Los épsilons y los deltas del escalamiento

Si pudiéramos imaginarnos una máquina gráfica infinitamente precisa, podríamos volver a plantear, de manera inflexible, muchas de las definicio- nes de cálculo en términos de la visualización en pantalla. Por ejemplo, he aquí una definición rigurosa del límite de una función en un punto: pode- mos escribir

para decir que dada una escala vertical cualquiera (en el rango y) de a , podemos encontrar una escala horizontal correspondiente (en el rango x) de a tal que el gráfico de se mantiene en la pantalla de izquierda a derecha (excepto tal vez en x = a).

La altura de nuestra visualización en pantalla juega el papel de la vecin- dad de nuestro épsilon de L, y el ancho juega el papel de la vecindad de delta de a. Imagínese un juego en el que un jugador asigna la tolerancia de épsilon por colocar el rango de y entre y . El otro jugador no puede modificar estos parámetros y debe encontrar un rango en x que esté entre y para tener la gráfica de en la pantalla (la única excepción que está permitida es cuando ). Si el segundo juga- dor tiene siempre una estrategia ganadora entonces la función f tiene un límite L cuando x se aproxima a a. De hecho, si este es el caso, entonces

una selección suficientemente pequeña de resultará en un gráfico hori- zontal.

Una consecuencia natural de esta definición corresponde a un fenómeno comúnmente observado en las calculadoras gráficas: cuando se hace un acercamiento horizontal de una gráfica de una función continua, ésta se aplana. Por acercamiento horizontal, quiero decir utilizar una nueva escala en la pantalla de tal manera que el rango vertical permanece constante pero el rango horizontal representado en la pantalla se convierte en un intervalo menor. En términos de un comportamiento global de una función, un fenó- meno similar puede ser observado: si la función tiene una asíntota horizon- tal, los alejamientos horizontales hacen que la gráfica se vea como la asíntota. En realidad, las calculadoras gráficas no son infinitamente precisas.

f x( ) xlim→a = L L–ε L+ε a–δ a+δ y = f x( ) L–ε L+ε a–δ a+δ y = f x( ) x = a δ

MUCHOMÁSQUEUNJUGUETE. IMPACTODELUSODELASCALCULADORASGRÁFICAS… 35

Para ver estas limitaciones representadas de forma espectacular, trate de ha- cer un acercamiento horizontal repitiendo de a factor de diez en el gráfico de

.

L

Diga la palabra “cálculo” a alguien que ha tomado el curso, inclusive si fue hace años, y casi con seguridad se mencionará la derivada. Sin embargo, si ahonda en el problema un poco más en busca de detalles, no se sorprenda que los recuerdos estén dominados por la manipulación de símbolos: “Sí claro, es donde bajas el 2 de x2 al frente para producir su derivada 2x.” (Inclusive escuché una vez a alguien decir que era de allí que provenía el término diferenciación —¡el mover el exponente había diferenciado la nueva expresión de la vieja!).

No, no estoy aquí para decir que las habilidades algebraicas no son importantes en cálculo. De hecho, muchos sostendrán que las habilidades algebraicas, o la carencia de éstas, determinan en última instancia, en qué medida el cálculo es un filtro o una barrera para el ulterior estudio de las matemáticas y de la ciencia. Pero sostendré que algo verdaderamente trá- gico ha sucedido si la manipulación de símbolos es un recuerdo más dura- dero de la noción de derivada que su interpretación geométrica como curva de una gráfica de una función, o su interpretación física como la proporción de cambio instantáneo.

Si el cálculo fuera una religión, entonces estas dos nociones centrales de derivada serían parte del evangelio, y los profesores de cálculo serían los predicadores. Mientras que, sin duda, predicamos el evangelio, deberíamos recordar el viejo proverbio: “Escucho y olvido. Veo y recuerdo. Hago y comprendo.” Lo que los estudiantes ven y hacen bastante es manipular sím- bolos, ya que las técnicas de lápiz y papel habían sido la única tecnología al alcance general hasta hace muy poco. Por consiguiente, no es una sorpresa que para muchos, los recuerdos sobre derivada sean de reglas, fórmulas y recetas algorítmicas —los rituales del cálculo. Cuando los rituales se desa- rrollan con atención y aprecio por sus significados de base, entonces cobran un valor intrínseco. De otra manera, son prácticas superficiales más recor- dadas por la forma que por la función.

¿Cómo puede la nueva tecnología, particularmente en la forma de cal- culadoras gráficas, ayudarnos a enseñar cálculo? Permítanme compartir con ustedes una experiencia que llega al fondo del asunto. En uno de mis primeros talleres con calculadoras gráficas, los participantes estaban expe- rimentando y practicando con el cambio de escala de los gráficos. En un momento dado, uno de los profesores de cálculo en el fondo del salón levantó su calculadora y exclamó: “¡Acerqué tanto este gráfico que se ve una línea recta!” (ver figura 1).

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De pronto se detuvo, y casi se podía ver el bombillo encendido encima de su cabeza. “Eso es algo realmente significativo, o no?” En este momento quedó capturado lo que yo creo es uno de los cambios en énfasis más inte- resantes que la tecnología puede aportar al cálculo: la noción de linealidad local aproximada como la propiedad clave de las funciones diferenciables. Esta noción es precisamente fuente de resultados importantes y profundos en cálculo diferencial, y el combustible de muchas de sus aplicaciones.

Lo que resulta trascendental de la nueva tecnología gráfica es que hace de la linealidad local un evento visual accesible y dinámico. Con la simple aproximación al gráfico de una función diferenciable, nos volvemos testi- gos activos de este comportamiento local de la función (tal y como al ale- jarnos podemos observar directamente el comportamiento global o asintótico de la función). Permítanme resaltar algunas de las ventajas de este cambio de énfasis.