lUCes y CónICAs

Material

1 linterna

1 pizarra blanca (tipo Vileda) o 1 cartulina blanca

Papel, bolígrafos y lápices. Marcadores o rotuladores adecuados para la pizarra. 1 cuerda (puede valer el cordón de un zapato)

Duración 45 minutos

Coste aprox. Todo el material se puede traer de casa. Objetivos Estudiar los distintos tipos de cónicas.

INTRODUCCIÓN

Las secciones cónicas (o simplemente cónicas) son curvas que pueden obtenerse como la inter- sección de un cono con un plano que no contenga al vértice del cono.

Las distintas cónicas aparecen en función de la inclinación del plano respecto del eje del cono: Si el plano es perpendicular al eje obtenemos una circunferencia.

Si inclinamos el plano se obtiene una elipse (siempre que el ángulo de inclinación sea menor que el ángulo de una generatriz con respecto al eje del cono).

Cuando es paralelo a una generatriz del cono se tiene una parábola.

Si corta a ambas hojas del cono la curva obtenida es una hipérbola (es decir si el ángulo de in- clinación del plano es mayor al de una generatriz).

En esta práctica veremos una forma muy sencilla de obtener estas cuatro cónicas. DESARROLLO EXPERIMENTAL

1. Realizar grupos de tres o cuatro alumnos y elegir a uno de ellos para que vaya escribiendo las conclusiones de todo el grupo.

2. Con ayuda de la linterna y de la pizarra los alumnos deben investigar los distintos tipos de figuras que pueden obtener variando la posición de la linterna con respecto a la pizarra y pensar si alguna de esas figuras les resulta familiar o ya la han estudiado.

3. Uno de los componentes del grupo irá indicando los pasos a seguir según una ficha repartida por el profesor. Las actividades se resolverán en grupo.

4. Se tomará nota de todas las conclusiones acordadas por todos los componentes del grupo. 5. Por último se pondrá en común el trabajo realizado por los distintos grupos.

CUESTIONES

a) Con ayuda de la linterna, alumbra la pizarra y observa la figura que aparece. ¿Qué forma tiene? ¿Puedes variar la figura obtenida moviendo la linterna? ¿Cómo? ¿Conoces el nombre de alguna de las figuras obtenidas?

b) Ahora debéis alumbrar la pizarra con cuidado de que la linterna esté perpendicular a la pi- zarra, ¿qué figura obtenéis? ¿Qué ocurre si os acercáis y os alejáis de la pizarra manteniendo la linterna a la misma altura y en la misma posición? ¿Y si movéis la linterna manteniéndola siempre perpendicular a la pizarra? ¿Qué elementos de esta cónica estamos variando? c) Realiza un dibujo de la cónica obtenida en el apartado anterior indicando cuáles son sus

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d) Vamos a inclinar ahora la linterna un poco. ¿Qué cónica aparece en la pizarra?

e) Si te fijas el haz de luz de la linterna es cónico, haz que el cono sea paralelo a la pizarra. ¿Qué observas ahora? ¿Cómo llamamos a esta cónica?

f) Dibuja las tres últimas cónicas obtenidas señalando los elementos de cada una de ellas y sus respectivas fórmulas.

g) ¿Puedes hacer variar estos elementos? ¿Cuáles? ¿Cómo lo puedes conseguir?

h) ¿Recuerdas el método del jardinero para construir una elipse? Úsalo para dibujar una elipse en la pizarra y luego intenta hacer coincidir la luz proyectada con tu dibujo. ¿Es posible ha- cerlo? ¿Cómo lo puedes conseguir?

CONCLUSIONES

• Ya hemos dicho que las cónicas vistas se pueden definir como la intersección de un cono de revolución y un plano. En esta práctica hemos tomado el cono como nuestro haz de luz y el plano que lo intersecta como la pizarra, obteniendo así las cuatro cónicas:

– Una circunferencia, cuando la linterna la mantenemos perpendicular a la pizarra (es decir, el eje del cono perpendicular al plano). Podemos definirla como el lugar geométrico de los

puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Con los siguientes elementos:

• Radio, que varía según nos acercamos o alejamos de la pizarra.

• Centro, que varía si movemos la linterna hacia arriba-abajo o de izquierda a derecha, pero siempre manteniéndola perpendicular a la pizarra.

– Una elipse, cuando inclinamos la linterna. La definimos como el lugar geométrico de los puntos

del plano que verifican que la suma de las distancias a dos puntos fijos es constante.

– Una parábola, cuando el haz de luz es paralelo a la pizarra (una de las generatrices es paralela al plano). Podemos definirla como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan

de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

– Una hipérbola, cuando posicionamos la linterna de forma paralela a la pizarra. Podemos definirla como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de las distancias

a dos puntos fijos llamados focos es constante.

PARA SABER MÁS

Un enlace bastante completo sobre cónicas: http://www.ehu.es/~mtpalezp/conicas.pdf

Enlace donde se ven definición, construcción y elementos de las cónicas:

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Las_conicas/elipse.htm Vídeos de ejercicios de cónicas resueltos:

APLICACIONES Y CURIOSIDADES

¿Sabías que estamos rodeados de cónicas? Dos de los primeros en percatarse de ello fueron Galileo y Kepler: Galileo, en el siglo XVI, demostró que las tra- yectorias de los proyectiles son parabólicas y Kepler, en el siglo XVII, descubrió que Marte tenía una tra- yectoria elíptica y que el sol estaba situado en uno de sus ejes.

Por efecto de la erosión, las piedras en las playas tienden a adoptar formas elipsoidales, no esféricas. Los relojes de sol se fundamentan en el hecho de que cuando el Sol recorre el cielo a lo largo de un día, la sombra que proyecta un objeto fijo describe una curva cónica. Pero no sólo en la naturaleza encontramos estas formas, el hombre las utiliza gracias a sus propiedades: Se pueden ver en las antenas parabólicas, en las que cualquier onda que rebote en su superficie irá a parar a uno de sus focos, o en las lentes.

El matemático Lewis Carroll, autor de Alicia en el País de las Maravillas, construyó una mesa de billar con forma elíptica. ¿Qué tendrá de especial esta curiosa mesa de billar? Puedes investigarlo.

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