Método de Proyección Perspectiva o Central

La proyección gráfica, es el procedimiento para lograr la representación de un cuerpo sobre una superficie. Se parte del foco y trazan líneas auxiliares para reflejar el objeto en cuestión sobre un plano. El foco de proyección (V), el punto que se pretende proyectar (A), el punto que efectivamente se proyecta (A’), la línea conocida como proyectante (VAA’) y el plano de proyección (𝛱) son los principales elementos de la proyección gráfica.

Figura 45 - Clasificación general de proyecciones

Tal como se aprecia en la Figura 45, existen dos grandes grupos de proyecciones:

Perspectiva o Central:

Cuando todas las líneas proyectantes pasan por un punto, se habla de proyección central, cónica o perspectiva. Representa lo que se "ve" desde un punto V (centro de proyección) proyectando los elementos sobre un plano de cuadro (𝛱) exterior a él.

Es el tipo de proyección empleado por las cámaras y es el que utilizaremos en este trabajo.

Paralela:

Cuando las líneas proyectantes son paralelas, se habla de proyección paralela o proyección cilíndrica. Es un caso particular de proyección central, donde el foco del haz proyectante estaría a distancia infinita.

7.1.1 Proyección en perspectiva

La perspectiva la comprendemos según el diccionario como: “la manera de representar uno o varios objetos en una superficie plana, que da idea de la posición, volumen y situación que ocupan en el espacio con respecto al ojo del observador”.

Para comprender la evolución de sus leyes, es necesario remontarnos a comienzos del siglo XIII, cuando el pintor Giotto formula una serie de reglas muy básicas para el trabajo con la misma. Al poco tiempo, Duccio di Buoninsegna y Ambrogio Lorenzetti realizan otras aproximaciones en sus pinturas. Ambrogio, por ejemplo, ya hará uso de un punto de fuga, pero fallará en la utilización de los puntos diagonales de convergencia. De este modo, no será hasta comienzos del siglo XIV, que el artista y arquitecto Filippo Brunelleschi, con la ayuda de algunos objetos ópticos, lograría establecer las leyes matemáticas que rigen la perspectiva lineal.

Para su estudio experimental, Filippo, utilizó dos tablas pintadas, una de ellas con la recreación del Baptisterio que constaba con un orificio a la altura de lo que sería el punto real de visión del espectador de cara al edificio real. Este agujero estaba pensado para que un espectador mirara a través de él por detrás de la tabla, hacia un espejo colocado delante de la misma para ver reflejada la pintura en él. Con esto se pretendía crear la ilusión de estar viendo la imagen real del baptisterio.

Figura 46 - Experimento con perspectiva

La utilización de un espejo se debe a que este reproduce la imagen del reverso, de modo que si la imagen fuese asimétrica, éste destacaría más el defecto a la hora de compararlo con la realidad. En la Figura 46 se puede observar esto del lado derecho, donde se muestra la visión de la persona.

Si bien su biógrafo no plasmó la técnica ni los medios empleados para tal fin, se sabe que era un gran conocedor de las matemáticas y de los avances científicos de su época, de los que seguramente se pudo valer para llevar a cabo sus estudios. Así, se trataba de la primera vez que el problema de la perspectiva se abordaba de una manera científica.

7.1.1.1 Modelo de Cámara:

El modelo “ideal” básico de una cámara, conocido como “Pinhole (orificio pequeño)”, fue mencionado por primera vez en el año 500 A.C. Los chinos habían descubierto que la luz viaja en línea recta y el filósofo Mo Ti, fue el primero en constatar la formación de una imagen invertida, en una pantalla a través de un orificio. Mo Ti se percató de que los objetos reflejan la luz en todas las direcciones y que los rayos procedentes de un objeto, cuando pasan a través de un orificio, producen una imagen invertida en una pantalla, describiendo el fenómeno de la cámara oscura.

En este modelo, el origen del sistema de coordenadas está en el centro del orificio. La imagen que se genera y se almacena en la cámara se encuentra del lado opuesto al orificio, a una distancia d (siendo z = -d). Así, las coordenadas en la imagen generada se pueden calcular por una simple triangulación:

𝑋𝑝

−𝑑 =

𝑥

𝑧

𝑌𝑝

−𝑑=

𝑦

𝑧

Zp = -d

El punto (Xp,Yp,Zp) se conoce como la proyección de (X,Y,Z).

Este sistema puede ser escrito en forma lineal mediante álgebra proyectiva en coordenadas homogéneas, dependiendo de un factor de escala 𝜆:

donde 𝜆 = Z/d y X, Y y Z son las coordenadas del punto M en el espacio 3D. Si la altura de la cámara es h, el ángulo de vista 𝜃viene dado por:

𝜃

= 2 𝑡𝑎𝑛

ℎ

La cámara ideal tiene una profundidad de campo (espacio por delante y por detrás del plano enfocado, comprendido entre el primer y el último punto aceptablemente nítido reproducidos en el mismo plano de enfoque) infinita.

Las desventajas de este modelo de cámara son:

● Dada la pequeñez del hoyo, solo admite un rayo de luz, o sea que casi no entra luz en la cámara.

● No se pueden ajustar diferentes ángulos de vista. Reemplazando el hoyo por un lente, se resuelven ambos problemas:

● Un lente recibe mayor cantidad de luz, además, cuanto más grande es, mayor es la cantidad de luz que recibe.

● Eligiendo un lente con la longitud focal apropiada (equivalente a definir el valor de d), se puede obtener el ángulo de vista deseado (hasta 180 grados).