1. ALGUNAS ANOTACIONES SOBRE LA NATURALEZA DEL ARTE 16
2.1 Arte y matemática en la antigüedad griega 56
2.1.4 La proporción aurea: Euclides y la posteridad 71
posteridad.
Para comprender en mayor medida el tema de la sección aurea es necesario recurrir a Euclides y su libro los Elementos de Euclides35.Este texto otorga formas
distintas de obtener la proporción aurea. Para ello, recurriremos a dos proposiciones importantes, la proposición 11 libro II y la proposición 30, libro VI.
La proposición 11 consiste en “dividir una recta en dos partes de modo que el rectángulo comprendido por la recta entera y por una de sus partes sea equivalente al cuadrado de la otra parte”. Para encontrar la proporción aurea con esta construcción, se parte del segmento dado que será la parte mayor, y a partir de éste segmento se hallara la parte menor, siendo estos dos la totalidad del segmento
1. Dada la recta AB, construir el cuadrado ABGD; hallar el punto medio E del lado AG.
2. Trazar el segmento EB; prolongar GA hasta Z; con E como centro trazamos el arco de circunferencia con radio EB, que se intercepte con la prolongación de GA, haciendo EZ= EB.
3. Constrúyase el cuadrado ZT sobre la recta AZ, prolónguese HT hasta corte el punto K en el segmento GD.
35 los Elementos de Euclides (Siglo III A.C) obra que recopila toda la matemática empírica de las
observaciones hechas por los babilonios y egipcios dotándolas de un valor teórico y especulativo. Los elementos de Euclides logra ofrecer la primera fuente documental importante en la que se encuentra la proporción aurea
Ilustración 10. Euclides con regla y compás.
B D T E G K Figura 6.
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Por tanto, la recta AB es cortada por el punto T, de tal modo queda que el rectángulo comprendido por AB y BT es equivalente al cuadrado AT; por lo tanto se cumple la proporción : , y el punto T divide el segmento AB en sección aurea.
La Proposición 30 consiste en “dividir una recta en media y extrema razón”:
1. Dada la recta AB, construir el cuadrado BG.
2. Aplicar a AG el paralelogramo GD igual al cuadrado GB y que excedala figura AD semejante a G. GB es un cuadrdi entonces AD tambien lo es.
3. como GB es igual AD, si se resta GE de ambos, el remanente ZB será equivalente al remanente AD, y por ser equiángulos,
sus lados serán inversamente proporcionales, y, por tanto, ZE es a ED como AE es EB, por ser AB mayor que EA también EA será mayor que EB y la recta AB ha quedado dividida por el punto E en media y extrema razón”.
Recurriremos a una forma más sencilla de cortar un segmento en media y extrema razón, que se basa en el procedimiento anterior realizado por Euclides
Z T A B G D K E Figura 7. F D E C A B Figura 8.
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1. Sea el segmento AB, se coloca BF, perpendicular a AB, un segmento BD= AB/2, se une AD. Con centro en D y radio DB trazamos la circunferencia que determina DE = DB. 2. Trazamos arco de circunferencia de centro A y radio AE, que corta AB en C, siendo C el
punto buscado. La longitud AB ha sido dividida en dos parte iguales de forma que la mayor es a la menor como la suma de las dos es a la mayor
3. El punto C divide al segmento AB en razón aurea
.
De este modo, obtenemos la proporción aurea = = Φ 2 ² 2 ² ² ² 2 2 2 2 ² , entonces ² ² 2 ² ² 2 , entonces ² 2 ² D F M A y B Figura 9.74
, entonces . Por lo tanto
En este momento queda demostrado por medio del anterior proceso aritmético que el procedimiento, através de regla y compás,realizado para demostrar que un segmento se encuentra en sección aurea es válido.
Por otro lado, se debe aclarar que existe una segunda forma de cortar un segmento en media y extrema razón. Este proceso que se obtiene es muy similar a la proporción 11, debido a que, en esta construcción no se parte de la totalidad del segmento como se hizo anteriormente; sino que se parte del segmento dado el cual es el lado mayor, a partir de este lado mayor se halla el lado menor. Veamos a continuación cómo se logra esta construcción:
1. Dado el segmento AC, construir el cuadrado ACDE; hallar el punto medio M del lado AC.
2. Trazamos el segmento MD, con M como centro trazamos el arco de circunferencia con MD que se intercepte con la prolongación de AC, con lo que se obtiene el punto B.
3. C es el punto que secciona el segmento AB en razón aurea, es decir: 4. De este modo, obtenemos la siguiente proporción aurea : = Φ
D E M C B A Figura 10.
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Ahora probemos que el segmento AB se encuentra dividido por C en sección áurea, por lo que se debe cumplir la siguiente proporción; que equivaldría a demostrar
que .
El segmento AC será denotado como x; de igual forma todos los lados del cuadrado AD. El segmento CB formado al prolongar la recta AC se denotara como y. Por otro lado, el radio MD de la circunferencia DB se denotara como . Esto lo podemos percibir más claro desde el segmento MB que es otro radio de la circunferencia: como MC corresponde a la mitad del segmento AC que equivale a X, entonces MC= , y se sabe CB es denotado como Y. De este modo el radio MB será denotado como .
En concordancia con el procedimiento anterior, ya poseemos los diferentes valores del triángulo rectángulo MCD que nos permiten determinar si el segmento AB se encuentra en sección áurea. Como en el ejercicio anterior esto se logra observar a través de lo propuesto, según Pitágoras. Dado el conjunto de números (x, y, z), en los que los números x, y correspondientes a los catetos del triángulo MCD y el número z, correspondiente a la hipotenusa, se debe cumplir que z²= x²+y², como se muestra a continuación:
2 2 2 2 2 4 ² 2 y M D E B C A Figura 11.
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² entonces .Por tanto
.
De esta segunda construcción se logra construir un rectángulo áureo. Trazamos una perpendicular por B que corte en un punto F que resulta de la prolongación del lado ED, teniendo como resultado el lado EF que será el lado mayor del rectángulo. De este modo, se obtendrá el rectángulo áureo ABFE, es decir, que los lados de este rectángulo se encuentran en una proporción igual a la razón áurea.
Esto se logra notar más claramente de la siguiente manera: si el cuadrado vale 2 unidades, el lado mayor valdrá 1+√5 , por ende se obtendrá que la razón entre los dos lados vale √ como lo muestra la siguiente figura:
Figura 12. D E F C M A B Figura 13. 1 √5
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Después de obtener la construcción del rectángulo áureo EABF, podemos inscribir infinidad de rectángulos áureos al interior de éste. El proceso de inscribir rectángulos áureos en rectángulos áureos consiste en quitar a cada rectángulo áureo un cuadrado. La superficie que queda luego de hacer esto es un nuevo rectángulo áureo. Este es el proceso que podemos realizar las veces que se quiera. Partiendo del rectángulo AEFB, se traza el cuadrado CIHB, como muestra la figura 14.
De este modo, partiremos de la comprobación de que el segundo rectángulo CDBF obtenido es un rectángulo áureo. Si tomamos en consideración la figura 15 observemos que se obtienen las siguientes igualdades:
14. A B C E D F I H Figura 14. E D F I H A C B Figura 15.
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,
puesto que el rectángulo AEFB es áureo.
4 22 4
La anterior proporción muestra que el rectángulo CDFB, es un rectángulo áureo.
Este procedimiento puede repetirse en un proceso finito en el interior36e infinito en el exterior, debido a que se puede quitar un cuadrado en el interior del rectángulo áureo con las dimensiones del lado menor del mismo, y en el exterior porque se logra aumentar un cuadrado con las dimensiones del lado mayor del rectángulo áureo. Este proceso de inscribir rectángulos áureos en un rectángulo áureo trae consigo una de los más grandes aportes en la historia de las matemáticas y el arte, la construcción de la Espiral de Durero, que es una aproximación de la espiral logarítmica, tema que se explorará más adelante en el renacimiento.
36 Quitar de un rectángulo áureo un cuadrado con las medidas comprendida por su lado menor, se logra
realizar unas cuatro veces consecutivas. En el lado del menor rectángulo formado, siempre probaremos que los rectángulos inscritos serán rectángulos áureos, además los lados respectivos de cada rectángulo se encuentra en proporción aurea.
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Igualmente, el rectángulo áureo fue utilizado con ayuda de distorsiones ópticas para dotar de una completa armonía a las construcciones arquitectónicas de la época griega y posteriormente romana. Dentro de las construcciones destacamos el Partenón, como se observa en la ilustración 11.