¿Por qué son tan difíciles las lower bounds? ¿Por qué más allá de los grandes esfuerzos de los investigadores en estas últimas décadas, no ha sido posible encontrar fuertes lower bounds para circuitos generales?
Como se comentó en la introducción del capítulo, así como la técnica de dia- gonalización tiene su "limitación" con la relativización, los métodos para encon- trar lower bounds tienen su "limitación" llamada Natural Proofs. Estas Natural Proofs vendrían a constatarnos que los esfuerzos por resolver los grandes proble- mas del campo solo utilizando lower bounds son una pérdida de tiempo. Y nos
sirven de consuelo en el sentido de que si no se los ha podido resolver no es por una incapacidad de los investigadores sino por una limitación de la técnica per se. Pero más importante, nos enseñan que para resolver los grandes problemas se deberá tener nuevas ideas y técnicas. En 1994 se definió una noción de "Natural mathematical proof" para lower bounds. Se mostró que los métodos para probar lower bounds caían dentro de esa noción, y que encontrar fuertes lower bounds a partir de tales técnicas violaría una forma más fuerte de la conjetura P 6= NP. Particularmente, violaría la conjetura de que las funciones one-way existen (se verán en el siguiente capítulo (Definición 69), son funciones computables po- linomialmente pero que su inversa no es computable sub exponencialmente), se hipotetiza que factorización de enteros, logaritmo discreto y la función RSA [31], son ejemplos de funciones one-way. Como la actual evidencia sugiere que sí existen, se concluye que tales argumentos no son capaces de llevarnos a buen puerto. Otra manera de verlo también es que si existe una función "difícil" va a ser difícil probar que lo es.
Como en la sección anterior, un estudio profundo del tópico que a conti- nuación se presenta queda fuera del alcance de este trabajo. Nos basaremos en las principales nociones del capítulo 23 de [8] y en [36]. Por si le interesa ver al lector, el trabajo original en el cual se presentan por primera vez estos conceptos es [30].
Con la siguiente "definición en alto nivel" alcanza para que nos llevemos una noción aceptable del concepto de Natural Proof. Un estudio más profundo pero también didáctico se realiza en la sección 3.9 de [36]. Dada una función booleana f : {0, 1}n−→ {0, 1} y c ≥ 1, toda prueba de que f no tiene circuitos de tamaño
nc que la computen puede entenderse como exhibir alguna propiedad P tal que f la satisface pero que todas las funciones booleanas que tienen circuitos de tamaño nc no. Es decir, tal prueba puede verse como exhibir un predicado P sobre funciones booleanas tal que P(f ) = 1 pero que para toda función
g : {0, 1}n −→ {0, 1} computable por algún circuito en SIZE(nc) se cumple
P(g) = 0.
Decimos que una propiedad P de funciones Booleanas de {0, 1}n a {0, 1} es
natural si satisface los siguientes requerimientos: 1. Extensión: "muchas" funciones cumplen P.
2. Constructividad: es "fácil" verificar si una función cumple P observando su tabla de verdad.
3. Utilidad: todo circuito booleano que compute alguna función que satisfaga la propiedad P tiene que ser de "gran tamaño".
Donde "muchas", "fácil" y "gran tamaño" dependen del modelo del circuito donde se esté probando la lower bound.
Es loable que el lector se pregunte por qué la noción de natural proof atrapa algunas de tales propiedades, para analizarlo en detalle ver subsección 23.2 de [8]. ¿Por qué Extensión? ¿Por qué una lower bound utilizada para una función particular, por ejemplo una que compute 3SAT debería utilizar una propiedad
compartida por muchas otras funciones? Se puede demostrar que toda prueba de que una función fo : {0, 1}n −→ {0, 1} no es computable por circuitos de
tamaño S implica que al menos la mitad de las funciones de {0, 1}n a {0, 1} no
es computable por circuitos de tamaño menor a S2 − 10.
¿Por qué Constructividad? Es una antiguo debate filosófico sobre las demos- traciones "no constructivas", donde la existencia de un objeto es demostrada sin dar una construcción explícita del mismo o incluso, sin dar un una manera de construirlo. En este contexto utilizamos una noción más fuerte de construc- tividad! En general, "fácil" va a significar determinista y polinomial! No solo pedimos que el objeto sea construible sino que también sea determinista y efi- cientemente construible! ¿Por qué? El núcleo de las lowers bounds se erige sobre técnicas del campo de la Combinatoria y en general, las técnicas en Combi- natoria suelen ser constructivas en nuestro sentido. Si bien existen técnicas no constructivas en Combinatoria, no se las ha podido utilizar para probar lower bounds.
¿Puede obtenerse lower bounds usando demostraciones que no son natural proofs? Sí. Un ejemplo es el siguiente teorema:
∀c ∈ N PromiseMA * ProSIZE(nc)
donde ProSIZE(nc) denota a los promise problems de circuitos de tamaño nc
y PromiseMA la generalización de la clase MA a promise problems (ver página 504 de [8]).
Esta prueba solo recae en la antigua y simple técnica de diagonalización, que es inherentemente no natural. E incluso el trabajo [3] muestra que este resultado no relativiza (que no vale para todas las MTO’s, para repasar relativización ver 33). Así hay contados ejemplos que de manera ingeniosa con otras técnicas como aritmetización (se verá en el último capítulo) se logra sortear los obstáculos de las naturals proofs. Pero son escasos y complicados, la inmensa mayoría no logra superarlos. En general la propiedad de constructividad parece ser la menos difícil de esquivar.
Finalmente, podría parecer un paisaje desolador luego que irrumpió en él las naturals proofs. Pero es muy valioso su aporte, cuando uno está atascado en un problema es muy útil saber que es muy difícil de resolver con tal planteo. Uno reconoce un obstáculo, lo esquiva y avanza.