γ(G) = 1, entonces la conjetura de Vizing es v´alida para G.

Demostraci´on. Observar que la proyecci´on sobre H de un conjunto dominante D de GH, resulta ser un conjunto dominante de H (Lema 3.20). Si consideramos D un γ-set tenemos:

3.3. DOMINACI ´ON EN EL PRODUCTO CARTESIANO DE GRAFOS 51 Proposici´on 3.25. Si G es un grafo con ρ(G) = γ(G), entonces la conjetura de Vizing es v´alida para G.

Demostraci´on. Es un corolario inmediato del Teorema 3.23.

Una familia de grafos que tienen m´aximo packing igual al n´umero de dominaci´on son los ´arboles2 _{(probado en [31]).}

La conjetura de Vizing tambi´en es v´alida cuando G y H son caminos o ciclos. En ese caso el producto Cartesiano es un grafo grilla. El argumento puede armarse observando que un v´ertice en el producto Cartesiano puede dominar a lo sumo 5 v´ertices y luego comparar γ(G)γ(H) =l|V (G)|₃ m l|V (H)|₃ mcon |V (G)|·|V (H)|₅ .

Tambi´en se conoce con exactitud el n´umero de dominaci´on de P2Pny C3Cn, [22, 25], P2Pn=  n + 1 2  y C3Cn= n − jn 4 k .

Nosotros probaremos la conjetura de Vizing para dos clases de grafos que son m´as generales: los grafos de intervalo y los grafos arco-circulares. Estas clases contienen a los caminos y ciclos, respectivamente.

Conjetura de Vizing para grafos de intervalo.

Definici´on 3.26. G es un grafo de intervalo si tiene un modelo de intersecci´on de itervalos. Es decir si existe una familia de intervalos abiertos I que representa a los v´ertices de G tal que Iu∩ Iv 6= ∅ ⇔ (u, v) ∈ E(G).

En cada intervalo Iv = (s, t), s es el start-point y t el end-point.

La Figura 5 ejemplifica esta definici´on. Otro ejemplo de grafos de intervalo son los caminos Pn.

Figura 5: Modelo de intersecci´on de intervalos y el grafo que representa.

Observamos que un grafo de intervalo puede tener m´as de un modelo de intersecci´on de intervalos que lo represente. Adem´as dado un grafo de intervalo G es posible dar en tiempo lineal un modelo de intervalos I para G.

El siguiente algoritmo es lineal y encuentra un γ-set y un m´aximo packing de un grafo de intervalo.

2

Algoritmo 2 M´aximo packing y Conjunto dominante m´ınimo de grafos de Intervalo Input: El modelo I = {(si, ti)}i=1...n con s1 ≤ s2 ≤ ... ≤ sn del grafo G.

Output: Un m´aximo packing P y un γ-set D.

1) Consideramos el primer end-point tp y agregamos el v´ertice p a P . Notar que p es adyacente s´olo a los primeros intervalos.

Entre los intervalos que contienen el punto tpelijo aquel cuyo end-point sea mayor que el resto. ´Este es el v´ertice d que seleccionamos para D. Ver ejemplo en la siguiente figura.

Notar que d domina N [p] y domina a todo v´ertice cuyo intervalo tiene s < td. Puede pasar que p = d.

2) Para elegir el siguiente v´ertice consideramos s´olo los intervalos que empiezan despu´es del punto td. Y repetimos el procedimiento de 1.

3) El conjunto P es un packing porque al elegir un p2 nuevo lo hacemos de manera que el intervalo Ip2 tenga su start-point despu´es de todos los end-point de la vecindad de p1. Esto implica que Ip2 es disjunto con los intervalos de todos los v´ertices en P y sus vecinos, hasta ese momento.

4) El conjunto D es dominante porque domina a todos los intervalos que empiezan entre el td0 anterior y el td. Adem´as el ´ultimo v´ertice que elegimos es el que tiene end-point mayor a todos los end-points de intervalos del modelo.

5) return P y D

En la siguiente figura mostramos c´omo funciona el algoritmo en un ejemplo concreto.

V´ertices que selecciona el Algoritmo 2 para el modelo I.

Dado que P es un packing particular y D es un conjunto dominante particular, |P | ≤ ρ(G) ≤ γ(G) ≤ |D| .

Por construcci´on hay una correspondencia 1 a 1 entre los v´ertices de P y los de D, entonces |P | = |D|, y tenemos que ρ(G) = γ(G) para grafos de intervalo. Adem´as concluimos que los conjuntos P y D que construye el algoritmo son respectivamente un m´aximo packing y un γ-set de G y esta construcci´on puede hacerse en tiempo lineal. Por la Proposici´on 3.25 tenemos:

Proposici´on 3.27. La conjetura de Vizing es v´alida para grafos de intervalo.

Una alternativa para probar la conjetura de Vizing es el m´etodo constructivo propuesto por Hartnell y Rall en [16]. El planteo consiste en empezar con una clase C de grafos que

3.3. DOMINACI ´ON EN EL PRODUCTO CARTESIANO DE GRAFOS 53 verifican la conjetura y definir operaciones tales que, aplicadas a un grafo de C, mantienen la validez de la conjetura. Desde esta perspectiva el objetivo es probar que todo grafo puede obtenerse a partir de la clase C aplicando finitas operaciones.

En esta direcci´on analizamos en qu´e situaciones podemos prescindir de un v´ertice o una arista en cuanto a la validez de la conjetura de Vizing.

Proposici´on 3.28. [18] Sean G un grafo tal que la conjetura de Vizing es v´alida para G y v un v´ertice de G tal que γ(G − v) = γ(G) − 1. Entonces la conjetura de Vizing es v´alida para G − v.

Demostraci´on. Sean G0 _{= G − v y H un grafo cualquiera. Dado D un conjunto dominante} m´ınimo en G0H podemos armar un conjunto dominante de GH agregando a D un conjunto dominante m´ınimo de la copia Hv (es decir que agregamos a D los v´ertices (v, h) para h en un γ-set de H). Entonces γ(G0_{H) + γ(H) ≥ γ(GH) ≥ γ(G)γ(H) de donde} se obtiene

γ(G0H) ≥ γ(G)γ(H) − γ(H) = γ(G0)γ(H) .

Un subgrafo recubridor o spanning subgraph de G es un subgrafo G0 con el mismo conjunto de v´ertices que G. En otras palabras, G0 es el resultado de eliminar de G algunas aristas pero ning´un v´ertice.

Proposici´on 3.29. [16] Sean G un grafo que satisface la conjetura de Vizing y G0 _un subgrafo recubridor de G con γ(G0) = γ(G). Entonces la conjetura de Vizing es v´alida para G0.

Demostraci´on. Dado que G0 es un subgrafo recubridor de G, tenemos que G0H es un subgrafo recubridor de GH y por lo tanto γ(G0_{H) ≥ γ(GH) (un γ-set de G}0_{H es} en particular conjunto dominante de GH).

Y por hip´otesis, γ(GH) ≥ γ(G)γ(H) = γ(G0)γ(H).

Uno de los primeros avances importantes en cuanto a la Conjetura de Vizing fue el resultado de Barcalkin y German, publicado en 1979. Y permite probar la conjetura para varias clases de grafos. En consecuencia los grafos que satisfacen las hip´otesis del Teorema 3.31 son llamados BG-grafos.

Definici´on 3.30. Decimos que un grafo G es descomponible si existe una partici´on de sus v´ertices en γ(G) conjuntos: V (G) = Q1∪ Q2∪ ... ∪ Qγ(G) de manera que cada Qj induce un subgrafo completo en G.

Teorema 3.31 (Barcalkin y German). [4] Sea G0 _{un grafo tal que existe un grafo} descomponible G de manera que G0 es un subgrafo recubridor de G y γ(G0) = γ(G). Entonces la conjetura de Vizing es v´alida para G0.

Demostraci´on. Por la Proposici´on 3.29 alcanza con probar el caso G0= G, es decir, probar la conjetura de Vizing para un grafo descomponible. Partimos V (G) en los conjuntos Q1, Q2, ..., Qγ(G) que inducen, cada uno, un subgrafo completo en G.

Sean H un grafo cualquiera y D un conjunto dominante m´ınimo de GH. Considera- mos los conjuntos Di = D ∩ (Qi× V (H)) para i = 1, 2, ..., γ(G) y los subgrafos completos Kiv = Qi×{v}. para i = 1, 2, ..., γ(G) y v ∈ V (H). (Ver la Figura 6)

Usaremos algunos de estos subgrafos completos para probar el resultado. Notar que los siguientes conjuntos son disjuntos:

R = {Kiv/ ning´un v´ertice de Kiv est´a dominado por un v´ertice de Di} S = {Kiv/D ∩ Kiv6= ∅}

Figura 6: Partici´on de G y subgrafos Kiv en GH

Observamos que por la estructura del producto Cartesiano, cualquier v´ertice de Kiv∈ R est´a dominado por un v´ertice de D con la misma coordenada en H, es decir, un v´ertice de D ∩ Kjv con j 6= i.

Probaremos que |R ∪ S| ≥ γ(G)γ(H) y tambi´en |D| ≥ |R ∪ S|.

En primer lugar construimos γ(G) conjuntos dominantes de H. Fijado i, 1 ≤ i ≤ γ(G), llamamos Ri = {Kiv ∈ R, v ∈ V (H)}, Si = {Kiv ∈ S, v ∈ V (H)} y consideramos el conjunto D0 = {v ∈ V (H) tal que Kiv ∈ Ri∪ Si}. Afirmamos que este conjunto domina H. En efecto, para w ∈ V (H) tenemos que Kiw est´a dominado por D y

Kiw ∈ R/ i∪ Si ⇒ Kiw ∈ S y K/ iw ∈ R/

⇒ Kiw∩ D = ∅ y Kiw tiene al menos un v´ertice dominado por Di. Por la estructura del producto Cartesiano, ese v´ertice de Kiw est´a dominado por un ele- mento de D ∩ Kiz con z 6= w. Resulta que Kiz ∈ Si ⊆ Ri∪ Si , z ∈ D0 y z domina w en H. Luego D0 es un conjunto dominante de H y |Ri∪ Si| ≥ γ(H) y sumando sobre todos los i,

3.3. DOMINACI ´ON EN EL PRODUCTO CARTESIANO DE GRAFOS 55 Por otro lado, si fijamos la segunda coordenada v ∈ V (H) tenemos los conjuntos: Dv = D ∩ Gv, Rv = {Riv ∈ R, 1 ≤ i ≤ γ(G)} y Sv = {Siv ∈ S, 1 ≤ i ≤ γ(G)}. Vamos a armar un conjunto dominante de cada copia de G. Cada subgrafo Kiv en Rv∪ Sv est´a dominado por un v´ertice en Dv. Agregamos a Dv un v´ertice de Kiv por cada Kivque no est´a en Rv∪ Sv. Notar que agregamos exactamente γ(G) − |Rv∪ Sv| v´ertices. Entonces, |Dv| + (γ(G) − |Rv∪ Sv|) ≥ γ(G) de donde se deduce que |Dv| ≥ |Rv∪ Sv|. Y, sumando sobre todos los v en V (H),

|D| ≥ |R ∪ S| ≥ γ(G)γ(H) .

El siguiente corolario muestra la utilidad del Teorema de Barcalkin y German. Corolario 3.32. [4] La conjetura de Vizing es v´alida para los grafos con γ(G) = 2. Demostraci´on. Sea G0 un grafo con γ(G0) = 2. Armamos otro grafo G agregando a G0 el m´aximo n´umero de aristas manteniendo γ(G) = 2. (Resulta que G0 _{es un subgrafo} recubridor de G.) Por el Teorema de Barcalkin y German, alcanza con probar que el grafo G es descomponible.

Sea Q1 ⊆ V (G) un conjunto completo maximal3. Tenemos que Q1 (V (G) pues de lo contrario γ(G) = 1. Veamos que Q2 = V (H) \ Q1 induce un subgrafo completo en G. En efecto, sean u y v dos v´ertices no adyacentes y probemos que no pueden estar ambos en Q2. Por construcci´on de G, γ(G) = 2 y γ(G ∪ (u, v)) = 1. Entonces u o v dominan todos los v´ertices de G ∪ (u, v). Y si ambos est´an en Q2 tendr´ıamos que uno de ellos, junto con Q1 induce un subgrafo completo, contradiciendo la maximalidad de Q1. Luego, todo par de v´ertices en Q2 son adyacentes y Q1∪ Q2 es una descomposici´on de G.

Tambi´en se cumple la siguiente propiedad:

Proposici´on 3.33. [4] Si ρ(G) = γ(G) entonces G es un BG-grafo.

Posteriormente Sun [39] prob´o que la conjetura de Vizing es v´alida para un grafo con γ(G) = 3. En su trabajo usa la Proposici´on 3.29 para quedarse con el caso en que G es cr´ıtico en aristas4_{. Considera un conjunto dominante de G, {u, p, q}, y uno de GH} y consigue armar 3 conjuntos dominantes de H desarrollando por separado los casos en que p y q son adyacentes o no. Sin embargo, al ser una demostraci´on muy t´ecnica no la pondremos en este trabajo.