El lenguaje de los números

Observo que cuando mencionamos cualquier número grande, como un millar, por lo general la mente no tiene una idea adecuada de él, sino sólo un poder de producir tal idea por su idea adecuada de los decimales, dentro de los cuales está comprendido el número.

David Hume, Tratado de la naturaleza humana

¿Qué sería de nosotros si nuestra representación mental de los números fuera un acumulador aproximativo similar al que poseen las ratas? Tendríamos nociones bastante precisas de los números 1, 2 y 3. Pero, a partir de este punto, la recta numérica se desvanecería en una niebla espesa. No podríamos pensar en el número 9 sin confundirlo con sus vecinos 8 y 10. Incluso si

comprendiéramos que la circunferencia de un círculo dividido por su diámetro es una constante, sólo conoceríamos el número π como “aproximadamente 3”. Esta confusión impediría cualquier intento de desarrollar un sistema

monetario, buena parte del conocimiento científico y, de hecho, la sociedad humana tal como la conocemos.

¿Cómo hizo el Homo sapiens, caso único en el mundo animal, para superar el estadío de la aproximación en los números? La habilidad humana única para diseñar sistemas de numeración simbólica fue probablemente el factor

determinante. Algunas estructuras específicas del cerebro humano que todavía están lejos de ser comprendidas en su totalidad nos permiten utilizar cualquier símbolo arbitrario, sea la palabra hablada, un gesto, o una forma en un papel, como vehículo de una representación mental. Los símbolos lingüísticos tienen la particularidad de dividir el mundo en categorías discretas. De este modo, nos permiten hacer referencia a números precisos y separarlos

categóricamente de sus vecinos más cercanos. Sin los símbolos, no podríamos diferenciar 8 de 9. Pero con la ayuda de nuestras notaciones numéricas

elaboradas, podemos expresar pensamientos tan precisos como “La velocidad de la luz es de 299 792,458 kilómetros por segundo”. En este capítulo

pretendo describir esta transición de una representación aproximada a una representación simbólica de los números siguiendo los hilos tanto de la historia cultural de la humanidad como de la mente de cualquier niño que adquiere la lengua de los números.

Una breve historia de los números

Cuando nuestra especie comenzó a hablar, tal vez sólo haya sido capaz de nombrar los números 1, 2 y 3. Las cantidades correspondientes son cualidades perceptuales que nuestro cerebro computa sin esfuerzo ni necesidad de contar. Entonces, darles un nombre probablemente no haya sido más difícil que

nombrar cualquier otro atributo sensorial, como rojo, grande o caliente. El lingüista James Hurford (1987) ha reunido muchos indicios sobre la antigüedad de las primeras tres palabras para nombrar números. Sus

particularidades lingüísticas, además, las distinguen de todas las que nombran los números sucesivos. En muchas lenguas, “uno”, “dos” y “tres” son los únicos numerales que pueden flexionarse en género y número. Por ejemplo, en el alemán antiguo, “dos” puede ser zwei, zwo o zween dependiendo del género gramatical del objeto que se está contando. Los primeros tres ordinales

también tienen una forma particular. En inglés, por ejemplo, la mayoría de los ordinales terminan con “-th” (fourth, fifth, etc.), pero no ocurre lo mismo con las palabras first, second y third.

Los números 1, 2 y 3 también son los únicos que se pueden expresar con flexiones gramaticales en lugar de palabras. En muchas lenguas, las palabras no sólo llevan la marca de singular o plural. También se utilizan terminaciones distintas para distinguir dos ítems (dual) frente a más de dos ítems (plural) y algunas lenguas hasta tienen flexiones especiales para expresar tres ítems (trial). En el griego antiguo, por ejemplo, ὁ ἵππος significaba “el caballo”; τὼ ἵππω, “los dos caballos”, y οἱ ἵπποι, un número no especificado de caballos (pero igual o superior a 3). Ninguna lengua desarrolló nunca dispositivos gramaticales especiales para los números superiores a 3.

Por último, las particularidades de los tres primeros numerales también dan testimonio de su antigüedad. Las palabras para “2” y “segundo” con frecuencia tienen el significado de “otro”, como en el verbo secundar, o el adjetivo

secundario. En algún momento de la historia, “tres” puede haber simbolizado el número más grande conocido, llegando a ser sinónimo de “mucho” y

“superior a los demás”. Entonces, tal vez los únicos números conocidos para nuestros ancestros remotos fueran “1”, “1 y otro” (2) y “mucho” (3 o más, al infinito).

Hoy nos parece difícil imaginar a nuestros ancestros confinados a los números menores que 3. Sin embargo, no es tan extraordinario. Aun en la actualidad, los warlpiris, tribu de Australia, indican las cantidades solamente con las palabras “uno”, “dos”, “algunos” y “muchos” (Ifrah, 1998).[17]

Tengamos presente que en otros campos también se da este tipo de

limitaciones en los sistemas de categorización; en los colores, por ejemplo: algunas tribus africanas sólo distinguen entre negro, blanco y rojo. De más está decir que estos límites son sólo léxicos. Cuando los warlpiris se ponen en contacto con los occidentales, aprenden con facilidad los números en inglés. Entonces, su habilidad para conceptualizar los números no está limitada por el léxico restringido de su lengua ni (obviamente) por sus genes. Si bien los experimentos al respecto son escasos, parece probable que posean conceptos cuantitativos de los números que van más allá de tres, aunque no verbales y, en tal sentido, seguramente aproximativos.

¿Cómo fue que las lenguas humanas superaron el límite de 3? La transición hacia sistemas de numeración más avanzados parece haber involucrado el conteo de partes del cuerpo.[18] Todos los niños descubren de forma

espontánea que sus dedos se pueden poner en correspondencia uno a uno con cualquier conjunto de ítems. Bastará levantar un dedo para el primer ítem, dos para el segundo, y así sucesivamente. Con este mecanismo, el gesto de

levantar tres dedos se vuelve un símbolo para representar la cantidad de tres y tiene el mismo significado que la palabra “tres”. Una ventaja obvia es que los símbolos requeridos siempre están “a mano”: ¡en este sistema de numeración los dígitos son literalmente sus dedos!

Por eso, a lo largo de la historia los dedos y otras partes del cuerpo han funcionado como base de un lenguaje corporal de los números, que todavía está en uso en algunas comunidades aisladas. Muchos pueblos que no cuentan con palabras habladas para los números por encima de 3, poseen un rico vocabulario de gestos numéricos que desempeñan el mismo papel. Por ejemplo, en el siglo XIX los nativos de las islas del estrecho de Torres, en Oceanía, denotaban los números apuntando a diferentes partes del cuerpo en un orden fijo (figura 4.1): desde el meñique hasta el pulgar de la mano derecha

(números 1 a 5), luego avanzan por el brazo derecho hacia el izquierdo (6 a 12), hasta los dedos de la mano izquierda (13 a 17), los dedos del pie

izquierdo (18 a 22), las piernas izquierda y derecha (23 a 28), y finalmente los dedos del pie derecho (29 a 33). Hace algunas décadas, en una escuela de Nueva Guinea, los maestros se quedaban perplejos al ver que durante sus clases de matemática los alumnos aborígenes se retorcían como si las cuentas les provocaran picazón. En realidad, al señalarse rápidamente las partes del cuerpo, los niños estaban traduciendo a su lenguaje corporal los números y cálculos que se les enseñaban en inglés.

En los sistemas de numeración verbal más sofisticados, ya no es necesario señalar: nombrar una parte del cuerpo es suficiente para evocar el numeral correspondiente. Entonces, en varias otras sociedades de Nueva Guinea, la palabra “seis” literalmente significa “muñeca”, mientras que “nueve” es “pecho izquierdo”. Del mismo modo, en innumerables lenguas a lo largo del mundo, desde África Central hasta Paraguay, la etimología de la palabra “cinco” evoca la palabra “mano”.

Un tercer paso salva la distancia entre estas lenguas basadas en el cuerpo y nuestras “incorpóreas” palabras numerales. Denotar los números señalando el cuerpo tiene una limitación seria: nuestros dedos forman un conjunto finito y, de hecho, bastante pequeño. Incluso si contamos los dedos del pie y otras partes salientes de nuestro cuerpo, el método es inútil para los números que superan el 30. Es muy poco práctico aprender un nombre arbitrario para cada número. La solución es crear una sintaxis que permita que los numerales más grandes se expresen mediante la combinación de varios más pequeños.

Es probable que la sintaxis de los números haya emergido de forma espontánea como una extensión de la numeración basada en el cuerpo. Por ejemplo, en algunas comunidades originarias del Gran Chaco paraguayo, el número 6, en lugar de recibir un nombre arbitrario como “muñeca”, se expresa como “uno de la otra mano”. Dado que ya la palabra “mano” significa 5, por la mera naturaleza de su lenguaje corporal estas personas se ven llevadas a expresar 6 como “5 y 1”. Del mismo modo, el número 7 es “5 y 2”, y así sucesivamente hasta llegar al 10, que simplemente se expresa como “dos manos” (dos veces 5). Detrás de este ejemplo elemental acechan los

principios básicos de organización de las notaciones numéricas modernas: la selección de un número de base (aquí, el 5) y la expresión de números más grandes a través de una combinación de sumas y productos. Una vez

grandes. El número 11, por ejemplo, se puede expresar como “dos manos y un dedo” (dos veces 5, y 1), mientras que 22 será “cuatro manos y dos dedos”.

Figura 4.1. Los nativos del estrecho de Torres denotaban los números señalando hacia una parte precisa

de su cuerpo (adaptado de Ifrah, 1998).

La mayoría de las lenguas han adoptado un número de base, como el 10 o el 20, cuyo nombre suele ser una contracción de unidades más pequeñas. En la

lengua centroafricana ali, por ejemplo, la palabra mbuna, que significa 10, es una contracción de moro buna, literalmente “dos manos”. Una vez que la nueva forma se cristaliza, puede participar en construcciones más complejas. Entonces, la palabra para 21 se podría expresar como “dos veces 10 y 1”. Un proceso similar da cuenta de la construcción irregular de algunos numerales como 11, 12, 13 o 50 en el inglés actual. En épocas previas fue claro el carácter compuesto de estas palabras: “1 (y) 10”, “2 (y) 10”, “3 (y) 10”, “5 veces 10”, antes de que evolucionaran en una contracción.

En lo que refiere a las numeraciones con base 20, probablemente reflejen una tradición antigua de contar con los dedos de las manos y de los pies en vez de hacerlo sólo con las manos. Esto explica por qué a menudo la misma

palabra denota el número 20 y también “un hombre”, como en algunos

dialectos mayas o en el esquimal de Groenlandia. Un número como 93 puede expresarse, entonces, con una oración breve como “luego del cuarto hombre, tres del primer pie”; una sintaxis rebuscada, sí, pero no más que la expresión francesa moderna quatre-vingt-treize para expresar esa misma cifra

(4 × 20 + 13). Utilizando ingeniosas soluciones como estas, los humanos llegaron a aprender a expresar cualquier número con una precisión perfecta.

Un registro permanente de los números

Dar un nombre a los números puede ser útil, pero muchas veces llevar un registro durable de ellos se vuelve de vital importancia. Probablemente, razones científicas y económicas empujaron a los humanos a desarrollar rápidamente sistemas de escritura que les permitieran llevar un registro permanente de eventos importantes, fechas, cantidades o intercambios: en síntesis, cualquier cosa que se pudiera denotar con un número. Es muy posible, por lo tanto, que la invención de las notaciones numéricas escritas se haya desplegado en paralelo con el desarrollo de los sistemas verbales de numeración.

Para comprender bien los orígenes de los sistemas de escritura de números, tenemos que viajar muy lejos en el tiempo. Varios huesos que proceden del período aurignaciano del paleolítico superior (entre 35 000 y 20 000 a.C.) reflejan el método más antiguo de escritura de números: la representación de

un conjunto con idéntica cantidad de marcas (Marshack, 1991). Estos huesos tienen grabadas una serie de muescas paralelas, y a veces están agrupados en pequeños bloques. Esta puede haber sido la forma en que los primeros

humanos llevaban un registro de lo que cazaban tallando una marca por cada animal que capturaban. La decodificación paciente de la estructura periódica de esos trazos en una placa de hueso algo más reciente (10 000 a.C.) sugiere que hasta puede haberse usado como una forma elemental de calendario, que llevaba registro de la cantidad de días entre una fase lunar y la siguiente (figura 4.2).

Figura 4.2. Esta pequeña placa de hueso fue descubierta en 1969 en la Gruta de Taï, en el sur de Francia.

Data del paleolítico superior (ca. 10 000 a.C.) y presenta incisiones alineadas regularmente. Como algunas de las marcas están agrupadas en subconjuntos de más o menos veintinueve, se piensa que la placa

registraba el número de días que pasaban entre dos lunaciones (reproducido de Marshack, 1991; © Cambridge University Press).

El principio de correspondencia uno a uno se ha reinventado una y otra vez, en todo el mundo, como uno de los registros numerales más simples y básicos. Los sumerios llenaban esferas de arcilla con la misma cantidad de piedras que los objetos que contaban; los incas registraban los números haciendo nudos en cordones de algodón o lana, los quipus, que les servían como archivos; y los romanos utilizaban barras verticales para formar sus primeros tres dígitos. Hasta hace poco, algunos panaderos todavía hacían marcas para llevar un registro de las deudas de sus clientes. La palabra “cálculo” en sí misma proviene del término latino calculus, esto es, “guijarro”, y nos remonta a la

época en que los números se manipulaban al mover las piedras de un ábaco antes que recurrir a símbolos arbitrarios.

A pesar de su engañosa simplicidad, el principio de correspondencia uno a uno es un invento notable. Aporta una representación duradera, precisa y abstracta de los números. Una serie de muescas puede funcionar como un símbolo numérico abstracto y hacer referencia a cualquier conjunto de ítems, ya sea ganado, personas, deudas o lunas llenas. También permite a las

personas superar sus limitaciones de percepción. Los humanos, como las palomas, no pueden distinguir cuarenta y nueve objetos de cincuenta. Sin embargo, un palito marcado con cuarenta y nueve incisiones deja un registro permanente de este número exacto. Para verificar si una cuenta es correcta, uno simplemente tiene que repasar uno a uno los objetos y avanzar una marca por cada objeto. La correspondencia uno a uno, entonces, abre el acceso a una representación precisa de los números que son demasiado grandes para ser recordados con precisión en la recta numérica mental.

Obviamente, la correspondencia uno a uno también tiene sus limitaciones. La representación de los números mediante tallas es bastante fastidiosa de

escribir o leer. Como vimos antes, el sistema visual humano no puede aprehender de un golpe de vista un conjunto de más de tres ítems. Así, ¡una serie indiferenciada de treinta y siete marcas es tan difícil de percibir como el conjunto de treinta y siete ovejas al que representa! Muy pronto, entonces, los humanos se vieron obligados a romper la monotonía de las series numéricas agrupando las marcas e introduciendo nuevos símbolos, es decir, separando un número grande en algo más fácil de leer de una sola mirada. Hacemos

exactamente lo mismo cuando en una partida de naipes tachamos cada grupo para marcar cinco trazos, convirtiéndolos en un grupo visualmente

diferenciado. Gracias a esta técnica, el número 21 se ve como

innegablemente una notación más legible que

Sin embargo, este sistema sólo es útil sobre el papel. Cuando el soporte es una varilla, hacer muescas a lo ancho de la madera resulta tedioso. Hendir la

madera en un ángulo es mucho más fácil, y ese es exactamente el método que los pastores adoptaron hace miles de años: adoptaron símbolos hechos de barras oblicuas, como V o X, para denotar los números 5 y 10. Como podrán adivinar, este es el origen de los números romanos correspondientes. Sus formas geométricas fueron determinadas por la facilidad con que se las podía tallar en cualquier soporte. Otros medios de escritura han impuesto formas distintas. Por ejemplo, los sumerios, que escribían sobre láminas de arcilla blanda, adoptaban para sus numerales las formas más simples que se podían trazar con una varilla: marcas circulares o cilíndricas, así como los famosos caracteres con forma de clavo o “cuneiformes”.

Al reunir varios de estos símbolos, se pueden formar otros números. En la notación romana, 7 se escribe como 5 + 1 + 1 (VII). Este principio aditivo, de acuerdo con el cual el valor de un número es igual a la suma de los dígitos que lo componen, está en la base de muchas notaciones numéricas, incluidas las de los egipcios, los sumerios y los aztecas. La notación aditiva ahorra espacio y tiempo, porque un número como 38, que requiere treinta y ocho símbolos idénticos en cualquier notación basada en la correspondencia uno a uno, ahora pasa a movilizar siete dígitos romanos (38 = 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 o XXXVIII). De todos modos, la lectura y la escritura siguen siendo una ocupación tediosa. La concisión puede mejorarse un poco si se presentan símbolos especiales, como los números L (50) y D (500). Las repeticiones pueden evitarse totalmente si se quiere utilizar un símbolo distinto para cada uno de los números del 1 al 9, del 10 al 90, y del 100 al 900. Esta fue la solución que adoptaron los griegos y los hebreos, que utilizaban letras del alfabeto en lugar de números. Con este truco, un número tan complejo como 345 se puede escribir con sólo tres letras (TME en griego, o 300 + 40 + 5). Sin embargo, el usuario paga un costo grande: memorizar el valor numérico de los veintisiete símbolos requeridos para expresar todos los números entre el 1 y el 999 demanda un esfuerzo considerable.

Al repasar, parece obvio que la suma por sí sola no puede ser suficiente para expresar números muy grandes. La multiplicación se vuelve indispensable. Una de las primeras notaciones híbridas, que combina la suma con la

multiplicación, apareció en la Mesopotamia hace más de cuatro milenios. En lugar de expresar un número como 300 trazando tres veces el símbolo

correspondiente a 100, como en los números romanos (CCC), los habitantes de la ciudad de Mari simplemente escribían el símbolo de 3 y a continuación el símbolo de 100. Lamentablemente, seguían escribiendo las unidades y las

decenas mediante el principio de adición, por lo que su notación aún estaba lejos de ser concisa. El número 2342, por ejemplo, se escribía literalmente como “1 + 1 millares, 1 + 1 + 1 centenas, 10 + 10 + 10 + 10, 1 + 1”.

La fuerza del principio de multiplicación se refinó en sistemas de

numeración posteriores. En particular, hace cinco siglos, los chinos inventaron una notación perfectamente regular que se ha preservado hasta el día de hoy. Consiste en sólo trece símbolos arbitrarios para los dígitos que van del 1 al 9 y los números 10, 100, 1000 y 10 000. El 2342 se escribe simplemente como “2 1000 3 100 4 10 2”, una transcripción palabra por palabra de la expresión oral “dos mil trescientos cuarenta y dos” (cuarenta es “cuatro diez” en chino). En este aspecto, la escritura deviene un reflejo directo del sistema de

numeración oral.

El principio del valor posicional

La eficacia de las notaciones numéricas se expandió enormemente gracias a un último invento: el principio del valor posicional. Una notación numérica

obedece a ese principio cuando la cantidad representada por un dígito varía según el lugar que ocupa en el número. Entonces, los tres dígitos que forman el número 222, aunque son idénticos, hacen referencia a diferentes órdenes de magnitud: dos centenas, dos decenas y dos unidades. En una notación basada en el valor posicional, hay un número privilegiado al que se llama “base”. Actualmente utilizamos la base 10, pero no es la única posibilidad. Las

posiciones sucesivas en el número representan potencias sucesivas de la base, desde unidades (100 = 1), a decenas (101 = 10), centenas (102 = 100), y así sucesivamente. La cantidad expresada por determinado número se obtiene multiplicando cada dígito por la potencia correspondiente de la base, y luego