Método ε-NTU Cálculo de la temperatura de los GPC

Una vez definido el problema y caracterizado cada uno de los fluidos que intervienen en él, se pro- cede al cálculo aproximado de la temperatura de los GPC. Este cálculo se lleva a cabo a utilizando el método ε-NTU27_{. Para resolver el problema de esta manera se tienen en cuenta varias suposiciones:}

 Se supone un intercambiador simple de un paso, flujo paralelo y a favor de corriente.  La superficie de intercambio es proporcional a la longitud del intercambiador

 El flujo másico del fluido interno (agua) será igual al flujo másico que entra al intercambia- dor, por el número de bobinados concéntricos.

 La temperatura de los GPC, únicamente variará con la longitud del intercambiador, es de- cir, con la coordenada ( ).

 Las propiedades de ambos fluidos se tomarán a una temperatura media de 25ºC para el agua y 300ºC para los GPC.

 En el cálculo del coeficiente global de transferencia de calor U, solamente se tendrá en cuenta el efecto convectivo externo, ya que es mucho menor que la convección interna y la conducción, lo que hace despreciable estos últimos.

Así pues nos quedará un intercambiador simple tal y como muestra la Ilustración 4.3.

Ilustración 4.3. Simplificación del intercambiador para el cálculo de la temperatura de los GPC con la altura. Fuente: Elaboración propia

En primer lugar calculamos el área de intercambio de calor aproximada, en función de la altura del intercambiador. Para una curva helicoidal, existe una relación entre el ángulo girado (Ilustración 4.4)

27 _{Toda la teoría relacionada con este método aparece en el ANEXO B}

TGPC(z’)

Tinicial,GPC TGPC

z’ TGPC(z’)

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y su altura. Así si suponemos una hélice de radio , y separación entre espiras consecutivas de relativamente pequeña respecto a , tendremos que si para , , cuando se recorre el ángulo completo ( ), alcanzamos una cota . La relación entre la altura y el ángulo girado será por tanto:

( ) Por otro lado se tiene que:

( )

Así despejando de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda obtenemos: ( )

El área externa de un cilindro de longitud y diámetro externo viene dada por: ( )

Sustituyendo la expresión de la longitud de la curva helicoidal y reordenando, obtenemos el área externa de una bobina de altura :

( )

En el caso de tener varias bobinas concéntricas, si únicamente variamos el radio de la hélice , el área de cada una de ellas será:

( )

Y por tanto la superficie total para l espiras concéntricas será la suma de cada superficie individual: ∑

∑

( ) Siendo b la constante de proporcionalidad e igual a:

∑

( )

Ilustración 4.4. Relación entre el ángulo girado y la altura en una curva helicoidal. Fuente: Elaboración propia

La utilización del método ε-NTU, requiere del cálculo previo, tanto del NTU, o número de unidades de trasmisión, como de la relación de capacidad . Esta última viene dada por la relación:

( ) ( )

Dónde es la razón de capacidad calorífica menor de uno de los fluidos, y la mayor, del

otro fluido. Esta es la razón por la cual esta relación únicamente toma valores comprendidos entre 0 y 1. Dados los fluidos involucrados, tenemos que el corresponde al agua y el a los GPC.

Por tanto: ( ) ϕ z’ 2π SL L=R∙ϕ

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( ) ( )

Por otro lado, el se calcula:

( )

Inicialmente se desprecian los coeficientes de trasmisión de calor relativos a la conducción y a la convección externa, ya que su influencia sobre el coeficiente global de transferencia de calor es despreciable. Posteriormente se tienen en cuenta en el cálculo de la temperatura del agua (punto 4.2.4). Así pues:

( )

Para el cálculo del coeficiente de convección externa suponemos un flujo transversal a través de un banco de tubos. Esto es así cuando existen varias bobinas concéntricas, y los GPC, las atravie- san longitudinalmente. El número de Nusselt, vendrá dado por la expresión:

( )

Donde el número de Reynolds se toma a la velocidad máxima que alcanzan los gases al atravesar el intercambiador. Dado que el valor que toma el Reynolds se encuentra entre 10 y 100, los coeficien- tes y tomarán los valores 0,8 y 0,4 respectivamente.

Así se obtendrá el coeficiente de convección externa como:

( )

El es un factor de corrección relativa a la profundidad del intercambiador, es decir,

proporcional al número de espiras , por bobina. El introduce para adaptar los resultados

teóricos a los experimentales en caso necesario. Su modificación supondría un aumento o disminu- ción de la cantidad de calor trasmitida por los gases. Para los cálculos previos este factor de co- rrección toma como valor la unidad, pero en caso necesario se modifica para adaptar los resultados del modelo a los obtenidos experimentalmente.

Una vez calculado el valor del y teniendo en cuenta la relación del área de intercambio con la altura del intercambiador, podemos escribir:

( )

La efectividad , viene dada por:

( ( )) ( )

( )

Por otro lado la relación de efectividad correspondiente a un intercambiador simple de un único paso y flujo a favor de corriente es:

( ( ))

( ) ( )

Igualando ambas ecuaciones, sustituyendo los valores de y , y despejando ( ) obte-

nemos: ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )

Esta es la relación que nos da la temperatura de los gases, en función de la altura del intercambiador para unas temperaturas de entrada de los fluidos dadas.

Implementando este problema en MATLAB, obtenemos la temperatura de los GPC para cada punto requerido.

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Ilustración 4.5. Representación gráfica en MATLAB de la temperatura de los GPC en función de la altura para diferente número de bobinados concéntricos. Fuente: Elaboración propia

, , , , , ,

En la Ilustración 4.5 se muestra un ejemplo de los resultados para unos determinados parámetros de entrada. Se pueden extraer las siguientes conclusiones:

 La temperatura de los GPC desciende de manera muy notable en los primeros centímetros de intercambiador. Esto se debe a que la capacidad calorífica del agua es muy superior a la de los gases, por lo que la temperatura de los gases disminuye mucho más rápido que aumenta la del agua.

 La temperatura de salida de los GPC, es prácticamente igual a la temperatura inicial del agua (15ºC) para una longitud equivalente a 20 espiras. Esto quiere decir que por más que alargásemos el intercambiador (añadiendo más espiras) no se conseguiría una mejora de la eficiencia, ya que el gradiente entre ambos fluidos sería prácticamente nulo, y no habría intercambio de calor.

 A medida que añadimos bobinas concéntricas, vemos que la temperatura de los gases desciende más rápidamente. Esto es así porque los GPC calientan un mayor flujo de agua cuanto mayor es el número de bobinas, perdiendo así energía a mayor velocidad. Vemos así que para 2 bobinas concéntricas se alcanza aproximadamente la temperatura de inicio del agua a los 20 cm, mientras que para 4 bobinas, a los 10 cm.

La adición de bobinados concéntricos implica una reducción en su número de espiras, ya que de lo contrario estaríamos alargando inútilmente el intercambiador.

Estos resultados nos dan una idea acerca de la temperatura aproximada de los GPC en el interior del calentador en función de la altura, pero no podemos sacar conclusiones acerca de la temperatura de salida del agua, debido a que no se tienen en cuenta los efectos de la radiación, y por tanto una medida de la efectividad. Para ello se plantea el modelo que sigue por elementos finitos.

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