La ecuación de Clairaut

La ecuación Clairaut es una condición diferencial de la estructura, y = xy '+ g (y').

En este sentido, una instancia específica de la condición de Lagrange, seguida de arreglos, son un grupo de líneas junto con su envolvente, que es una solución.

Ejercicios

a. 3xy`-2y=x2y-2. b. y=xy`+(y`)2. c. y=2xy`+sen y`. d. xy`+y=y2log x. e. y2/3+(y`)2/3=1. f. y=2xy`+ log y`. g. y=xy`+ a

2y` siendo a una constante. h. 2y` sen x+y cosx=y3 (x cos x-sen x). i. 2y=xy`+y` log y`.

j. y=(y`)2e y`. k. x= log y`+sen y`. l. y4-(y)4-y(y`)2=0.

2. Integra la ecuación diferencial xy`=y+ 2x

x4-1(y2-x2)

• Sabiendo que concede arreglos específicos de la estructura y = hacha + b.

• Encuentre la curva para la cual la sección de la digresión entre las hachas de guerra facilitadores tiene una longitud constante a.

• Resuelva las condiciones diferenciales de primer pedido y de grado 2 adjuntas relativas a. y (y`)2+(x-y)y`-x = 0.

b. (y`)2-(2x+y)y`+x2+xy = 0. c. x(y`)2+2xy`-y = 0.

d. 4 (y`)2-9x = 0. e. (y`)2-2yy`= y2(ex-1). f. x2(y`)2+3xyy`+2y2 = 0.

Aplicación didáctica

Sesión de aprendizaje

I. DATOS INFORMATIVOS:

1.1. Institución Educativa : Universidad Nacional Enrique Guzmán y Valle 1.2. Facultad : Ciencias

1.3. Área curricular : Matemática

1.4. Tema : Ecuaciones diferenciales de primer orden 1.5. N° de unidad didáctica : 1

1.6. Fecha : 2019 – 12-30

1.7. Duración : 45 minutos

1.8. Bachiller : Juan Manuel Atachahua Sánchez II. APRENDIZAJES ESPERADOS

COMPETENCIA CAPACIDADES INDICADORES

Gestión de datos e incertidumbre

Comunica y representa ideas matemáticas. Elabora y usa estrategias. Razona y argumenta generando ideas matemáticas.

Expresa los conceptos y señala las aplicaciones reales que tiene las ecuaciones diferenciales. Escribe la ecuación de la gráfica obtenida en la solución del EDO y se utiliza para interpretar resultados. Justifica la familia de curvas obtenidas a través de diferentes métodos.

III. SECUENCIA DIDÁCTICA

MOMENTOS ESTRATEGIAS/ACTIVIDADES RECURSOS TIEMPO

Inicio El bachiller saluda a los miembros del jurado y al público presente en la sala de grado y agradece la oportunidad brindada, escribe el título del tema y hace una introducción del tema recordándoles los objetivos y la importancia que tiene este tema. Pizarra, plumones, fotocopia de la actividad 5 minutos

Desarrollo Señala los conceptos de ED, orden y grado, tipos de ecuaciones, etc., mostrando ejemplos que permiten comprender la información.

Muestra algunos métodos escritos y hace una observación de cuando es

recomendable.

Desarrolla ED de separación de variables, ED homogéneas, ED exactas, ED lineales, ED de Bernoulli y ED de Ricatti. Pizarra, plumones Pizarra, proyector Pizarra 5 minutos 5 minutos 25 minutos

Cierre Realiza la comparación entre todos los métodos y concluye con su importancia. Finalmente, el bachiller agradece al jurado.

Material impreso

Síntesis

Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático, ya que a través de su aprendizaje podemos modelar e interpretar situaciones reales de nuestra vida cotidiana. Una ecuación diferencial es una relación permitida dentro de un intervalo, pero su resolución requiere de conocimientos previos de las derivadas e integrales, y su

aplicación es llevada a diferentes áreas como la economía, la física, la biología, etc. Históricamente, a Newton se le concede la autoría de haber desarrollado las ecuaciones diferenciales, pero eso fue debido a la necesidad que tenía para describir los desarrollos de los cuerpos sometidos a la gravedad. Su metodología es como un lenguaje adecuado para establecer leyes físicas y ensamblar modelos, abarca todas las ciencias. Esa es la razón por la que las ecuaciones diferenciales no solo consisten en un conjunto de artificios que te permiten hacer unos cálculos sino, por lo contrario, es una herramienta que permite la descripción de ciertos hechos cotidianos. Las ecuaciones diferenciales

ordinarias se han dado fundamentalmente en tres situaciones: logarítmicas, numéricas, geométricas, cada una con varias estrategias y diversas representaciones para el arreglo, a saber: una receta o un arreglo interminable, un conjunto (inferido por un procedimiento iterativo) y un grupo de curvas.

De estos tres, la monografía se concentró más en matemática, y con aplicaciones, necesitaba mostrar progresivamente la traducción geométrica. Hay que tener en cuenta de que actualmente la metodología matemática se ha trasladado constantemente a los libros de cursos, mientras que la numérica es más difícil de encontrar y parece ajustada en los mensajes de examen numérico, debido a la geometría, una carga de tener más de 100 años, es decir, hace mucho tiempo. Está básicamente ligado al tratamiento de las isoclinas y al campo de las inclinaciones, de todos modos, la disposición de marcos rectos con

coeficientes estables en el plano, es decir, marcos del tipo x '= hatchet + by, y' = cx + dy (anuncio ≠ bc), en el que el tratamiento de sus raíces de marca registrada es absolutamente logarítmico. Se pasa por alto que en esta naturaleza aritmética todos los datos son

importantes para decidir el diseño.

Finalmente, es necesario resaltar que, de todos los métodos estudiados en la

monografía, he obviado algunos pasos que considero son muy básicos y que el lector ya de antemano lo puede hacer por separado, de modo que pueda continuar con el estudio de esta monografía.

Apreciación crítica y sugerencias

Entender los conceptos de las ED, así como manipular muy bien los métodos, sería el reflejo de un estudiante que posee un dominio del cálculo integral y de las derivadas, conduciéndose así a una solidez del manejo del análisis matemático.

Como he mencionado, en la actualidad los maestros han enfocado más el aspecto algebraico, que es lo que estamos heredando. Estamos dejando de lado la interpretación física, la construcción de la gráfica y, lo más importante, lo que hoy pretende el Ministerio de Educación (que es muy bueno, porque pretende el aprendizaje significativo) es

contextualizar.

Como futuro licenciado en Educación matemática, sugiero que la enseñanza de las ecuaciones diferenciales cumpla algunos criterios como:

Contextualizar el problema, demostrar y aplicar los métodos, de modo que el estudiante se quite el chip de que solo es una aplicación de fórmula; la idea central es manipular la información y para ello hay que entenderlo primero.

Referencias

Acero, I. (2007). Ecuaciones diferenciales teoría y problemas. España: Tebar. Álvarez, M. (2010). Curso de ecuaciones diferenciales ordinarias. España: Unizar. Carmona, I. (1992). Ecuaciones diferenciales. México: Pearson.

García, O. (2020). Ecuaciones diferenciales. Colombia: Universidad EAFIT. Huerta, A. (2009). Métodos numéricos introducción, aplicaciones y programación.

España: UPC.

Ivorra, C. (2011). Matemáticas económico-empresariales, 2da. ed. España: Universidad de Valencia.

Kurmyshev, E. (2003). Fundamentos de métodos matemáticos para Física e Ingeniería. México: Limusa.

López, J. (2007). Métodos Analíticos para ecuaciones diferenciales ordinarias. México: Papime.

Martínez, F. (1998). Matemáticas II: Resúmenes teóricos y ejercicios. España: Creasur. Quintana, P. (2008). Métodos de solución de ecuaciones diferenciales y aplicaciones.

México: Reverte.

Romero, M. (2015). Álgebra y programación lineal. Colombia: Externado de Colombia. Snider, D. (2005). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera.

México: Pearson.

Vásquez, R. (2005). Tópicos de ecuaciones diferenciales epítome para un curso básico. Colombia: Sello editorial.

Villalobos, E. (2008). Métodos de solución de ecuaciones diferenciales y aplicaciones. España: Reverte S.A.

Zamudio, J. (2007). Métodos analíticos para ecuaciones diferenciales ordinarias. México: UNAM.

Apéndices

Apéndice A: Teoremas de existencia y unidad Apéndice B: Existencia con explicación detallada

Apéndice C: Condiciones o criterios para el teorema de existencia Apéndice D: Importancia del teorema de existencia

Apéndice A: Teoremas de existencia y unidad

Teorema (Picard). Sea f: [a, b] × [c, d] R y proceda (x0, y0) ∈ [a, b] × [c, d]. Suponga que f es lipschitzian con respecto de la segunda variable, es decir, existe L> 0 con el objetivo final de que | f (x, y1) - f (x, y2) | ≤ L | y1 - y2 |

Para cualquier (x, y1), (x, y2) ∈ [a, b] × [c, d]. En ese punto hay un tramo I ⊂ [a, b] enfocado en x0 y una capacidad única y: I R con subordinado constante que cumple con el equilibrio, y (x) = f (x, y (x)).

Para todo x ∈ I y la condición básica y (x0) = y0.

Especulación. Contemplando la investigación del valor fundamental yn) + a1 (x) yn - 1) + · + a 1 (x) y + a (x) y = g (x)

y (x0) = y0 y0 (x0) = y01

yn - 1) (x0) = y0n - 1

Con x ∈ [a, b], los límites ai (x), 1 ≤ I ≤ n y g (x) son perpetuos. Así que este número tiene un solo arreglo.

Hipótesis. Sea A (x) una capacidad de estructura cuadrada de solicitud n, g (x) un trabajo vectorial, ambos incesantes en un tramo [a, b] y

y = A (x) y + g (x).

Un plan de condiciones diferenciales rectas de primera solicitud, en la remota posibilidad de que la condición subyacente sea forzada.

y (x0) = (y1 (x0), y2 (x0), ..., yn (x0)) = (y01, y02, ..., y0n)

En ese punto hay un trabajo vectorial solitario que es una respuesta para el framework y para comprobar dicha condición de partida.

Apéndice B: Existencia con explicación detallada

Figura B1. Existencia de teorema. Fuente: Burgos, 2009.

Las ecuaciones de teoremas

Apéndice C: Condiciones o criterios para el teorema de existencia

Figura C1. Teorema de existencia con explicación detallada. Fuente: Martínez, 1991. Teorema de existencia y unicidad: demostración, ejemplos.

Apéndice D: Importancia del teorema de existencia

Esta es vista como una de las hipótesis más significativas con respecto a la hipótesis de ordinarios separados. Además, cuando nos enfrentamos a un tema inconfundible de cualidades de partida, la mejor creación como la de Cauchy, esta hipótesis es el resultado ideal para desentrañarlas, dependiendo de lo que ocurra con las condiciones que la acompañan: disolubilidad y vulnerabilidad.

En el momento en que hablamos de un tema de Cauchy, aludimos a una dificultad que se ha ido configurando por dos componentes significativos: uno de ellos es el mandato separado y el otro es una condición peculiar. Elaborado por esto, es una respuesta

potencial para una condición de este tipo. Esto es concebible para la situación en que uno de los factores tiene un valor particular, lo que permite reconocer las condiciones marco.

Se acredita una de las principales verificaciones de la hipótesis de presencia y unidad

Aplicado a las ecuaciones diferenciales